【文档说明】江西省南昌市2023届高三二模数学（理）试题 含解析.docx，共(30)页，4.365 MB，由小赞的店铺上传

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SRS2023届高三模拟测试（第二次）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合22450,log2AxxxBxx=−−=，则AB=（）A.[1,4)−B.[1,

4]−C.[1,5]−D.(0,4)【答案】D【解析】【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合,AB，然后由交集运算得出答案．【详解】由2450xx−−可得15x−，所以1,5A=−，由2log2x，即22loglog4x

，可得04x，所以()0,4B=，所以()0,4AB=.故选：D．2.已知复数z满足()ii1zz+=+，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算得到1iz=−−，结合复数的几何意义即可求解.【详解】复数z

满足()ii1zz+=+，()()()2i122i21ii1i1i12z++====−−−−+−，对应点为()1,1−−，在第四象限.故选：D.3.已知数列na，若12146naan−+=−，则7a=（）A.

9B.11C.13D.15【答案】B【解析】【分析】由题中条件，分别令1n=，4n=，即可得解.【详解】由12146naan−+=−，令1n=，则11462aa+=−=−，则11a=−，令4n=，则7144610aa+=−=，则711a=.故选：B.4.已知函数sin()2xfx=，命题()1

2:,0,πpxx，使得()()122fxfx+=，命题12ππ:,,22qxx−，当12xx时，都有()()12fxfx，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.

()pqD.()()pq−−【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真假，结合命题“且”、“或”、“非”的概念，依次判断即可.【详解】命题p：当0πx时，0si

n1x，所以sin122x，即1()2fx，则()12,0,πxx，使得12()()2fxfx+，故命题p为假命题；命题q：当ππ22x−时，函数sinyx=单调递增，又函数2xy=在R上单调递增，所以函数sin()2xfx=在ππ,22−上单调递增

，所以12ππ22xx−时，12()()fxfx，故命题q为真命题.则命题pq为真，故A正确；命题pq为假，故B错误；命题()pq为假，故C错误；命题()()pq为假，故D错误.故选：A.5

.已知抛物线2:4Cyx=的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M过点(3,0)A且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得弦长是（）A.22B.23C.4D.25【答案】D【解析】【分析】设00(,)Mxy，则2004yx=，01rx=+，进而222000(3)(0)(1

)xyx−+−=+，解得02x=，利用垂径定理计算即可求解.【详解】由题意得，24Cyx=：，则准线l为=1x−，设00(,)Mxy，因为圆M与直线l相切，所以圆的半径为01rx=+，则圆的标准方程为222000()()(1)xxyyx−+−=+，又圆M过点(3,0)A，所以222000(

3)(0)(1)xyx−+−=+①.又2004yx=②，由①②，解得02x=，则3r=，设圆M与y轴交于点B、C，则22220223225BCrx=−=−=.故选：D.6.如图，A，B，C是正方体的顶点，2AB=，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥

−PABC的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则PA的取值范围为（）A.[1,5]B.[5,3]C.[2,5]D.[1,3]【答案】D【解析】【分析】如图，当点P的轨迹为MNQ△(含边界)时符合题意，结合图形，即可求解.【详解】如图，取111,,AA

BBCC的中点,,MNQ，连接,,MNNQQM，则当点P的轨迹为MNQ△(含边界)时，三棱锥−PABC的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，此时若P与M重合，PA最小，且最小值为1，若P与Q重合，PA最大，且最大值为222

221=3++，所以PA的取值范围为[1,3].故选：D.7.已知单位向量,ab满足||20abab++=，则,ab夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】【分析】由||2abab+=−两边平方，根据向量数量积的运算即可求出夹角.【详解】

记,ab夹角为，则coscosabab==，由||20abab++=，即||2abab+=−，两边平方，得2224()abab+=，即222cos4cos+=，即22coscos10−−=，则(2cos1)(cos1)0+−=，当cos1=时，||22abab+=−

=−，不符合题意，的的所以1cos2=−，又0π，则2π3=．故选：C．8.已知454log1.25,log1.2,log8abc===，则（）A.cabB.cbaC.abcD.acb【答

案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合对数换底公式判断即可．【详解】44log8log1.25ca==，45lg1.25lg1.25lg1.2log1.25log1.2lg4lg5lg5ab====，综上，cab.故选：

A．9.已知数列na的通项公式为12nna−=，保持数列na中各项顺序不变，对任意的k+N，在数列na的ka与1ka+项之间，都插入()kk+N个相同的数(1)kk−，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，则100T=（）A.4056B.4096C.

