【文档说明】湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第二次联考 数学试题 含答案【武汉专题】.pdf，共(27)页，976.772 KB，由envi的店铺上传

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2023届湖北省二十一所重点中学高三第二次联考数学命题学校：黄冈一中定稿人：成思远本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅

笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4．考生必须保持

答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集3,2,1,1,2,3U，集合1,1A，B={1，2，

3}，则（UAð）∩B=（）A.{1}B.{1，2}C.{2，3}D.{1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先计算出UAð，再计算UABð即可.【详解】3,2,2,3,2,3UUAAB痧.故选

：C.2.已知复数122iz，则复数z的虚部为（）A.15B.15C.85D.125【答案】A【解析】【分析】先由复数的运算求出z，再求出虚部即可.【详解】12i2i121222i2i2i2i555z，故虚

部为15.故选：A.3.对任意的12,1,3xx，当12xx时，1122ln03xaxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A.3,B.3,C.9,D.9,【答案】C【解析】【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln3afxxx

，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln0ln(ln)0333xaaaxxxxxxx，令()ln3afxxx，(1,3]x，则对任意的12,(1,3]xx，当12xx时，12()()fxfx，即有函数()fx在(1

,3]上单调递减，因此，(1,3]x，()1033afxaxx，而max(3)9x，则9a，所以实数a的取值范围是[9,).故选：C4.若函数sin3fxx（0）在,2ππ上单调，且在0,4

上存在极值点，则ω的取值范围是（）A.1,23B.2,23C.27,36D.17,36【答案】C【解析】【分析】依据函数在,2ππ上单调，可知2，计算出函数的对称轴，然后

根据函数在所给区间存在极值点可知76，最后计算可知结果.【详解】因为()fx在,2ππ上单调，所以T，则2，由此可得2.因为当32xk，即6kxkZ

时，函数取得极值，欲满足在0,4上存在极值点，因为周期T，故在0,4上有且只有一个极值，故第一个极值点64x，得23，又第二个极值点776122x

，要使()fx在,2ππ上单调，必须76，得76.综上可得，的取值范围是27,36.故选：C【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据

函数在所给区间存在极值点可得46，76即可.5.已知常数12,kk满足12120,1kkkk.设1C和2C分别是以1(1)1ykx和2(1)1ykx为渐近线且通过原点的双曲线，则1C和2C的离心率之比12ee（）A.212211kkB.222111

kkC.1D.12kk【答案】C【解析】【分析】由题可以判断中心为点(1,1)P，且1C为实轴在直线1x上的双曲线，2C为实轴在直线1y上的双曲线，可以用12,kk表示离心率，继而求出离心率之比.【详解】由题意知双曲线12,CC的中心为点(1,1)P，由两双曲线过原点可知1C为实轴在直

线1x上的双曲线，所以221121akb，222111222111111cbeaak，2C为实轴在直线1y上的双曲线，所以222222bka，22221ek，因此2211122222211211111ekkekkkk.故选：C.【点睛】本题

考查对双曲线渐近线和离心率性质的理解，属于中档题.6.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin3!5!7!xxxxx211121!nnxn，(其中xR，*nN，n!=1×2×3×…×n，0!=1)，现用上述公式求11111112!4

!6!22!nn的值，下列选项中与该值最接近的是（）A.sin30B.sin33C.sin36D.sin39【答案】B【解析】【分析】求出(sin)x后代入1x得cos1=sin12

可得答案，即18090与33最接近.【详解】246221'(sin)cos112!4!6!22!nnxxxxxxn所以cos1=111111(1)2!4!

