【文档说明】《第四章 指数函数与对数函数》学业水平质量检测（A卷）（解析版）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）.docx，共(11)页，803.729 KB，由envi的店铺上传

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《第四章指数函数与对数函数》学业水平质量检测（A卷）一、单选题1.函数2()(5)logafxaax=+−为对数函数，则1()8f=()A.3B.3−C.3log6−D.3log8−【答案】B【解析】解：函数2()(5)logafxaax=+−为对数函数，2

51,0,1,aaaa+−=解得2a=，2()logfxx=，211()log3.88f==−故选.B2.函数23()=log-fxxx的零点所在的大致区间是()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题设()fx的定义域为(0,)+，又23=log,y

xyx=−在(0,)+上单调递增，()fx在定义域上单调递增，又231(2)=log2-022f=−，2(3)=log3-10f，即(2)(3)0ff，零点所在的大致区间是故选.B3.设p：2log0x„，q：22x„，则p是q的()A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解2log0x„，01x„，即:01.22xpx剟，1x„，即:1.qx„p是q的充分不必要条件.故选.A4.已知函数2()lg(32)fxxx=−+−，则函数(21)fx−的定义域为()A

.3(,1)(,)2−+B.(1,3)C.(1,2)D.3(1,)2【答案】D【解析】解：由题可知2320xx−+−，即2320xx−+，解得12x，故函数()fx的定义域为{|12}.x

x对于函数(21)yfx=−，有1212x−，解得31.2x因此函数(21)yfx=−的定义域为3(1,).2故选.D5.在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，D

NA的数量(nX单位：/)gL与PCR扩增次数n满足01.6nnXX=，其中0X为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1/gL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10/gL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg1.60.20，ln1.60.4

7)()A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】解：由题意可知，00.1X=，10nX=，令100.11.6n=，得1.6100n=，两边同时取对数可得，lg1.6lg1002n==，所以210.lg1.6n=

故选.B6.已知函数log(1)()2(1)axxfxaxx=−„，对任意12xx，都有1212()()0fxfxxx−−成立，则a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2]C.(1,2)D.

(1,2]【答案】D【解析】解：由题意得，函数log(1)()2(1)axxfxaxx=−„在R上单调递增，故有得12.a„7.若偶函数()fx的图象关于1x=对称，且当[0,1]x时，()fxx=，则函数

()fx的图象与函数lg||yx=的图象的交点个数为()A.9B.16C.18D.20【答案】C【解析】解：由题意知，函数()fx是偶函数，所以()()fxfx=−，又()fx的图象关于直线1x=对称，所以()(2)fxfx−=+，所以()()(2)fxfxfx=−=+，所以当0

x时，作函数()fx的图象与函数lgyx=的图象，如图所示：由图知，0x时，函数()fx的图象与lgyx=的图象的交点个数为9，因为()fx是偶函数且lg||yx=也是偶函数，所以0x时两函数图象也有9个交点，故函数()fx的图象与函数lg||yx=的图象交点个数为18.故选.C8.若22

33xyxy−−−−，则()A.ln(1)0yx−+B.ln(1)0yx−+C.ln||0xy−D.ln||0xy−【答案】A【解析】解：由2233xyxy−−−−，得2323xxyy−−−−，即112()

2().33xxyy−−设1()2()3xxfx=−，则()()fxfy，因为函数2xy=在R上为增函数，1()3xy=−在R上为增函数，所以1()2()3xxfx=−在R上为增函数，则由()()fxfy，得xy，所以0yx−

，所以11yx−+，所以ln(1)0yx−+，故选.A二、多选题9.以下关于数的大小的结论中正确的是()A.2.531.71.7B.0.10.20.80.8−−C.0.42.61.50.8D.113411()()34【答案】AB【解析】解：对于选项A：指数函数1.7x

y=在R上单调递增，且2.53，2.531.71.7，所以选项A正确，对于选项B：指数函数0.8xy=在R上单调递减，且0.10.2−−，0.10.20.80.8−−，所以选项B正确，对于选项C：0

.401.51.51=，2.6000.80.81=，0.42.61.50.8，所以选项C错误，对于选项D：11243111[()]()3381==，11234111[()]()4464==，且118164，

113411()()34，所以D错误，故选.AB10.在同一直角坐标系中，函数xya=与log(0,ayxa=且1)a的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有()A.43B.32C.75D.107【答案】AC【解析】解：由图象可知1a，且22443341616log

2.()2loglog2399aa==，故A符合题意;23322399()2loglog2244==，故B不符合题意;2775574949()2loglog252525==，故C符合题意;210107710100100()2lo

glog274949==，故D不符合题意.故选.AC11.关于函数20.4log(34)yxx=−++，下列说法正确的是()A.定义域为(1,4)−B.定义域为(,1)(4,)−−+C.值域为[2,)−+D.单调递增区间为3(,4)2【答案】A