8152D.8192【答案】C【解析】【分析】插入n组共(1)2nn+个，可知前面插入12组数，最后面插入9个13−，从而可得插入的数之和为222221234111291339−+−+−−+−=−，又数列na的前13项和138191S=，可得100819139815

2.T=−=【详解】插入n组共(1)2nn+个，∵1213782=，∴前面插入12组数，最后面插入9个13−．2311121231291,1,2,2,2,2,3,3,3,2,,2,12,12,2,1

3,,13−−−−−−个个个个个，，∵22(1)21nnn++=−+，∴22222123411129133711151923913−+−+−−+−=+++++−(323)6117392+=−=−，又数列na的前1

3项和为1313101312131(21)21281102481819121Saaa−=+++==−=−=−=−，1008191398152.T=−=故选：C．10.已知正四面体的棱长为26，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为6的球形容器中，则截去

的小正四面体的棱长最小值为（）A.21−B.63−C.21+D.31−【答案】B【解析】【分析】正四面体ABCD−中，顶点A在面BCD的投射影为BCD△的中心Q，正四面体ABCD−外接球球心为点O，在直角三角形中求出AQ，OA，设小

正四面体的棱长AMx=，N为上面小正四面体底面中心，可得,MNAN，由题意，八面体的外接球半径6ROM=，由此即可解得答案．【详解】如图，正四面体ABCD−中，棱长为26；顶点A在面BCD的投射影为BCD△的中心Q，正四面体ABCD−外接球球心为点O（截去四个全等的小正四面体之后得到的八面体的

外接球球心同样为点O）．E为CD中点，26AB=，3322BEAB==，2223BQBE==，在RtAQB中，224AQABBQ=−=，在RtOQB中，222BQOQOB+=，又OAOB=，则222()BQAQOAOA+−=，即228(4)OAOA+−=，解得3OA=，则1OQAQOA=

−=，设小正四面体的棱长AMx=，N为上面小正四面体底面中心，则36,33MNxANx==．由题意，八面体能放进半径为6的球形容器，则八面体的外接球半径6ROM=．在RtOMN△中，222OMMNON=+，则22366333xx+−，即22630

xx−+，解得6363x−+．所以截去的小正四面体的棱长最小值为63−．故选：B．11.已知正实数a使得函数()()ln)e(xfxaxxax=−−有且只有三个不同零点123,,xxx，若123xxx，则下列123,,xxx的关系式中，正确的是（）A.1322xxx+=B.123xxa

x+=C.21322axxx=D.2132xxx=【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用x表示a，再数形结合探求出123,,xxx的关系，然后逐项判断作答.【详解】依题意，由()0fx=得：e,lnxaxxax==，即0elnx

xaxx==，令()(0),())e(1lnxxgxxhxxxx==，2e(1)()−=xxgxx，2ln1()(ln)xhxx−=，当(0,1)x时，()0gx，函数()gx单调递减

，当(1,)x+时，()0gx，函数()gx单调递增，当(1,e)x时，()0hx，函数()hx单调递减，当(e,)x+时，()0hx，函数()gx单调递增，函数()yfx=有三个零点，即直线ya=与函数()(0)xegxxx=与函数()(1)lnxhxxx=

的图象共有三个公共点，在同一坐标平面内作出函数()(0)xegxxx=与函数()(1)lnxhxxx=的图象，它们有公共点22(,)Axy，如图，因此直线ya=必过点A，令直线ya=与函数()(0)xegxxx=的图象另一交点为22(,

)Bxy，与函数()(1)lnxhxxx=的图象另一交点为33(,)Cxy，显然12301exxx，且有12321223elnnelxxxxxxxx===，由1212elnxxxx=得：12ln12eeln

xxxx=，即12()(ln)gxgx=，而20ln1x，于是12lnxx=，由2323elnxxxx=得：2233elnlnexxxx=，即23(e)()xhhx=，而2eex，于是23exx=，由2222elnxx

xx=得：222231lenxxxxx==，即2132xxx=，D正确；对于A，1313222xxxxx+=，A错误；对于B，令()e1,1xxxx=−−，()e10xx=−，函数()x在(1,)+上递增

