【文档说明】辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，723.396 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度下学期期中考试高二数学（A）时间：120分钟满分：150分命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.

设随机变量X服从正态分布()3,4N，若()()263PXaPXa−=−，则a=（）A.2−B.1−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意随机

变量X服从正态分布()3,4N，即正态分布曲线关于3x=对称,因为()()263PXaPXa−=−，故2(63)3,12aaa−+−==−，故选：B2.设等比数列na的前n项和为nS，且213Sa=，则公

比q=A.12B.13C.2D.3【答案】C【解析】【分析】将已知转化为1,aq的形式，解方程求得q的值.【详解】依题意1113aaqa+=，解得2q=，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,aq，属于基础

题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,nnaqaSn，利用等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,aq，进而求得数列其它的一些量的值.3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之

比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.1100B.160C.150D.130【答案】B【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【详解】设B表示汽车中途停车修理，1A表示公路上经过的

汽车是货车，2A表示公路上经过的汽车是客车，则()123PA=，()213PA=，()10.02PBA=，()20.01PBA=，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为()()()()()11222110.0

20.013360PBPAPBAPAPBA=+=+=.故选：B.4.函数()sincosfxxxx=+的导数()fx的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函

数的奇偶性、函数值进行排除.【详解】因为()sincosfxxxx=+，所以()sincossincosfxxxxxxx=+−=，令()()cosgxfxxx==，Rx，则()()cosgxxxgx−=−=−，所以函数(

)cosgxxx=是奇函数，故A，C错误；又()ππcosπ=-π<0g=，故B错误.故选：D.5.若()2nxx−二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含4x项的系数为

（）A.80B.14−C.14D.80−【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.【详解】由二项式()2nxx−，则其展开式的通项()()()()121C2C210,NrnrnrrrrnrrnnTxxxrnr−−−+=−=−

，展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为1Cn，4Cn，则14CCnn=，解得5n=，则通项为()()155215C2105,NrrrrrTxrr−−+=−，令1542r−=，解得2r=，则展开式中含4x项的系数为()22523554

C2128021−−==.故选：A.6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A.89B.19C.79D.59【答案】A【解析】【分析】由条件概

率公式求解即可.【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件A，灯泡寿命超过800小时为事件B，则()()0.9,0.8PAPAB==，所以()()()0.88|0.99PABPBAPA===.故选：A7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题

，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A.333412963CCCB.33341296433CCCAAC.33331296444CCCAD.333312964CCC【答案】A【解析】【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每

个课题依次选三个人即可，共有3331296CCC中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：333412963CCC，故选A.8.已知函数32()1fxxaxx=−+−−在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.(,3][3,)−−

+B.[3,3]−C.(,3)(3,)−−+D.(3,3)−【答案】B【解析】【分析】由题得()0fx在R上恒成立，解不等式24120a=−即得解.详解】由题意知，2()321fxxax=−+−，因为()yfx=在R上是单调函数，且()yfx=的图象开口向下，

所以()0fx在R上恒成立，故24120a=−，即33a−．故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数()fx在某个区间可导，()fx在这个区间是增函数'()fx0.一般地，函数()fx在某个区间可

导，()fx在这个区间是减函数'()fx0.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对两个变量x与y进行线

性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，则下列说法正确的是（）A.残差平方和越小模型，拟合的效果越好B.由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心(),xy【的C.用相关指数2R来刻画回归效果，2R越小，

说明模型的拟合效果越好D.若变量x与y之间的相关系数0.80r=，则变量x与y之间具有很强的线性相关性【答案】ABD【解析】【分析】根据残差的平方和的性质判断A，根据回归方程的性质判断B，根据相关指数的性质判断C，根据相关系数的定义判断D.【详解】对于A，由残差的意义可得，残差

平方和越小的模型，拟合的效果越好，A正确；对于B，若回归方程为ˆˆˆybxa=+，则ˆˆybxa=+，即回归方程表示的直线必过样本点的中心(),xy，B正确；对于C，相关指数2R越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C正确；对于D，变量x与y之间的相关系数0.80r=，故相关系

数较为接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关性.D正确；故选：ABD.10.设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS，公差为d.已知312a=，100S，60a，则（）A.数列nnSa的最小项为第6项B.2445d−

−C.50aD.0nS时，n的最大值为5【答案】ABC【解析】【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于d的不等式组，求出d的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.【详

解】对于C选项，由()()110105610=502aaSaa+=+且60a，可知50a，故C正确；对于B选项，由53635632122031230252450aaddaaddaaadd=+=+=+=++=+=+，可得2445d−−，故B正确；对于D选项，因为100S，

