【文档说明】河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.405 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2019-2020学年下期期末考试高二数学（文）试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60

分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（）.A.0.09B.0.13C.0

.21D.0.88【答案】A【解析】【分析】根据残差的概念判断．【详解】残差平方和越小，说明估计数据与实际数据越接近，拟合效果更好，故选：A．【点睛】本题考查残差的概念，属于简单题．2.用反证法证明“若,abR，220ab+=，则a，b至少有一个为0”时，假设正确的（）.

A.a，b中只有一个为0B.a，b全为0C.a，b至少有一个不为0D.a，b全不为0【答案】D【解析】【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，即可得解；【详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命

题：“若a，bR，220ab+=”，则“a，b至少有一个为0”的否定为“若a，bR，-2-220ab+=”，则“a，b全不为0”.故选：D．【点睛】本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.欧拉公式cossiniei=+把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数

联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数izei=−，则||z=（）.A.22B.1C.2D.22【答案】C【解析】【分析】先利用欧拉公式cossiniei=+求出izei=−

，然后再求其模【详解】解：由题意得，cossin1izeiiii=−=+−=−−，所以22||(1)(1)2z=−+−=，故选：C【点睛】此题考查了复数的三角形式及其运算，考查了复数的模，属于基础题.4.下列框图中，可作为流程图的是（）A.

整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂B.随机事件→频率→概率C.入库→找书→阅览→借书→出库→还书D.推理→图像与性质→定义【答案】C【解析】【分析】利用结构图、流程图的定义直接对各选项进行分析.【详解】观察选

项，只有C满足一个工作过程的具体步骤，属于流程图，而选项A、B、D不属于流程图.故选：C【点睛】本题主要考查了流程图和结构图的定义，辨析结构图和流程图是解题的关键，属于-3-基础题.5.点M的直角坐标为7sin,cos66，则点M的极

坐标为（）.A.111,6B.21,3C.1,6D.51,3【答案】B【解析】【分析】直接利用直角坐标与极坐标的互化公式求解即可【详解】解：设点M的极坐标为(,)，因为M的直角

坐标为7sin,cos66，所以7sincos6cossin6==，即1cos23sin2=−=，解得1,tan3==−，因为点M在第二象限，所以23=，所以点M的极坐标为21,3

故选：B【点睛】此题考查直角坐标与极坐标的互化，属于基础题.6.观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，则20205的末四位数字为（）A.3125B.5625C.0625D.8125【答案】C【解析】【分析】-4-根据567

8953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.【详解】因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，

观察可知415k+的末四位数字3125，425k+的末四位数字5625，435k+的末四位数字8125，445k+的末四位数字0625，又202045044=+，则20205的末四位数字为0625.故选：C【点睛】本题主要考查数

列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.7.2020年初，新型冠状病毒（COVID19−）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所

示：周数（x）12345治愈人数（y）21736103142由表格可得y关于x的回归方程为2ˆ6yxa=+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）.A.5B.13−C.13D.0【答案】C【解析】【分析】设2tx=，求出t，y的值，由最小二乘

法得出回归方程，代入4x=，即可得出答案.【详解】设2tx=，则()11491625115t=++++=，-5-()121736103142605=++++=y606116=−=−a，所以2ˆ66=−yx.令4

x=，得244410364613ˆ=−=−+=eyy.故选：C【点睛】本题考查回归分析的应用，重在计算，属于中档题.8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、

天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河.如图所示的

程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中P表示的近似值）”.若输入9n=，输出否的结果P可以表示为（）.A.11114135711P=−+−+−…B.1111413571

3P=−+−++…C.11114135715P=−+−+−…D.11114135717P=−+−++…【答案】D-6-【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入9n=，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】

由题意，执行给定的程序框图，输入10n=，可得：第1次循环：1,2Si==；第2次循环：11,33Si=−=；第3次循环：111,435Si=−+=；第9次循环：11111,1035717=−+−++=Si，此时满足判定条件，输出结果

111141357741…=−+−==++PSP，故选：D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半

轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cossinxy==（为参数）上的点到曲线cossin4+=的最短距离是（）.A.1B.2C.22D.32【答案】B【解析】【分析】根据cos,sinxy==，计算出直线的直角坐标方程，然后假设曲线上任意一点

()3cos,sinP，根据点到直线的距离公式以及辅助角公式进行计算即可.【详解】由cos,sinxy==，则曲线cossin4+=的直角坐标方程为40xy+−=-7-设曲线曲线3cossinxy==（为参数）上

的任意一点位()3cos,sinP则点P到直线的距离位2sin43cossin4322d+−+−==所以当sin13+=时，min2=d故选：B【点睛】本题考查极坐标方

程与普通方程的转化以及使用参数方程来解决点到直线的最值问题，重在计算，考查逻辑推理以及计算能力，属中档题.10.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出

猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【解析】【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答

案.【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特(Benoit.Mandelbrot

)在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是()-8-A.55个B.89个C.144个D.233个【

答案】C【解析】分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：21aaannn++=+，得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明．详解：行数12345678910111213球数01

