【文档说明】【精准解析】广西南宁市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(17)页，1.280 MB，由小赞的店铺上传

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南宁三中2019-2020下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1.设{1,0,1,2}U，集合2{|1,}

AxxxU，则UCA（）A.{0,1,2}B.{1,1,2}C.{1,0,2}D.{1,0,1}【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,再求UCA.【详解】由21x得：11x，所以

0A，因此1,1,2UAð，故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.2.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（）A.上面为圆台，下面为圆柱B.上面为圆台，下面为棱柱C.上面为棱台

，下面为棱柱D.上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【解析】【分析】观察三视图判断上面和下面几何体的形状即可.【详解】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.【点睛】本题考查利用三视图判断几何体的形状，考查学生的空间想象能力，是基础

题．3.下面说法正确的是（）.A.经过定点00,Pxy的直线都可以用方程00yykxx表示B.不经过原点的直线都可以用方程1xyab表示C.经过定点(0,)Ab的直线都可以用方程ykxb表示D.经过任

意两个不同的点1122,,,PxyQxy的直线都可以用方程211211xxyyyyxx表示【答案】D【解析】【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点00,Pxy且

斜率存在的直线才可用方程00yykxx表示，所以A错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1xyab表示，所以B错；经过定点(0,)Ab且斜率存在的直线才可用方程ykxb表示，所以C错；当12xx时，经过点1122,,,PxyQxy的直线

可以用方程211121yyyyxxxx，即211211xxyyyyxx表示，当12xx时，经过点1122,,,PxyQxy的直线可以用方程1xx，即211211

xxyyyyxx表示，因此经过任意两个不同的点1122,,,PxyQxy的直线都可以用方程211211xxyyyyxx表示，所以D对；故选：D【点睛】本题考查直线几种方程的辨析，考查

基本分析判断能力，属基础题.4.角的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，且终边过点(3,4)P，则tan（）A.43B.43C.34D.34【答案】B【解析】【分析】由题意结合任意角的三角函数值的定义运算即可得解.【详解】

由题意可得44tan33yx.故选：B.【点睛】本题考查了任意角三角函数值的定义，考查了运算求解能力，属于基础题.5.在数列{}na中，112a，111nnaa（2n，n+N），则2020a（）A.12B.1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】通过递推式求出

数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.【详解】解：2111121aa，3211112aa，431111122aa，可得数列{}na是以3为周期的周期数列，20

2036731112aaa.故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.6.2maxb，2nbxa，且mn，ab，则（）A.xabB.xabC.xabD.xab【答案】A【解析】【分析】由已知可得22

axbbxa，然后化简得()()()abxabab，而ab，由不等式的性质给两边同除以ab不等号方向不变，可得结果.【详解】解：因为2maxb，2nbxa，mn，所以22axbbxa，所以22axbxab，()()

()abxabab因为ab，所以0ab，所以xab故选：A【点睛】此题考查了不等式的性质，属于基础题.7.已知单位向量1e与2e的夹角为23，则向量1e在向量2e方向上的投影为（）A.12B.12C.32D.32【答案】A

【解析】【分析】由向量投影的概念可求得向量1e在向量2e方向上的投影.【详解】由于单位向量1e与2e的夹角为23，则向量1e在向量2e方向上的投影为121cos32e.故选：A.【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基

础题.8.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八

度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,aaa表示这些半音的频率，它们满足1212log11,2,,12iiaia.若某一

半音与#D的频率之比为32，则该半音为（）频率1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a半音C#CD#DEF#FG#GA#ABC（八度）A.#FB.GC.#GD.A【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D的频率之比，求

得该半音.【详解】依题意可知01,2,,12,13nan.由于1213,,,aaa满足1212log11,2,,12iiaia，则121111222iiiiaaaa，所以数列1,

2,,12,13nan为等比数列，设公比1122q，#D对应的频率为4a，题目所求半音与#D的频率之比为4113312222，所以所求半音对应的频率为4112482aa.即

对应的半音为G.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.9.已知0a，0b，1ab，且1mba，1nab，则mn的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由1ab，化简12mbba

，12naab，得到2mnab，再用基本不等式求解.【详解】由1ab知，12mbba，12naab，244mnabab，当且仅当1ab时取等号.故mn的最小值为4故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，

还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.在锐角三角形ABC中，已知2AC，则ac的范围是()A.0,2B.2,2C.2,3D.3,2【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到2cosaCc，计算64C，得到答案.【详解】sinsin22cossinsi

naACCcCC，又ABC，2AC，锐角三角形ABC，∴64C，故23cos,22C，故23ac.故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.若函数241

yx的图象与直线20xym有公共点，则实数m的取值范围为（）A.251251，B.2511，．C.2511，D.31，【答案】B【解析】【分析】

将函数变形为22140xyy，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20xym有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可.【详解】函数241yx可化简为：22140xyy，表示的是以（1，0）为圆心，2