6!(22)!nn=sin12=sin18090，由于18090与33最接近，故选：B7.在计算机的C语言编译器中，一般对char（一种整数类型）读取后八个字节，如000100000000

视为00000000即为0.故因此衍生出了补码，即当取值在10000000到11111111之间，视为负数处理.如果定义一个char类型变量127c，1c后输出的值为（）A.0B.128C.1D.128【答案】D【解析】【分析】根据题中所给算法进行计算即可.【详解】因为取值在10000

000到11111111之间，视为负数处理，所以换算为10进制，即128-255之间的数用负数处理，又因为255处理为1，254处理为2，253处理为3，……以此类推，128处理为128.故选：D8.某旅游景区有如图所示A至

H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行

选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有43224种,第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有,,,,,,BEBGBHCECHDEDG共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714种，根据分步计数原理,共有241

4336种,故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知正数x，y，z满足3412xyz

，则（）A.111xyzB.634zxyC.24xyzD.4xyz【答案】ABD【解析】【分析】设3412xyzt，1t，求出,,xyz，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利

用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.【详解】解：设3412xyzt，1t，则3logxt，4logyt，12logzt，所以3411111log3log4log12loglogtttxyttz，A正确；因为121232log

32log6log913loglog12tttzxt，则63zx，因为38143log3log4log643log64144log4log3log81tttttxyt，则34xy，所以634zxy，B正确；因为34121

144loglog4loglog3log4log12tttxyztttlog3log44log3log4log3log4tttttt2log3log40log3log4log3log4tttttt

，则4xyz，D正确.因为111xyzxyxy，则4xyxyzz，所以24xyz，C错误.故选：ABD.10.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列

为世界三大数学家，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx称为高斯函数，例如[2.1]3，[2.1]2.则下列说法正确的是（）A.函数[]yxx在区间[,1)kk（Zk）上单调递增B.若函数sine()exxxfx

，则[()]yfx的值域为{0}C.若函数()|1sin21sin2|fxxx，则[()]yfx的值域为{0,1}D.Rx，[]1xx【答案】AC【解析】【分析】求出函数式确定单调性判断A；

举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.【详解】对于A，[,1)xkk，Zk，有[]xk，则函数[]yxxxk在[,1)kk上单调递增，A正确；对于B，333322223sin312()(1,0)2eeeef，则3[()]

12f，B不正确；对于C，22()(1sin21sin2)221sin222|cos2|fxxxxx，当10|cos2|2x时，122|cos2|2x，1()2fx，有[()]1fx，当1|cos2|12x时，022|cos2|1x，0()1f

x，有[()]0fx，[()]yfx的值域为{0,1}，C正确；对于D，当2x时，[]13x，有2[2]1，D不正确.故选：AC11.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数

学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()fx是定义在R上的函数，对于xR，令1()(123)nnxfxn，，，，若存在正整数k使得

0kxx，且当0<j<k时，0jxx，则称0x是()fx的一个周期为k的周期点.若122()12(1)2xxfxxx，，，下列各值是()fx周期为1的周期点的有（）A.0B.13C.23D.1【答案】AC【解析】【分析】根据题意中周期点定义，分别

求出当00x、013x、023x、01x时的函数周期，进而得出结果.【详解】A：00x时，100xf，周期为1，故A正确；B：013x时，1231222233333nxfxfxx

，，，所以13不是fx的周期点.故B错误；C：023x时，1223nxxx，周期为1，故C正确；D：01x时，110xf，1不是fx周期

为1的周期点，故D错误.故选：AC.12.在数列na中，对于任意的*nN都有0na，且211nnnaaa，则下列结论正确的是（）A.对于任意的2n，都有1naB.对于任意的10a，数列na不可能为常数列C.若102a，则数列na为递增数列D.