123581321345589144101211321532,853,1385=+=+=+=+=+=+，，，，由此猜想：21aaannn++=+，故选C．点睛：观察规律，把行数看成数列的项数n，个数看作数列的项na，尽可能的多推导前面有限项看出规律．12.若12x，

则ln212+，221xxe+，221xxe+的大小关系正确的是（）A.2221ln21212xxxxee+++B.222121ln212xxxxee+++C.222ln212112xxxxee+++D.222ln211212x

xxxee+++【答案】D【解析】【分析】-9-ln2ln21ln212e++=,则欲比较大小的三个式子结构相同，可以构造函数1()exxfx+=，再利用其单调性即可判断答案.【详解】设函数1()exxfx+=，则()()()2e1ee

exxxxxxfx−+==−，当0x时，()0fx，()fx单调递减.由12x，可得22(2)0xxxx−=−，则221ln2xx，所以2(ln2)()(2)ffxfx，即222ln211212xxxxee+++.故选：D.【点睛】本题考查导

数的应用，利用导数判断函数的单调性，进而比较函数值的大小.遇到比较结构相同(或可以化成相同)的式子的大小，可以构造函数，然后利用函数的单调性求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一组样本数据()11,xy，()22,xy，…，(),n

nxy（2n，1x，2x，…，nx互不相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)iixyin=都在直线2100yx=−+上，则这组样本数据的样本相关系数为________.【答案】1−；【解

析】【分析】由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结合相关系数的意义，可得出答案.【详解】由题意，所有样本点,)((1,2,,)iixyin=都在直线2100yx=−+上，所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为-1.故答案位：-1.【点睛】本题考查相关系数，考查

正相关及负相关，属于基础题.14.化简：2020201921izii=+=+________.【答案】1i−−【解析】-10-【分析】利用i的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633iiiii===−，()10102020101

02101010082222i2i2iiii11i2i1i−======−++，所以原式=1i−−.故答案为：1i−−.【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i1n=，41iin+=

，42i1n+=−，43iin+=−，()21i2i+=，()21i2i−=−，1ii=−等等.15.刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与

圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++…是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式x=，则12xx+=

，即2210xx−−=，解得12x=，取正数得21x=+.用类似的方法可得222+++=…________.【答案】2；【解析】【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。【详解】由题得，令原式x=，则2xx=+，化简为()2200

−−=xxx，解得：2x=.故答案为：2【点睛】本题考查了知识迁移能力，是一道中档题.16.已知数列na的通项公式为22nan=+，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb

的前2020项和为________.-11-【答案】10102021.【解析】【分析】根据数阵,求得2nnbna=,设nnncb=,前n和为nS,即可求得2020S,根据裂项求和,即可求得答案.【详解】数

列na的通项公式为22nan=+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列,从上到下的n行共2n个数的和11ba=2123224baaaa=++=31234532329baaaaaa=++++=2nnbna=设nnncb=

,前n和为nS()2111111(22)2121nnnnncbnannnnnn===−=−+++20202202011111111+2122020202123=++=−+−++−cccS20201110102

021202112=−=S故答案为：10102021【点睛】本题的解题关键是掌握裂项相消求数列的前n和的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.-12-三、解答题（本大题共6小题，共70分

.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17.设实部为正数的复数z，满足||10z=，且复数(2)iz+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z；（2）若2(1)4()zmimimR+

−++为纯虚数，求实数m的值.【答案】（1）13zi=−；（2）1m=.【解析】【分析】（1）设(zabia=+，bR且0)a，由条件可得2210ab+=①，3ab=−②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m．【详解】解：（1）设zab

i=+，,Rab，0a.由题意：2210ab+=.①()2()2(2)iabiababi++=−++，得220abab−++=，30ab+=，②①②联立，解得1a=，3b=−得13zi=−.（2）由（1）可得13zi=+所以()()()22214143zmimimmmi+−++=−++++

由题意可知2210430mmm−+=++解得1m=且1m−且3m−所以1m=【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．18.在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对N95口罩的使用范围进行调查.现随机抽取40

人进行调查，其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中，对于N95这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数占14.-13-（1）将答题卡上的列联表补充完整；了解不了解总计45岁以下45岁以上（含45岁）总计40（2）判断是否有99%的

把握认为对这种N95口罩的了解与否与年龄有关.参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参考数据：()20PKk0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析；（2）有9

9%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据题意先计算出对于95N这种口罩了解的人有20人，其中45岁以上（含45岁）的人数有5人，完成表格；（2）由题意先求出210K=，然后再作判断.【详

解】（1）由题意可得对于N95这种口罩了解的人数为4050%20=，则45岁以上的人对N95这种口罩了解的人数为12054=.故列联表如下：-14-了解不了解总计45岁以下1552045岁以上（含45岁）51520总计202040（2）

由题意可得，()22401515551020202020K−==因为106.635，所以有99%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关.【点睛】本题考查完善列联表，考查独立性检验，属于基础题.19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos42sin4xmym

=−+=−+（m为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）过点(3,2)P作直线l的垂线，交曲线C于

