【文档说明】福建省龙岩市上杭县第一中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题含答案.docx，共(11)页，563.889 KB，由小赞的店铺上传

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上杭一中2020-2021届学年5月份高三校模拟考数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务

必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合()2log11Axx=−，2122xBx−=

，则AB=（）A.(,2−B.1,2C.(1,2D.(1,32.已知复数231zii=++，则z=（）A.5B.5C.17D.32+3．已知||2a=，1b||=，且a与b的夹角为3，则()abb+=（）A．31+B．1C．2D．

34．设,mn是空间中两条不同的直线，,,是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若,//mn⊥，则mn⊥；（2）若//,//,m⊥，则m⊥；（3）若//,//mn，则//mn；（4）,⊥⊥，则//.其中正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．

（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）5．已知双曲线C：x2－y28＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．32B．62C．92D．1826.将

甲､乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（）A．13B．23B．16D．567.已知()fx是定义在(1,)+上的单调函数，()gx是(0,)+上

的单调减函数，且()()()235xyzfff==，则（）A.(2)(3)(5)gxgygzB．(5)(2)(3)gzgxgyC．(3)(5)(2)gygzgxD．(3)(2)(5)gygxgz8．已知P是圆C：2246110xyxy+−++=外一点，过P作圆的两切线

，切点为A，B，则PAPB的最大值为（）A．426−B．432−C．2D．2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知1x

−,那么下列不等式中,成立的是（）A．210x−B．12xx+−C．sin0xx−D．cos0xx+10.已知函数()sin()fxAx=+（其中0,0,||A）的部分图象如图所示,则下列结论正确的是（）A．函数()fx的最小正周期为2B．函数()fx的图

象关于点(,0)12−对称C．函数()fx在区间,36−上单调递减D．若6)=65f−(,则44sincos−的值为35−11.已知抛物线2:2Cyx=的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于

P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则下列结论中成立的有（）A．M的坐标可能为(1,2)B．坐标原点在以PQ为直径的圆内C．OP与OQ的斜率之积为定值D．线段PQ的最小值为412.函数()sinxfxeax=−

，(,)x−+，下列说法正确的是（）A.当1a=−时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0B.当1a=−时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0C.存在0a，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点D.

对任意0a，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点第II卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为13，则椭圆C的标准方程可以为14．12233101010101010190909090CCCC−

+−++除以88的余数是15．数式11111+++中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则11tt+=，则210tt−−=，取正值得512t+=.用类似方法可得1212+++

=__________.16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同,则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等。如图,阴影部分是由双曲线2

22(0)xyaa−=与它的渐近线以及直线ya=所围成的图形,将此图形绕y轴旋转一周,得到一个旋转体,（1）如用与x轴相距为()hha,且垂直于y轴的平面,截这个旋转体,则截面图形的面积为_____；（2）则这个旋转体的体积为_____.四、解答题(本大题

共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知1b=，22c=.⑴若coscosaBbA=，此三角形是否存在？若存在，求其面积；若不存在，说明理

由；⑵若cos0aCb+=，点D在BC边上，且34ADB=，求CD长。18．(本小题满分12分)已知数列na的前n项和为nS，且对任意正整数n均满足nnnnSSSS211222233221+−=++++（1）求数列na的通项

公式；（2）记12+=nnnnSSb，数列nb的前n项和为nT，求满足20222021nT的最小正整数n的值.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，M

是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，OP＝OA．（Ⅰ）求证：BC⊥OM；（Ⅱ）若PM＝PB，求二面角B﹣OM﹣C的余弦值．20.(本小题满分12分)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“

世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,1

4，(14,16，(16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14，(14,16，(16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中

随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16内的学生人数为X，求X的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20Pk”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(10,12(单位：小时)内的概率，其中

0,1,2,,20k=.当()20Pk最大时，写出k的值.（只需写出结论）21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，A(－1，0)，B(1，0)，C为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，且|CP|＝1，记点C的轨迹为曲

线E．（1）求曲线E的方程；（2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N两点，且直线y＝－12x经过MN的中点T，求△OMN的面积的最大值．0.010.040.15a0.050.030.02181614121086

42频率组距日平均阅读时间（小时）O22.(本小题满分12分)已知函数2()xfxeaxx=−−.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若函数()()Fxfxx=+有两个极值点1x，2x，求证：212(ln(2))xxa.上杭一中2020-2021届学年

5月份高三校模拟考数学参考答案及评分标准1-8DBCACBBA9、ABC10、BD11、BC12、ABC13、18922=+yx14、115、416、322,aa18.解:(1)当1=n时,2121=S,得11=S.当2n时,由nnnnSS