若12a，则当2n时，12naa【答案】ACD【解析】【分析】A由递推式有*nN上111nnnaaa，结合0na恒成立，即可判断：B反证法：假设na为常数列，根据递推式求na判断是否符合10

a，即可判断；C、D由*nN上111nnnaaa，讨论112na、12na研究数列单调性，即可判断.【详解】A：由111nnnaaa，对*nN有0na，则1111nnnaaa，即任意2n都

有1na，正确；B：由11(1)nnnaaa，若na为常数列且0na，则2na满足10a，错误；C：由111nnnaaa且*nN，当112na时101nnaa，此时122(1)(0,2)aaa且12aa，数列na递增；

当12na时11nnaa，此时1222(1)2aaaa，数列na递减；所以102a时数列na为递增数列，正确；D：由C分析知：12a时12na且数列na递减，即2n时12naa，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设na为常数

列求通项，判断是否与10a矛盾；对于C、D，将递推式变形为111nnnaaa，讨论112na、12na时研究数列的单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设1011

xyxy展开式中各项系数和为5,Axy的系数为B，则A___________；B___________.【答案】①.1024②.5400【解析】【分析】令1xy，即可得到展开式各项系数和，从而求出A，再由1010101111xyxyxyxy

，写出展开式的通项，再令1051rtrt，求出r、t，再代入计算可得；【详解】解：依题意令1xy得104A，所以1010421024A；又1010101111xyxyxyxy，所以展开式的通项为

101010101010rrrtttrtrtrtTCxyCxyCCxy令1051rtrt，解得32rt，所以10035125400CCxy，故5xy的系数5400B；故答案为：1024；5400；14.空间四

面体ABCD中，60ACD，二面角ACDB的大小为45，在平面ABC内过点B作AC的垂线l，则l与平面BCD所成的最大角的正弦值___________.【答案】104##1104【解析】【分析】通过空间想象确定l与平面BCD所成角最

大时平面ABC与平面BCD的关系，从而得到所求角和ECH的关系，然后设棱长，利用二面角和60ACD直接计算可得.【详解】记过点B作AC的垂线l，垂足为E，过点E作垂直于直线CE的平面，交平面BCD于直

线BF，则当平面ABCBF时，l与平面BCD所成角最大，且与ECH互余.此时，因为平面ACBBF，BF平面BCD所以平面ACB平面BCD，则由点E向平面BCD作垂线，垂足H在CB上，过H作CD垂线HG，垂足为G，连接EG.由题知，45

EGH，记GHm，则在RtGEH中，,2EHmEGm又60ACG，所以在RtEGC中，263mCE，在RtEHC中，6sin4263EHmECHECm记此时l与平面BCD所成角为，则2610sincos144ECH.故答案

为：10415.函数2()2exfxabx，其中a，b为实数，且(0,1)a.已知对任意24eb，函数()fx有两个不同零点，a的取值范围为___________________.【答案】8e,1【解析】【分析】将函数有两个不

同零点转化为方程有两个不等实根；再将方程变形构造新函数，求导并研究新函数的单调性，求其最小值，得到22lnbae，再由已知条件求得8,1ae即可.【详解】因为fx有两个不同零点0fx有两个不相等的实根即220xabxe

有两个不相等的实根；所以ln220xabxee，令lntxa，则220lntbtaee，t显然不为零，所以22lntbatee，因为0,1a，24eb，所以20lnba，所以0t；令20tgtttee

，则22tttgtteee；令20tthttteee，则0tttthttteeee，所以ht在0,上单调递增，又20h，所以当0,2t时，0ht；当2,t时，0ht；所以当

0,2t时，0gt；当2,t时，0gt；故gt在0,2上单调递减，在2,上单调递增；所以2min2gtge，所以22lnbae；又24eb，所以24be，所以ln4

2a即ln8a，8ae，又0,1a，所以8,1ae；故答案为：8,1e.16.已知平面向量a，b和单位向量1e，2e满足12ee，121213aeeaeebae

，，22，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为__________.【答案】23【解析】【分析】不妨设11,0eur，,axy，则由

题知21,0e，由已知条件得225924xy，41x≤≤，将b用坐标表示，并求模，代入22及225924xy，整理得29484bxx，构造函数，求出最小值，表示出m的解析式，用均值不等式求其最大值即