M，N两点，求||||PMPN+.【答案】（1）10xy−−=，24yx=；（2）83.【解析】【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数即可求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程，根据sincosyx==求出曲线C的直角坐标方程．（2）首先求出过点(3,2)P与

直线l垂直的直线的参数方程，再代入抛物线方程，根据直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；【详解】（1）直线l的参数方程为1cos42sin4xmym=−+=−+（m为参数），-15-消去参数可得10xy−−

=，曲线C的极坐标方程为2sin4cos=，所以22sin4cos=根据sincosyx==，所以曲线C的直角坐标方程为24yx=.（2）过点(3,2)P与直线l垂直的直线

的参数方程为232222xtyt=−=+（t为参数），代入24yx=，可得282160tt+−=设M，N对应的参数分别为1t，2t∴1282tt+=−，1216tt=−，1t，2t异号故()212121212483PMPNtttttttt+

=+=−=+−=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于中档题．20.对于命题P：存在一个常数M，使得不等式2222ababMabbaabba++++++对任意正数a，b恒成立.（1

）试给出这个常数M的值（不需要证明）；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P.【答案】（1）23M=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令ab=可得，2233M剟，分析即可得M的值；（2）由分析法的思路：先证明2223ababba+++„，再类比可以证

明2322ababba+++„，综合即可得证明；【详解】解：（1）根据题意，由于2222ababMabbaabba++++++剟对任意正数a，b恒成立，-16-令ab=得：2233M剟，故23M=；（2）先证明2223ababba+++.∵0a，

0b，要证上式，只要证()()()()3232222ababababba+++++，即证222abab+，即证()20ab−，这显然成立.∴2223ababba+++.再证明2322ababba+++.∵0a，0b，要证上式，只要证()()()(

)3232222aabbbaabba+++++，即证222abab+，即证()20ab−，这显然成立.∴2322ababba+++.【点睛】考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出M的值，是解题的突破口，属于中档题．2

1.在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l的极坐标方程为03=，射线2l的极坐标方程为3

=−.（1）写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；（2）若射线1l与曲线C交于O、A两点，射线2l与曲线C交于O、B两点，求ABO面积的取值范围.【答案】（1）4cos=；曲线C是以()2,0为圆心，2为半径的圆；（2）23,33.【解析】【分析】-17-（1

）先把曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程；（2）由题意令14cosOA==，则24cos3OB==−，从而得()()1213sin4cos2cos23si

n23sin232346ABOS==+=++，进而可求出ABO面积的取值范围.【详解】解：（1）由22cos2sinxy=+=（为参数）化为普通方程为()2224xy−+=()()22cos2sin4−+=，整理得

极坐标方程为4cos=曲线C是以()2,0为圆心，2为半径的圆.（2）令14cosOA==，24cos2cos23sin3OB==−=+()()1213sin4cos2cos23sin23sin232346ABOS

==+=++∵0,3，∴52,666+，∴1sin2,162+.ABO面积的取值范围为23,33【点睛】此题考查了参数方程化为普通方程，普通方程化极坐标

方程，利用极坐标的几何意义表示弦长，考查了运算能力，属于中档题.22.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分

析，建立了两个函数模型:①2yx=+，②exty+=，其中,,,t均为常数，e为自然对数的底数．-18-现该公司收集了近12年的年研发资金投入量ix和年销售额iy的数据，1,2,,12i=，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令2,iiux=lniivy=

(1,2,,12)i=，经计算得如下数据：xy1221()iixx=−1221()iiyy=−uv20667702004604.201221()iiuu=−121()()iiiuuyy=−−1

221()iivv=−121()()iiixxvv=−−3125000215000.30814（1）设iu和iy的相关系数为1r，ix和iv的相关系数为2r，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选

择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数12211()()()()niiinniiiixx

yyrxxyy===−−=−−，回归直线ˆyabx=+中斜率和截距的最小二-19-乘估计公式分别为：121()()()niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−；②参考数据：308477=，909.4868，4.4998e90．【答案】（1

）模型exty+=的拟合程度更好；（2）（i）0.023.84vx=+；（ii）32.99亿元.【解析】【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程，从而得出y关于x的回归方程；（ii）把90y=

代入（i）中的回归方程可得x值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分

析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1）121112122211()()()()iiiiiiiuuyyruuyy===−−=−−2150021500430.8625000503125000200====，121212122211()()()()iiii

iiixxvvrxxvv===−−=−−1414100.91770.2117700.308===，则12rr，因此从相关系数的角度，模型exty+=的拟合程度更好（2）（i）先建立v关

于x的线性回归方程.由exty+=，得lnytx=+，即=vtx+．由于1211221()()140.018770()iiiiixxvvxx==−−==−，4.200.018203.84,tvx=−=−=所以v关于x的线性回归方程为0.023.84vx=+，所以

ˆln0.023.84yx=+，则0.023.84ˆe.xy+=-20-（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即90y=，代入0.023.84ˆexy+=得，0.023.8490ex+=，又4.4998

e90，所以4.49980.023.84x+，所以4.49983.8432.990.02x−=，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的

位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性-21-