，即有()(1)e20x=−，因此e1xx+，则23221e1xxxxx=++，而111exax=，从而3321axxxx+，B错误；对于C，因为2132xxx=，若21322axxx=成立，则必有4a=，令()e4,0xuxxx

=−，()e4xux=−，当(0,ln4)x时，()0,()uxux递减，当(ln4,)x+时，()0,()uxux递增，而12341()e10,(1)e40,(2)e40,(3)e1204uuuu=−=−=−=−，因此函数()e4,0x

uxxx=−的两个零点，即方程e4xx=的两个根分别在区间1(,1),(2,3)4内，令()4ln,1txxxx=−，4()1txx=−，当(1,4)x时，()0,()txtx递减，当(4,)x+时，()0,()

txtx递增，而33(1)10,(2)2(1ln4)0,(4)4(1ln4)0,(e)e120tttt==−=−=−，因此函数()4ln,1txxxx=−的两个零点，即方程4lnxx=的两个根分别在区间3(1,2),(4,e)内，显然直线

4y=与函数()(0)xegxxx=和()(1)lnxhxxx=的图象的交点有4个，不符合题意，所以4a，即21322axxx=不正确，C错误.故选：D【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个

清晰、直观的整体展现.12.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木

宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（）A.25B.512C.13D.14【答案】A【解析】【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为12,aa；楠木纱灯、花梨木纱灯为12,bb；恭喜发财吊灯、

吉祥如意吊灯为12,cc．先求仅12aa相邻的种数，把12aa看作一个元素，分三种情况讨论：12aa排在首尾；12aa排在五个位置中第二、第四位；12aa排在第三个位置，同理得仅12bb相邻，仅12cc相邻的情况，进而得出概率.【详解】设红木宫灯、檀木宫

灯为12,aa；楠木纱灯、花梨木纱灯为12,bb；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为12,cc．先求仅12aa相邻的种数，把12aa看作一个元素，当12aa排在首尾时，不同的排法有()2121242ACA232N==种；当

12aa排在五个位置中第二、第四位时，不同排法有()1222422CAA232N==种；当12aa排在第三个位置时，不同的排法有23221122222CCAAA32N==种，故仅12aa相邻共有12396NNN++=种排法，同理得仅12bb相邻，仅12cc相邻的情况，也都有96种排法，所

以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为669632A5P==．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量X的分布列为的X1−01P0.20.40.4则随机变量2X的数学期望2EX=________．【答案

】0.6【解析】【分析】根据2EX为2X的数学期望求解.【详解】解：因为随机变量X的分布列为X1−01P0.20.40.4所以随机变量2X的数学期望()222210.200.410.40.6EX=−++=，故答案为：0.614.已知变量x，y满足2202101xyxyy−++−

−，则zxy=−的最大值为________．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所对应的线性规划区域，数形结合即可求解.【详解】如图，作出不等式组所对应的线性规划区域：zxyyxz=−=−，当直线zxy=−过(1,1)A−时，z取得最大值，最大值

为max112z=+=，故答案为：2.15.已知函数()232321e2,22e,2xxaxxxfxbxcxdxfx−−+−=++++的图象关于点()02,y中心对称（e为自然对数的底数），则ab+=________．【答案】

12−##-0.5【解析】【分析】根据抽象函数的对称性可得0(2)(2)2fxfxy−++=，由22,22xx−+可得3201(1)e()(364)(4124)(842)22xabxbcxbcdxbcdfy++−++++−−−

++++=，列出方程组，解出a、b即可求解.【详解】若函数()fx满足()()2faxfaxb−++=，则函数()fx的图象关于点(,)ab对称.因为函数()fx的图象关于点0(2,)y对称，不妨令0x，则0(2)(2)2fxfxy−++=，由22x-<，得)

322(2(2)e(2)(2)(2)xfxbxcxdxf−−−=+−+−+−+，由22x+，得(23)21(2)e(2)2(2)2xfxaxx+−+=++−+，所以32(2)0(2)3221e(2)(2)(2)e(2)2(2)22xxb

xcxdxfaxxy−−+−+−+−+−++++−+=，即32301(1)e(2)(2)(2)(2)2(2)22xabxcxdxfxxy++−+−+−+++−+=整理，得3201(1)e()(364)(4124)(842)22xabxbcxbcdxbcdfy++−++++−−−++++=，其中