可.【详解】不妨设11,0eur，,axy，则由题知21,0e12122,2,aeexyaeexy，又12123aeeaee，所以2222232x

yxy整理得225924xy①，所以41x≤≤又1bae，22所以12222,baexy而2222bxy222222222xyx

将①代入整理得：29484bxx令29484,4,1fxxx，90x，f有最小值，2min169484162036999xxxfxxmin416204,1999xmbxx

，又41641616299999xxxx，当且仅当2x时等号成立所以42093m，当2x时m有最大值23.故答案为：23.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.现有下列

三个条件：①函数fx的最小正周期为；②函数fx的图象可以由sincosyxx的图象平移得到；③函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离2.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量3sin,cos2xxm，2c

os,1nx，0，函数fxmn.且满足_________.（1）求fx的表达式，并求方程()1fx=在闭区间0,上的解；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

.已知3coscosacBbC，22Cf，求cosA的值.【答案】（1）不能选②，2sin26fxx，0x或3x或x；（2）2616.【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得fxmn2sin26x

，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得1，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得3C，根据正弦定理以及题中条件，求得1cos3B，根据平方关系求得22sin3B，结合诱导公

式以及三角形内角和，求得cosA的值.【详解】（1）因为3sin,cos2xxm，2cos,1nx，所以3sin2coscos2fxmnxxx3sin2cos22sin26xxx.若满足条件①

：22T，所以1，故2sin26fxx.因为sincos2sin4yxxx，无法由sincosyxx的图象经过平移得到2sin26fxx的图象，

因此不能选②.若满足条件③：因为22T，所以22T，故1，即2sin26fxx.综上，无论选条件①或③，所求2sin26fxx.因为0,x，所以132,666x

.又2sin216fxx，所以1sin262x，所以266x或5266x或13266x，即0x或3x或x.所以方程()1fx=在闭区间0,上的解为0x或3x或x.（2）由（1）知2s

in226CfC，所以262Ck，kZ，即23Ck，kZ.因为0,C，所以3C，3sin2C，1cos2C.又3coscosacBbC，由正弦定理sinsinsinabcABC，得sin

sincossin3cosACBBC，整理得3sincossincoscossinsinsinABBCBCBCA.因为0,A，所以sin0A，所以1cos3B.又0,

B，得22122sin1cos133BB，所以coscoscossiconsssincoBCBABCBCC1132226132236.18.已知数列na满足0na，*Nn.（1）若22

10nnnaaka且0na.（ⅰ）当lgna成等差数列时，求k的值；（ⅱ）当2k且11a，4162a时，求2a及na的通项公式.（2）若21312nnnnaaaa，11a，20a，34,8a.设nS是n

a的前n项之和，求2020S的最大值.【答案】（1）（ⅰ）1k，（ⅰⅰ）22a，212nna；（2）505143.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求k的值；由题可得1nnaa是首项为2，公比

为2的等比数列，进而可得数列1nnaa的通项，再利用累乘法即可求na的通项公式；（2）利用分组求和可得2504202012341444Saaaa，结合2432aaa，3[4,8]a，

求出利用基本不等式求1234aaaa最大值，即可求出2020S的最大值.【小问1详解】（ⅰ）因为lgna成等差数列，所以122lglglgnnnaaa，所以212nnnaaa，又2210nnnaaka所以1k；（ⅱ）因为22120nn

nnaaaa，所以21322aaa，22432aaa，所以322148162aaa，所以22a，因为2112nnnnaaaa，又由212aa，所以1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，所以1122nnnaa，所

以2110122321121222nnnnnnaaaaaaaa，∴所以212nna；【小问2详解】由21312nnnnaaaa可

得132412nnnnaaaa，所以22424111224nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以414nnaa，即44nnaa，因为213412aaaa

，11a，20a，所以341220aaaa即2432aaa，202015920172610201837112019Saaaaaaaaaaaa48122020aaaa