为半径的圆的下半部分，与直线20xym有公共点，根据题意画出图像：一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，1+22515mm正值舍去；另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1.故答案为B.【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情

况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．12.已知A、B是单位圆O上

的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则CMCN的取值范围是（）A.[34，0）B.[34，0]C.[12，1）D.[12，1]【答案】A【

解析】【详解】建立如图所示的坐标系，1,120,OAOBAOBO到直线AB的距离2111,1,1224dOCOC，则CMCNOMOCONOC2OMONOMONOC

OC21OC，30,4CMCNCMCN的取值范围是3,04，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知nS为等差数列na的前n项和，且315S，3

4527aaa，则10S______.【答案】120【解析】【分析】根据等差数列通项公式及前n项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前n项和公式即可求得10S的值.【详解】设等差数列na的公差为d，根据题意得141331533327ad

aad解得13a，2d，所以101109102Sad10910322120.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式的简单应用，属于基础题.14.设变量,xy满足约束条件001xyxyy，则目标函

数3zxy的最大值为_______.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数1133yxz，其截距最大时，3zxy有最大值.【详解】解：作出可行域如图：由01xyy解得11A（，），由3zx

y得1133yxz，平移直线13yx，结合图像知，直线过点A时，max4z，故答案为：4.【点睛】考查线性规划中求目标函数的最大值，其关键是平移目标函数，结合图像即可求解；基础题.15.已知sincos2sin2cos，则tan2的值为_______.【答案】

512【解析】【分析】首先分子和分母上下同时除以cos，求得tan，再利用二倍角公式求解.【详解】cos0时，等式不成立，当cos0时，分子和分母上下同时除以cos，得tan12tan2，解得：tan522tan105tan21tan

12512.故答案为：512【点睛】本题考查二倍角的正切公式，已知sin,cos的齐次方程求tan，重点考查公式和计算，属于基础题型.16.在平面直角坐标系xOy中，圆22:23Cxym，若圆C上存在以G为中点的弦AB，且2ABGO，则实

数m的取值范围为_________．【答案】[2,2](或22m)【解析】由于圆C存在以G为中点的弦AB，且2ABGO，所以OAOB,如图，过点O作圆C的两条切线，切点分别为BD、，圆上要存在满足题意的点A，只需090B

OD，即045COB，连接CB，CBOB，由于(2,)Cm，24COm3CB，0232sinsin4524CBCOBCOm，解得22m.【点睛】已知圆的圆心在直线2x上，半径为3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且2ABGO，说明OAOB，就是说圆

上存在两点AB、，使得OAOB.过点O作圆C的两条切线，切点分别为BD、，圆上要存在满足题意的点A，只需090BOD，即045COB，则只需0sinsin45COB，列出不等式解出m的范

围.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知某曲线的方程C：22240xyxya．1若此曲线是圆，求a的取值范围，并指出圆心和半径；2若1a，且与直线l：10xy相交于M，N两点，求弦长MN．【答案】（1）5

a，1,2,5Cra;（2）22.【解析】【分析】（1）把曲线方程配方变形，由曲线为圆可得5﹣a＞0，得a＜5，从而得到圆的圆心坐标与半径；（2）把a=1代入曲线方程，可得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂

径定理得答案．【详解】解：1C：22240xyxya化为22(1)(2)5xya．若曲线是圆，则50a，得5a．圆心坐标为1,2C，半径5ra；21a时，圆C为22(1)(2)4xy．圆心1,2C，半

径2r．圆心到直线的距离12122d．弦长22224222MNrd．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．18.在数列na中，*113,21nnaaannN

.（1）证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；（2）令31nncan，求数列{}nc的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析，12nnan；（2）2224nnSn.【解析】【分析】（1）把原数列递推式变形，可证得{}nan

是等比数列，求出{}nan的通项公式后可求数列{an}的通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入1=221nncn，整理后运用分组求和法求nS．【详解】（1）证明：112112()2nnnnnnanannanananan，或

者112(),nnanan又114a，nan是首项为4，公比为2的等比数列，11422nnnan，12nnan；（2）131=221nnncann，所以123nnSc

ccc2341(21)(23)(25)(221)nn2341=(2222)(135......21)nn22(12)(121)122nnn2224nn.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等

比关系的确定，考查了分组成等比数列或等差数列求数列的和，属中档题．19.如图所示，在ABD△中，点C在线段AB上，3AD，1BC，14BD，2cos3DAB.（1）求sinABD的值；（2）判断ACD△是否为等腰三角形.【答案】（1）7