()111116111102aaSa+==，所以，满足0nS的n的最大值为10，故D错误；对于A选项，由上述分析可知，当15n且*Nn时，0na；当6n且*Nn时，0na，所以，当15n且*Nn时，0nnSa，当610n且*Nn时，0nnSa

，当11n且*Nn时，0nnSa.由题意可知{𝑎𝑛}单调递减，所以当610n且*Nn时，6789100aaaaa，由题意可知nS单调递减，即有6789100SSSSS

，所以678910111110aaaaa−−−−−，由不等式的性质可得6789106789100SSSSSaaaaa−−−−−，从而可得6789106789100SSSSSaaaaa

，因此，数列nnSa的最小项为第6项，故A正确.故选：ABC.11.如果函数()fx对定义域内的任意实数，都有()()0fxxfx+，则称函数()yfx=为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（）A()exfx=B.()lnfxx=C.()2fxx=D.()sinfxx=

【答案】ABD【解析】【分析】令()()gxxfx=，则()()()0gxfxxfx=+，可得函数()gx在定义域内是单调递增函数，称函数()yfx=为“F函数”，逐项验证可得答案．【详解】令()()gxxfx

=，则()()()0gxfxxfx=+，.即函数()gx在定义域内是单调递增函数，称函数()yfx=为“F函数”．对于A，()exfx=，()()()e==xgxfxxxxR，()()ee1exxxgxxx

=+=+，当1x−时，()0gx，()gx单调递增，当1x−时，()0gx，()gx单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()exfx=不是“F函数”．故A正确；对于B，()lnfxx=

，()()()ln0==gxfxxxxx，()ln1gxx=+，当10ex时，()0gx，()gx单调递减，当1ex时，()0gx，()gx单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()lnfxx=不是“F函

数”．故B正确；对于C，()2fxx=，()()()3==gxfxxxxR，()203=xxg，所以()gx单调递增函数，则函数()2fxx=是“F函数”．故C错误；对于D，()sinfxx=，()()()sin==gxxfxxxxR

，()sincosgxxxx=+，当3ππ2x时，()0gx，()gx单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()sinfxx=不是“F函数”．故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()()gxxfx=，根据()0gx可得函数()g

x在定义域内是单调递增函数，称函数()yfx=为“F函数”．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那

么有______种不同的站法.(用数字作答)【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有

3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有4424A=种情况，则有32472=种不同的站法；故答案为72．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.已知随机变量X，Y满足21YX=+，且随机变量

X的分布列如下：X012P1613a则随机变量Y的方差()DY等于______；【答案】209##229【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得a，再由期望、方差公式计算出()DX,最后利用()()2DaXbaDX+=计算可得答案.【详解】

因为11163a++=，所以12a=，()11140126323=++=EX，()22214141450126333239=−+−+−=DX，所以()()()520214499=+===DY

DXDX.故答案为：209.14.若函数()3231fxaxax=−+有3个不同的零点,则实数a的取值范围为______.【答案】1,4+【解析】【分析】由已知()()'23632fxaxaxaxx=−=−,分为0a=、0a和0

a进行讨论,利用函数的单调区间和()01f=即可得到答案.【详解】由已知()()'23632fxaxaxaxx=−=−,当0a=时,函数()0fx=无解,不符合题意;当0a时,()'0fx得02x,()'0fx得

0x或2x,即函数()fx的增区间为()0,2,减区间为()(),0,2,−+,又()01f=,所以函数()fx有且仅有1个零点,与题意不符;当0a时,()'0fx得0x或2x,()'0fx得02x,即函数()fx的增区间为()(),0,2,−+,减区间为()0,2,

又()01f=,要使函数()3231fxaxax=−+有3个不同的零点,则需()20f,即81210aa−+,解得14a.故答案为:1,4+.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.15.已知数

列na的前n项和为nS，123n=，，，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a=；条件②：12nnaa+−=；条件③：24S=−.）选择条件和．（1

）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足nnba=，并求数列nb的前n项的和nT【答案】（1）25nan=−（2）当12n≤≤时2=4nTnn−+，当3n时248nTnn=−+【解析】【分析】（1）根据1

2nnaa+−=可知数列na是以公差2=d的等差数列，然后求出首项，即可得通项.（2）由52,12;25,3nnnbnn−=−，分情况讨论即可得nT【小问1详解】选①②，由12nnaa+−=可知数列na是以公差2=d的等差

数列，又55a=得13a=−，故()32125nann=−+−=−选②③，由12nnaa+−=可知数列na是以公差2=d的等差数列，由24S=−可知124,aa+=−13a=−，()32125nann=−+−=−选