250425041214441444aa250431444a250441444a250412341444aaaa，因为2432aaa

，3[4,8]a，所以240aa，因为20a，所以40a，所以43224222aaaaa，可得24322aaa，所以123433122aaaaaa，令33122yaa，设32,22ta，2221ytt

，对称轴为2t，是开口向上的抛物线，在2,22t单调递增，所以22t时取得最大值，故1234aaaa最大值为222222211，所以2504202012341444Saaaa最大值为50550514141143.【点睛】方法

点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和

即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减

；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如1nnafn类型，可采用两项合并求解.19.已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，//,90,ABDCDABPA平面ABCD，112PAADDCAB.（1

）若点M是棱PB上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为12；②12PMMB中哪一个条件可以推断出//PD平面ACM（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；（2）若点N为棱PC上的一点（不含端点），试探究PC上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存

在，请求出PNNC的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）②，证明见解析（2）存在，1PNNC【解析】【分析】（1）先连接AB、CD交于E，确定E是BD的几等分点，再确定M是PB的几等分点．（2）建立空间直角

坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为0，列出方程求解．【小问1详解】条件②可以推断//PD平面ACM.如图，连接AC，BD相交于点E，连EM.在梯形ABCD中，有//ABDC，112ADDCAB，12DECDBEAB.又因为12DEPMBBEM，所以BM

EBPD，故//EMPD，又PD平面ACM，EM平面ACM，所以//PD平面ACM.故当12PMMB时，//PD平面ACM.【小问2详解】以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0

，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设(01)PNPC，则(,,1)N对于平面ADN，设其法向量1(,,)nxyz，满足1

100ADnANn，即010xxyz，故取11(0,,1)n对于平面BDN，设其法向量2(,,)nxyz，满足2200BDnBNn，即20210

xyxyz，故取232(2,1,)1n，若平面ADN平面BDN，则12nn，即13201，解得12，此时N为PC的中点，1PNNC.20.某种电子玩具启动后，

屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对1p（101p）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为1p，亮起绿灯的概率为11p．随后若第n（nN）次亮起的是红灯，则第n+1次

亮起红灯的概率为13，亮起绿灯的概率为23；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为23，亮起绿灯的概率为13．（1）若输入112p，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（1

0102021，12）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入113p，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？【答案】（1）分布列见解析，32EX（2）7次【解析】【分析】（1）由题意分析X的所有可能取值为0，1，2，3.分别求概率，写出分布列，求出数学期望；（2）记

第n次亮灯时，亮起红灯的概率为np，得到11233nnpp，能证明出12np是首项为16，公比为13的等比数列.求出np，根据题意建立不等式，求出n的最大值.【小问1详解】据题意，X的所有可能取值为0，1，

2，3.当X0时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则()1111023318PX==创=当1X时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则121122112412332332339PX当2

X时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，则112122121422332332339PX当3X时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则1111323318PX所以X的分布列为：X0123P1184

9491181441301231899182EX【小问2详解】记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为np，由题设，1121213333nnnnpppp则1111232nnpp因为113p则11126p，所以12np是

首项为16，公比为13的等比数列.则1111263nnp，所以111223nnp由11112232nnp，得11023n，所以n为奇数.由111101022

32021nnp，得1132021n因为n为奇数，则1132021n，即32021n，则7n.当20n时，7n，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7

次歌.21.已知点(1,1)M在抛物线E：22ypx（0p）的准线上，过点M作直线1l与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线2l与抛物线E交于A，C两点.（1）求抛物线E的标准方程；（2）（ⅰ）求证：直线BC过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H

，设ABH的面积为S，且满足5S，求直线1l的斜率的取值范围.【答案】（1）24yx（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）51151,1,222【解析】【分析】（1）根据点M在抛物

线的准线上可得12p，即可求出抛物线方程（2）（ⅰ）设直线1l的方程为1(1)1xyk，与抛物线联立方程组得到1212444yykyyk，再写出直线BC的方程，根据两点式写出ACk，整理消去1y，即可求出直线BC所过定点（ⅱ）因为121||2SMHyy，根据

