【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第三章第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 含解析【高考】.doc，共(7)页，182.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式授课提示：对应学生用书第64页[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．(2)S(α－β)

：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(5)T(α＋β)：

tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ．(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ．2．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα．(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．(3)T2α：

tan2α＝2tanα1－tan2α．1．和、差、倍公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tan

β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.[四基自测]-2-1．(基础点：构造和角公式)已知sinα－π3＝1517，α∈π2，56π，

则sinα的值为()A.817B.153＋834C.15－8334D．15＋8334答案：D2．(基础点：逆用公式)化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为()A.12B．32C．－12D．－32答案：A3．(

基础点：倍角公式)若sinα＝13，则cos2α＝________．答案：794．(基础点：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan2α＝________．答案：－247授课提示：对应学生用书第64页考点一两角和、差及倍角公式的直接应用挖掘1给值(角)求值/互动

探究[例1](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3[解析]tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故

选D.[答案]D(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________．[解析]法一：tanα－5π4＝tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝15，-3-解得tanα＝32.法二：∵tanα－5π4＝tan

α－π4∴tanα＝tan（α－π4）＋π4＝15＋11－15＝32.[答案]32(3)已知sinπ4＋α＝25，则sin2α＝________．[解析]sin2α＝－cosπ2＋2α＝2sin2π4＋α－1＝2

×252－1＝－1725.[答案]－1725(4)已知f(x)＝2cos·15x＋π6.设α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析]由已知f

(x)＝2cos15x＋π6.又因为f5α＋5π3＝－65，所以2cos155α＋5π3＋π6＝2cosα＋π2＝－65，所以sinα＝35.又因为f5β－5π6＝1617，所以2cos15

5β－5π6＋π6＝2cosβ＝1617，所以cosβ＝817.又因为α，β∈0，π2，所以cosα＝45，sinβ＝1517，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.挖掘2给值求角/互动

探究[例2](1)(2020·河南六市联考)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，若0＜β＜α＜π2，则β＝________．[解析]由cosα＝17，0＜α＜π2，-4-得sinα＝1－cos2α＝1－

172＝437，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－13142＝3314，由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－

β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∵β∈(0，π2)，∴β＝π3.[答案]π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．[解析]∵tanα＝tan[(α－β

)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，α∈(0，π)，∴0＜α＜π2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝1，∵tanβ＝－17＜0

，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π.[答案]－34π[破题技法]1.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公

式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．2．三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函

数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．-5-(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观

察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点二两角和、差及倍角公式的逆用和变形用挖掘1求值问题/互动探究[例1](1)计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°

的值为()A．－12B.12C.32D．－32[解析]原式＝sin70°sin20°cos225°－sin225°＝cos20°sin20°cos50°＝12×sin40°sin40°＝12.[答案]B(2)(2020·辽宁省沈阳四校协作体联考)1cos80°－3sin8

0°＝________．[解析]1cos80°－3sin80°＝sin80°－3cos80°sin80°cos80°＝2sin（80°－60°）12sin160°＝2sin20°12sin20°＝4.[答案]4(3)(2020

·重庆市三诊)3tan10°－1sin10°＝________．(用数字作答)[解析]原式＝3sin10°cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin（10°－30°）12sin20°＝－2sin20°12sin20

°＝－4.[答案]－4挖掘2化简问题/互动探究[例2](1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan（π4－x）sin2（x＋π4）＝________．-6-[解析]原式＝2cos2x（cos2x－1）＋122tan（π4－x）cos2（π4－x）＝－4cos2xsi

n2x＋14sin（π4－x）cos（π4－x）＝1－sin22x2sin（π2－2x）＝cos22x2cos2x＝12cos2x.[答案]12cos2x(2)(2020·湖南衡阳质检)已知m＝tan（α＋β＋γ）tan（α－β＋γ），若sin2(α＋γ)＝3sin

2β，则m＝()A.12B．34C.32D．2[解析]设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即s

inAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcosB－cosAsinB)，即2cosA·sinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝tanAtanB＝2，故选D.[答案]D[破题技法]1.将tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ整理变

形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)－tanα·tanβ·tan(α＋β)，即tan60°＝tan(20°＋40°)得出tan20°＋tan40°后代入．2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαco

sβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．(3)倍角公式变形：降幂公式．[拓展]1±sinα＝sinα2±cosα22，1＋cosα＝

2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.提醒：tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．挖掘3创新归纳/互动探究[例3]已知：①tan10°

tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1，②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°·tan5°＝1，③tan20°tan30°＋tan30°·tan40°

＋tan40°·tan20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．-7-[解析]观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：

若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tanβ＝tan[90°－(α＋γ)]＝sin[90°－（α＋γ）]cos[9

0°－（α＋γ）]＝cos（α＋γ）sin（α＋γ）＝cosαcosγ－sinαsinγsinαcosγ＋cosαsinγ＝1－tanαtanγtanα＋tanγ.所以tanαtanβ＋tanβtanγ＝1－tanαtanγ，即tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.[破

题技法]归纳与猜想，主要考查逻辑推理的核心素养．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的

推理，推理形式主要有演绎．