CD【解析】解：令2340xx−++，得14x−，即函数20.4log(34)yxx=−++的定义域为(1,4)−，A正确，B错误;223252534()244xxx−++=−−+„，20.4log(34)[2,),yxxC

=−++−+正确;令234txx=−++，则其在3(1,)2−上单调递增，在3(,4)2上单调递减，又0.4logyt=在(0,)+上单调递减，由复合函数的单调性得20.4log(34)yxx=−++的单调递增区间为3

(,4)2，D正确.故选.ACD12.对于定义域为R的函数()fx，若存在非零实数0x，使函数()fx在0(,)x−和0(,)x+上与x轴都有交点，则称0x为函数()fx的一个“界点”．则下列四个函数中，一定存在“界

点”的是()A.2()(0,1)xfxaxaa=−B.2()2(fxxbxb=+−R)C.()1|2|fxx=−−D.12()log||fxxx=−【答案】BC【解析】解：2()(0,1)xfxaxaa=−，当8a=时，2()80xfxx=−在(0,)+

上恒成立，在(,0]−上只有一个零点，所以A不满足题意;对于2()2()fxxbxbR=+−，280b=+恒成立，即2()2()fxxbxbR=+−的图象与x轴恒有两个交点，在两个交点之间任取一个0x都是“界点”，所以B满足题意;由1|2|0x−−=，得1x=或3x=，所以函数()

fx有两个零点，且在1，3之间任取一个0x都是“界点”，所以C满足题意;函数12()log||fxxx=−的定义域是(,0)(0,)−+，所以D不满足题意.故选.BC三、填空题13.已知函数22()=2+xxafxa−是奇函数，则=a__________.【答案】1【

解析】解：22()2xxafxa−=+是奇函数，所以()()fxfx−=−，即222222xxxxaaaa−−−−=−++，即22122122xxxxaaaa−−=−++即22(12)(2)(2)(12)xxxxaaaa+−+=+−，即23232

2222222xxxxxxxxaaaaaa−−++=+−−即2232232(1)22(1)2xxxxaaaaaa−++−=−+−，所以332211aaaaaa−=−−=−=，解得1a=，经检验符合题

意，故答案为1.14.已知1.ab若5loglog2abba+=，baab=，则a=__________，b=__________.【答案】42【解析】解：由于1ab，则log(0,1)ab，因为5logl

og2abba+=，即15loglog2aabb+=，所以1log2ab=或log2(ab=舍去)，所以12ab=，即2ab=，所以22()bbbaabbb===，所以2ab=，则22bb=，所以2(0bb==舍去)，4.a=15.已知212()log(3)f

xxaxa=−+在区间(2,)+上是减函数，则实数a的取值范围是__________.【答案】44a−剟【解析】解：令23txaxa=−+，则由函数12()()logfxgtt==在区间(2,)+上为减函数，可得函数t在区间[2,)+上为增函数且

(2)0t…，故有，解得44a−剟，故实数a的取值范围是44a−剟，故答案为：44.a−剟16.已知函数，方程2()()10fxafx−−=有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为__________【答案】3(,]2−

【解析】解：因为函数，可得函数图像如图：由于方程2()()10fxafx−−=有4个不同的实数根，令()tfx=，则关于t的方程210tat−−=有2个不同的实数根，因为240a=+恒成立，设210tat−−=的两个不等

的实根为12,tt，不妨设12tt，由韦达定理知：1212,1ttatt+==−，则12,tt异号，由图可知：120,02tt„，所以22210a−−…，解得3.2a„四、解答题17.计算：1020.5231(1)(2)2(

2)(0.01)54−−+−；231(2)lg25lg2log9log2.2+−解：(1)原式121161+.431015=−=231(2)lg25lg2log9log22+−2231lg5lg22log3log22

=+−lg5lg22121.=+−=−=−18.某跨国饮料公司在对全世界所有人均(GDP即人均国内生产总值)在0.5∽8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.(1)下列

几个模拟函数：①2;yaxbx=+②;ykxb=+③log;ayxb=+④(xyabx=+表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：).L用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L

，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少.解：(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③

④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，所以把1x=，2;4yx==，5y=分别代入2yaxbx=+中，得2,5164,abab=+=+

，解得1,49,4ab=−=所以函数的解析式为219([0.5,8]).44yxxx=−+因为22191981()444216yxxx=−+=−−+，所以当92x=时，年人均A饮料的销售量最多，最多是81.16L19.