014；（2）为等腰三角形.【解析】【分析】（1）首先由cosDAB的值得出sinDAB的值，然后在ABD△中运用正弦定理即可；（2）结合（1）中的结论求出cosABD，运用余弦定理求出CD，进而可得结果.【详

解】（1）因为2cos3DAB，所以225sin133DAB在ABD△中，由正弦定理得：sinsinADBDABDBAD，即：314sin53ABD解得70sin14ABD.（2）在A

BD△中因为BDAD，所以2ABD所以270314cos1sin119614ABDABD，2222cosCDBDBCBDBCCBD314141214149得3CD，所以ACD△为等腰三角形.【点睛】本题主

要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是,,abc，若6bc，sinsin3sincos22BCBCBC.（1）求a；（2）求ABC面积的最大值.【答案】（1

）4；（2）25.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用诱导公式化简，然后利用正弦定理把角统一成边，再结合6bc可求出a的值；（2）由余弦定理得10cos1Abc，从而可得2525sinbcAbc，再利用三角形面积公式，结合基本不

等式可求出ABC面积的最大值.【详解】（1）因为sinsin3sincos22BCBCBC，所以3sinsinsin2BCBC，33sinsinsin()sin22BCAA，由正弦定理可得32bca，因为6bc，所以4a，（2）

由余弦定理可得2222cosabcbcA，即22422cosbcbcbcA，所以1cos10bcA，所以10cos1Abc，因为222102525sin1cos11bcAA

bcbc，所以112525sin52522bcSbcAbcbcbc，因为62bcbc，所以9bc，当且仅当3bc时取等号，所以525592525Sbc，所以ABC面积的最大值为25.【点睛】此题考查三角函数的二倍角公式、诱导公式，考

查了正余弦定理，利用了基本不等式求三角形面积的最大值，考查了计算能力，属于中档题.21.设不过坐标原点的直线ykxb与二次函数212yx相交于,AB两点，若以AB为直径的圆过坐标原点.（1）求b的值；（2

）当以AB为直径的圆的面积最小时，求直线AB的方程.【答案】（1）2；（2）2y.【解析】【分析】（1）由以AB为直径的圆过坐标原点，可得0OAOB，若设1122(,),(,)AxyBxy，则12120

xxyy，直线方程与抛物线方程联立成方程组，消元后，再利用根与系数的关系，结合直线方程，解方程可求出b的值，（2）AB的中点坐标M为2(,2)kk，则圆的半径42||54rMOkk，所以当0k时r取得最小值2，由此可得直线方程.【详解】解：联立212ykxbyx

消去y得2220xkxb.设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理得12122,2xxkxxb，因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以0OAOB，得12120xxyy，由于,AB两点在直线ykxb上，所以221

21212111212()()(1)()xxyyxxkxbkxbkxxkbxxb22222(1)220bkkbbbb所以0b或2b当0b时，直线AB过坐标原点，不符合条件，故2b；（2）由（1）知，21212()22

4yykxxbk，则AB的中点坐标M为2(,2)kk，所以圆的半径22242||(2)54rMOkkkk，当且仅当0k时，r取得最小值2，此时，直线的方程为2y.【点睛】此题考查了直线与抛物线

的位置关系，圆的有关知识，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.22.对定义域,fgDD的函数yfx，ygx，规定：函数,,,fgfgfgfxgxxDDhxfxxDxDgxxDxD且

且（1）若函数11fxx，2gxx，写出函数hx的解析式；（2）求问题（1）中函数hx的值域；（3）若gxfx，其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R的函数yfx，及一个的值，使得cos4hxx，并予以证明.【答案

】（1）22,11,1xxhxxxx；（2）,014,；（3）sin2cos2fxxx，当4时，cos2sin2gxxx，此时cos4hxx.【解析】试题分析：（１）依题意得，分讨论，利用函数性质可求得函数

hx的解析式；（２）当时，易求11h；当时，21()()1211xhxfxgxxxx，再对分和讨论，利用基本不等式即可求得函数hx的值域；（３）构造函数，可求得cos2sin2gxxx，继而可证得cos4hxx．试题解析：（1）

2,,11,{11,1xxhxxx.（2）当时,211211xhxxxx,若1x时,则4hx,其中等号当2x时成立,若1x时,则0hx,其中等号当0x时成立,函数hx的值域是,014,

.（3）令,则sin2cos2cos2sin244gxfxxxxx,于是·sin2cos2cos2sin2cos4hxfxfxxxxxx,另解令1

2sin2,,2fxxgxfx12sin212sin2xx,于是·12sin212sin2cos4hxfxfxxxx.考点：抽象函数及其应用．