0y为常数，有0101023640412408422abbcbcdbcdfy+=−=++=−−−=+++=，解得11,2ab=−=，所以12ab+=−.故答案为：12−.16.足球是大众喜爱的运动，

足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，12ll∥，这两平行线间的距离为3

m，,||||,||10mCAABACABBC⊥=，点B在直线l上，且2ll⊥，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与1l的夹角为，已知站位B，C两点队员跑

动速度都是8m/s，现要求接球点满足下面两个条件：①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点；②接球点在直线l的左侧（包括l）；则tan的取值范围是________．【答案】17,1212

【解析】【分析】如图，以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设接球点为P，根据8mPCPB−=，可得点P在以,CB为焦点的双曲线的右支上，根据ACAB⊥，求得A点的坐标，直线l与双曲线的右支交于12,PP（1P在2P的上方），求出12,PP两点的坐标，再

求出12,APAP的斜率，结合图象即可的解.【详解】如图，以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则()()5,0,5,0BC−，设接球点P，若8mPCPB−=，得点P在以,CB为焦点的双曲线221169xy−=的右支上，设(),3AAx，则()()()5,3,5,3,0

AAACAxBAxx=+=−，因为ACAB⊥，所以()()25,35,32590AAACABAxxx=+−=−+=，解得4Ax=−，即()4,3A−，设直线l与双曲线221169xy−=的右支交于12,PP（1P在2P的上方），令5x=，则94y=，所以12995,,5

,44PP−，则接球点为P位于双曲线右支与直线l围成的区域内或边界，则45Px，为1299331744,45124512APAPkk−+==−==−−−−−，因为直线AP的倾斜角与互补，由图可知，17tan,1212

.故答案为：17,1212.【点睛】关键点点睛：以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，根据8mPCPB−=再结合双曲线的定义求得P点的轨迹，是解决本题的关键.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第

22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图是函数π()sin()0,02fxx=+的部分图象，已知2ABAC=．（1）求；（2）若43(2)32ff−=−，求．【答案】（1）π2

=（2）π3=【解析】【分析】（1）设()0,0Ax，则003,1,,144TTBxCx++−，再根据2ABAC=求得周期T，即解；（2）根据43(2)32ff−=−结合三

角恒等变换化简计算即可的解.【小问1详解】设()0,0Ax，函数的最小正周期为T，则003,1,,144TTBxCx++−，则3,1,,144TTABAC==−，故233,1

,1124416TTABACT=−=−=，解得4T=(负值舍去)，所以2π4=，所以π2=；【小问2详解】由（1）得ππ()sin022fxx=+，4

3(2)32ff−=−，得()2π3sinπsin32+−+=−，即31π3sincossinsin2232−−+=−+=−，所以π3sin32+=，又因π02，则ππ5π336+，所以π2π33+=，所以π3=.

18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的菱形，π3PABDAB==，PAPB⊥，点E在线段PB上，CDDE⊥，平面PAB⊥平面ABCD．（1）求PE；（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．【答案】（1）233PE=（2）210【解析】【

分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，由线面垂直的性质可得,PAPGPBPG⊥⊥，建立如图空间直角坐标系，利用空间共线向量的坐标表示求得(2,23,0)CD=−，结合空间垂直向量的坐标表示计算即可求解；（2）利用空间向量法求出平面CDP的一个法向量，结合数量积的定义

计算即可求解.【小问1详解】取AB的中点O，连接BD、DO，过P作DO的平行线PG，在菱形ABCD中，3DAB=，则ABD△为等边三角形，得23OD=，且⊥DOAB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=

，DO平面ABCD，所以DO⊥平面ABCD，由//DOPG，则PG⊥平面ABCD，又、PAPB平面ABCD，所以,PAPGPBPG⊥⊥，由PAPB⊥，建立如图空间直角坐标系Pxyz−，由,43PABAB==，得,232PAPB==，取PA的中点F，连接OF，则3,1OFAF==，所以(

0,0,0),(2,0,0),(0,23,0)PAB，(1,3,0),(1,3,23)OD，有(2,23,0)AB=−，设(,,)Cabc，则(1,3,23)DCabc=−−−，由ABDC=，得1,33,23abc=−==，即(1,33,23)C−，(