①③，无法确定数列.【小问2详解】52,12;252525,3nnnnnanbannn−=−==−=−，其中nN,当12n≤≤，nN时，2=4nTnn−+当3n，nN时，数列nb是从第三项开始，以公差2=d的等差数列

()()21252=4+482nnnTnn+−−=−+.16.已知函数()ln22fxxx=−+−．（1）求曲线()yfx=的斜率等于1的切线方程；（2）求函数()fx的极值．【答案】（1）1yx=−；（2）极小值ln21−，无极大值．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，

根据()01fx=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.【详解】（1）设切点为()00,xy，因为()12fxx=−+，所以0121x−+=，01x=，0ln1220y=−+−=，所以切线方程l为()011yx−=−，即1y

x=−．（2）()fx的定义域为(0,+∞)．令()0fx=即120x−+=，12x=，令()0fx，得12x，令()0fx，得102x，故()fx在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增，所以()fx存在极小

值1ln212ln212f=+−=−，无极大值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达

到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：)20,25，)25,30，)30,35，)35,40，40,45.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握

认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间40,45中含有的个数为X，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22na

dbcabcdacbd−=++++.()20Px0.1000.0500.0100.0050.0010x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为

，“质量优等”与使用不同的肥料有关（2）分布列见解析，2()3EX=【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.（2）随机变量X的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.【小问1详解】解：由题意

可得22列联表为：甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++2200(42001200)20018.18210.8281001001109011−=

=.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.【小问2详解】由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间40,45中含有10个，随机变量X的可能取值有0，1，2，021020230CC19038(0)C43587P

X====，111020230CC20040(1)C43587PX====，210230C459(2)C43587PX====，随机变量X分布列如下：X012P38874087987的384092()0128787873EX=+

+=.18.已知数列na满足11a=，11nnSan+=−−.（1）证明：数列1na+是等比数列；（2）设1nnnba=+，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析；（2）222nnnS+=−.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合12,nnnnaSS−

=−推理判断作答.（2）由（1）求出nb，再利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当1n=时，122Sa=−，解得23a=，当2n时，11nnSan+=−−，1nnSan−=−，两式相减得11nnnaaa+=−−，即121nnaa+=+，即有()1121nnaa++=+

，而21142(1)aa+==+，则Nn，()1121nnaa++=+，所以数列1na+是以2为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知12nna+=，于是12nnnnnba==+，则231232222nnnS=++++，于是231112122222nnnnnS+−=+

+++，两式相减得2311111(1)11222112221212222121nnnnnnnnnS+++−+=++++−=−=−−，所以222nnnS+=−.19.设函数()exfxax=−，0x且Ra

．（1）求函数()fx的单调性；（2）若()21fxx+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）e2a−【解析】【分析】（1）求导后分1a与1a两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当0x=时成立，当0x时参变分离可得2e1xxax−−，再构造函数()2e1xx

gxx−−=，0x，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为2max11exxax++，再构造函数()21exxaxhx++=，求导分类讨论单调性与最大值即可.【小问1详解】()exfxa=−，0x，当1a时，()0fx恒成立，则()fx在)0,+上单

调递增；当1a时，)0,lnxa时，()0fx，则()fx在)0,lna上单调递减；()ln,xa+时，()0fx，则()fx在)0,lna上单调递增．小问2详解】方法一：2e1xaxx−+在0x恒成

立，则当0x=时，11，显然成立，符合题意；当0x时，得2e1xxax−−恒成立，即2mine1xxax−−记()2e1xxgxx−−=，0x，()()()2e11xxxgxx−−−=

，构造函数e1xyx=−−，0x，则e10xy=−，故e1xyx=−−为增函数，则0e1e010xx−−−−=.故e10xx−−对任意0x恒成立，则()gx在()0,1递减，在()1,+递增，所以【()()min1e2gxg==−∴e2a−．方法二：211exxax++在)0,

+上恒成立，即2max11exxax++．记()21exxaxhx++=，0x，()()()11exxxahx−+−=−，当1a时，()hx在()0,1单增，在()1,+单减，则()()max211eahxh+==，得e2a−，舍：当01

a时，()hx在()0,1a−单减，在()1,1a−单增，在()1,+单减，()01h=，()21eah+=，得0e2a−；当0a=时，()hx在()0,+单减，成立；当a<0时，()hx在()0,1单减，在()1,1a−单增，在()1,a−+单减，()01h=，()

121eaaha−−−=，而1e11aa−−+，显然成立．综上所述，e2a−．