（ⅰ）中的结论和弦长公式求出12yy，再根据5ABHS列出关于k的不等式，解出k的范围即可【小问1详解】由题意可知C：22ypx（0p）的准线方程为：2px，即12p，所以2p.抛物线C的标准方程为24yx

【小问2详解】设11,Axy，22,Bxy，33,Cxy，（ⅰ）由题意知直线1l不与y轴垂直，故直线1l方程可设为：1(1)1xyk，与抛物线方程联立21(1)14xykyx，化简得：24440yykk，根据

韦达定理可得：1212444yykyyk即12124yyyy，2323234BCyykxxyy，直线BC方程为22234yyxxyy，整理得：23234yyyxyy.又因为31313142ACyykxxyy

，即132yy.将132yy代入12124yyyy化简可得：32326yyyy，代入23234yyyxyy整理得：233(1)4()2yyyxy故直线BC过定点3,12H（ⅱ）由（ⅰ）知MH与x轴平行，

直线1l的斜率一定存在121||2SMHyy，5||2MH由（ⅰ）知1212444yykyyk所以212121221511||45124SMHyyyyyykk，又因为5S即

211515kk，化简得12k或1k又由0，得：155122k且0k，即1512k或15122k综上所述，51151,1,222k2

2.已知函数2()lnfxxx．（1）求函数()yfxx的最小值；（2）若方程fxmmR有两实数解12,xx，求证：22121211e11xxxx．（其中e2.71828为自然对数的底数）．【答案】（1）

1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接令()()gxfxx，求导，再把导数构造成新函数，再次求导，确定()gx单调性，进而确定()gx单调性，即可求得最小值；（2）先求导确定()fx单调性，结合图像得12120e

1,0xxm，设直线ym与直线1eyx、1yx交点的横坐标分别为1x、2x，再结合函数放缩得1212xxxx，最后构造函数2(1)()ln1xxxx证得lnln2bababa即可得证.【小问1详解】易得0x，

令2()()lngxfxxxxx，则()2ln1gxxxx，令()2ln1hxxxx，则()2ln3hxx，令()0hx解得32ex，令()0hx解得32ex，∴()gx在320,e上单调递减，在32e,

上单调递增，又∵01x时，2ln0,10xxx，()0gx，(1)0g，∴()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，∴min()(1)1gxg；【小问2详解】易得0x，∵()(2ln1)fxxx，当120,ex

时，()0fx，当12e,x时，()0fx，∴()fx在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，又∵01x时，2()ln0fxxx，(1)0f，

画出草图如图所示：不妨设12xx，∴12120e1,0xxm．由（1）知，()1fxx，当且仅当1x时取等号，令l(n)xtxx，)ln1(xxt，显然()tx在10,e单减，1,e单增，故11

()()eetxt，即1lnexx，∴1()efxx，当且仅当1ex时取等号，设直线ym与直线1eyx、1yx交点的横坐标分别为1x、2x，则1exm，21xm，由图可知21211e(e1)1xxxxmmm

，∴12e111xxm①，令2(1)()ln1xxxx，222114()011xxxxxx，又(1)0，可得当1x时，()0x，即2(1)ln01xxx，令

1bxa，0ba，则2(1)ln1bbabaa，即2()lnlnbababa，即lnln2bababa，又120xx，则2212xx，又22111222()ln,()lnfxxxmfxxxm，则22222222122121122

22122212lnln22xxxxxxxxxxmmmxx，∴2212111xxm②综合①②可得，22121211e11xxxx．【点睛】本题关键点在于先由单调性结合图像得12120e1,0xxm

，由()1fxx以及1()efxx结合函数图象得1212xxxx，最后构造函数2(1)()ln1xxxx证得lnln2bababa即可得证.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com