SS211222233221+−=++++①,得1113322121112222−−−+−−=++++nnnnSSSS）（②,①-②得).2(12),2(2112n−=−=nSnSnnnn当1=n时,得111==Sa;当2

n时,由11121212−−−=+−−=−=nnnnnnSSa.又11=a也满足上式,所以12−=nna.……6分（2）由(1)得121121)12)(12211−−−=−−=++nnnnnnb（,所以1211121121121121

12112111322−−=−−−++−−−+−−−=++nnnnS）（）（）（,由2022202112111−−+n得2023220221211−++nn，即,因为1110220232,,10,111+nn即所以故满足20222021nT的最小正整数为10.……1

2分19．【解答】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，又因为O为AD的中点，所以OB⊥AD，又因为AD∥BC，所以OB⊥BC，因为PO⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以OP⊥BC，因为OP∩OB＝

O，OP，OB⊂平面POB，所以BC⊥平面POB，因为M是棱PB上的点，所以OM⊂平面POB，所以BC⊥OM；……5分（Ⅱ）解：因为PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，设OA＝1，则OP

＝OB＝，所以，则，由，所以，设平面OMC的法向量为，则有，即，令y＝1，则，故，又因为平面POB的法向量为，所以＝，由图可知，二面角B﹣OM﹣C为锐二面角，所以二面角B﹣OM﹣C的余弦值为．……12分20.解：（

1）0.10a=……2分（2）由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在(12,14，(14,16，(16,18三组内的学生人数分别为5000.1050=人，5000.0840=人，5000.0210=人.若采用分层抽样的

方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14,16内的学生中抽取了40104504010=++人.现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3.()3631020101206CPXC====，()124631060111202

CCPXC====，()2146310363212010CCPXC====，()3431041312030CPXC====.所以X的分布列为X0123P1612310130……9分（3）4k=.……12分21．解：（1）依题意可知，|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|

CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），因此曲线E的方程为x24＋y23＝1(y≠0)．…4分（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），代入x24＋y23＝1整理得，(4k2＋3)x2＋8km

x＋4m2－12＝0，（*）则x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3，所以y1＋y2＝6m4k2＋3，得MN的中点T(－4km4k2＋3，3m4k2＋3)，直线y＝－12x经过MN的中点T，得3m4k2＋3＝－12·－4km4k2＋3，又m

≠0，所以直线l的斜率k＝32．…8分（*）式可化简为3x2＋3mx＋m2－3＝0，x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－33，由＝36－3m2＞0，且m≠0，得－23＜m＜23且m≠0，|MN|＝1＋k2|x2－x1|＝132·12－

m23，点O到直线l的距离d＝2|m|13，则△OMN的面积S＝12|MN|d＝12·132·12－m23·2|m|13＝|m|12－m223≤123·|m|2＋12－m22＝3，当且仅当m＝±6时，等号成立．满足－23＜

m＜23且m≠0，所以△OMN的面积的最大值为3．…12分22.解：（1）当1a=时，2()xfxexx=−−，则()21xfxex=−−，所以(1)3kfe==−，又(1)2fe=−，所以切线方程为(3)(1)2yexe=−−+−，即

(3)1yex=−+.…4分（2）由题意得2()xFxeax=−，则()2xFxeax=−.因为函数()Fx有两个极值点1x，2x，所以()0Fx=有两个不相等的实数根1x，2x.令()2xhxeax=−，则()2xhxea=−.①当0a时，()0hx

恒成立，则函数()hx为R上的增函数，故()hx在R上至多有一个零点，不符合题意.②当0a时，令()0hx=，得ln(2)xa=，当(,ln(2))−xa时，()0hx，故函数()hx在(,ln(2))a−上单调递减，当(l

n(2),)xa+时，()0hx，故函数()hx在(ln(2),)a+上单调递增.因为函数()0hx=有两个不相等的实数根1x，2x，所以min()(ln(2))22ln(2)0hxhaaaa==−，得2ea不妨设12xx

，则1ln(2)xa，2ln(2)1xa.又(0)10h=，所以1(0,ln(2))xa.令24()()(2ln(2))44ln(2)xxaGxhxhaxeaxaae=−−=−−+，则2244()4240xxxxaaGxeaeaee=+−−=，所以函数()Gx

在R上单调递增.由2ln(2)xa可得()2(ln(2))0GxGa=，即()()222ln(2)hxhax−.又1x，2x是函数()hx的两个零点，即()()12hxhx=，所以()()122ln(2)hxhax−.因为2ln(2)x

a，所以22ln(2)ln(2)axa−，又1ln(2)xa，函数()hx在(,ln(2))a−上单调递减，所以122ln(2)xax−，即122ln(2)xxa+.又12122xxxx+，所以1222ln(2)xxa，因

此212(ln(2))xxa.…12分