已知函数，且点(4,2)在函数()fx的图象上．(1)求函数()fx的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数()fx的图象；(2)求不等式()1fx的解集；(3)若方程()20fxm−=有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围

．解：(1)点(4,2)在函数()fx的图象上，(4)log42af==，2a=，22,0()log,0xxfxxx+=„函数()fx的图象如图所示.(2)不等式()1fx等价于20log1xx或021xx+„

解得02x或1x−，不等式()1fx的解集为(,1)(0,2).−−(3)方程()20fxm−=有两个不相等的实数根，直线2ym=与函数()yfx=的图象有两个不同的交点.结合图象可得22m„，解得1m„，

实数m的取值范围为(,1].−20.已知0a，1a，且log101a，若函数()logafxx=在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为1.()Ⅰ求a的值；()Ⅱ解不等式211()327xax−；()Ⅲ求函数2()

log(2)agxxx=−的单调区间．解：()Ⅰ由log101a，可得101a，函数()logafxx=在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为1，log(2)log1aaaa−=，即log21a=，2a=；()Ⅱ依题意可知22311()()33xx−

，则有223xx−，解得13x−，所求不等式的解集为(1,3)−；22()()log(2)gxxx=−Ⅲ，220xx−，所以函数的定义域为(,0)(2,)−+，又222(1)1xxx−=−−，函数在(,0)−上为减函数，在(2,)

+上为增函数，()gx的减区间为(,0)−，增区间为(2,).+21.已知函数()2()(4xxagxfxaa+=为常数，且0a，aR).请在下面四个函数：①1()2gxx=，②22()loggxx=，③23(

)gxx=，④4()8xgx=中选择一个作为()gx，使得()fx具有奇偶性．(1)请写出()gx表达式，并求a的值；(2)当()fx为奇函数时，若对任意的[1,2]x，都有(2)()fxmfx…成立，求实数m

的取值范围．解(1)若选①1()2gxx=，则22()4xxaxfxa+=，定义域为R，当()fx为奇函数时，1(0)0fa=−，不满足条件.当()fx为偶函数时，()()fxfx−=，即224(22)2242244xxxxxxxxaxaxaxaxaaa

a−−−−+−−+===，整理得82216xxxaxx−=+不是常数，不满足条件.若选②22()loggxx=，则函数()fx的定义域为(0,)+，函数()fx为非奇非偶函数，不满足条件.若选③23()gxx=，则22()4xxaxfxa+=，定义

域为R，当()fx为奇函数时，1(0)0fa=，不满足条件.当()fx为偶函数时，()()fxfx−=，即222224(2)24244xxxxxxxxaxaxaxaxaaaa−−−++++===，整理得2222282(14)2(161)(14)(14)xxxxxxxxaxxx−−==−=

−−−+不是常数，不满足条件.若选④4()8xgx=，822()24xxxxxafxaa−+==+，2()2xxfxa−−=+，当()fx为奇函数时，()()1.fxfxa=−−=−当()fx为偶函数时，()()1.fxfxa=−=所以当()8xgx=时，()fx具有奇偶性，且()f

x为奇函数时，a的值为1−，()fx为偶函数时，a的值为1.(2)由(1)知，当()fx为奇函数时，()22xxfx−=−，[1,2]x，2[2,4]x，若对于任意的[1,2]x，都有(2)()fxmfx…成立，等价于22m

inminmin(2)225[][][22]()222xxxxxxfxmfx−−−−==+=−„，所以m的取值范围是5(,].2−22.已知函数()()fxxD，若同时满足以下条件：①()fx在D上单调递

减或单调递增；②存在区间[,]abD，使()fx在[,]ab上的值域是[,]ab，那么称()()fxxD为闭函数．(1)求闭函数3()fxx=−符合条件②的区间[,].ab(2)判断函数()2lgfxxx=+是不是闭函数，若

是，请找出区间[,]ab；若不是，请说明理由．(3)若()2fxkx=++是闭函数，求实数k的取值范围．解：3(1)()fxx=−在R上单调递减，33,ababba−=−=解得1.1ab=−

=故所求的区间为[1,1].−(2)函数()2lgfxxx=+在(0,)+上单调递增，假设存在满足条件的区间[,]ab，0ab则，即在(0,)+上至少有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，lgyx=的图象与yx=−的图象只有一个交点，故函数()2

lgfxxx=+不是闭函数.解法一：(3)易知()2fxkx=++在[2,)−+上单调递增.设满足条件②的区间为[,]ab，2ab−„，则方程组有解，方程2xkx=++至少有两个不同的解.故方程22(

21)20xkxk−++−=有两个都不小于k的不等实根.实数k的取值范围为9(,2].4−−解法二：(3)易知()fx是增函数，则在区间[,]ab上()fx的值域也是[,]ab，说明函数()fx的图象与直线yx=有两个不同交点.令2kxx

++=，20tx=+…，则2219192(2)()2424kxxxt=−+=+−−=−−，数形结合知9(,2].4k−−