2,23,0)CD=−.设PEd=，则(0,,0)Ed，有(1,3,23)DEd=−−−，由CDDE⊥，得2(3)(23)0CDDEd=−+−−=，解得233d=，即233PE=；【小问2详解】设平面CDP的一个法向量为(,,)nxyz=，由(1,3,23)PD=，(2,23,0)CD=

−，得22303230nCDxynPDxyz=−==++=，令3x=，则1,1yz==-，所以(3,1,1)n=−，又3(1,,23)3DE=−−−，所以323323cos,104053DEnDEnDEn−−===，故直

线DE与平面CDP所成角的正弦值为210.【点睛】19.一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为ix，其中(1,2,3,4,5)ixii==，

并得到了各采样点金属锂的含量iy，得到一组数据(),,1,2,3,4,5iixyi=，经计算得到如下统计量的值：5162iiy==，()()5147iiixxyy=−−=，514.79iiu=，()5211.61

5iiuu=−，()()1519.38iiiuuyy=−−，其中ln,(1,2,3,4,5)iiuxi==．（1）利用相关系数判断yabx=+与lnyabx=+哪一个更适宜作为y关于x的回归模型；（2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程yabt=+中斜率

、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为()()()1122211nniiiiiinniiiittyytyntybtttnt==−==−−−==−−，aybt=−，()()()()12211niiinn

iiiittyyrttyy===−−=−−；参考数据：219.38232.561.615=．【答案】（1）用lnyabx=+作为y关于x的回归模型方程更适宜，理由见解析；（2）0.90412lnyx=+【解析】【分析】（1）用yabx=+作回归模型求出

相关系数1r，用lnyabx=+作为回归模型求出相关系数2r，比较大小可得答案；（2）由已知条件求出b，a可得答案.【小问1详解】若用yabx=+作回归模型，1234535x++++==，()()()()()()25222221132333435310iixx=−=−+−+−+−

+−=，所以相关系数()()()()()5112221155514710iiiiiiiiittyyrttyyyy====−−==−−−，若用lnyabx=+作为回归模型，相关系数()()()()()152525

52211119.381.615iiiiiiiiiuuyyryyuuyy====−−==−−−，比较21r与22r，()()22122515147220.910iiiiryyyy====−−，()(

)22222115519.38232.561.615iiiiryyyy====−−，因为2212rr，所以用lnyabx=+作为y关于x的回归模型方程；【小问2详解】由（1），()()()5152119.38121.615iiiiiuuyybuu==−−==

=−，1114.790.95855niiuu====，1116212.455niiyy====，12.4120.9580.904aybu=−=−=，则y关于x的回归方程为0.90412lnyx=+.20.已知椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的焦距为23，左、右顶点分别为12,AA，上顶点为B，过点2A的直线12,ll斜率分别为11,22kk−−，直线1AB与直线12,ll的交点分别为B，P．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线2l与椭圆C的另一个交点为Q，直线BQ与x轴的交点为R，记PQR的面积为1S，2A

QB△的面积为2S，求12SS的取值范围．【答案】（1）2214xy+=（2）(2,)+【解析】【分析】（1）列出关于,ab的方程，求解即可；（2）直线2l的方程为1(2)2ykxk=−−，与椭圆方程联立，结合韦达定理

求得Q点坐标，直线1AB的方程与直线2l的方程联立解得P点坐标，由1222814QRQPSSQBQAk==−结合k的范围求得答案．【小问1详解】因为直线2AB的斜率为12−，所以12ba=，焦距223c=，因此223ab−=，解得2,1ab==，所以椭圆C的方程是221

4xy+=；【小问2详解】因为2(2,0)A，所以直线2l的方程为1(2)2ykxk=−−，联立22(2)14ykxxy=−+=，整理得()222241161640kxkxk+−+−=．则2216241Qkxk+=+，故22

8241Qkxk−=+，则()24241QQkykxk−=−=+．所以222824,4141kkQkk−−++．又直线1AB的方程为112yx=+．联立112(2)yxykx=+=−，解得424,2121kkPkk+

−−．12211QPQPQQQQyyyyyQRQPSSQBQAyyy−−===−−()22228(21)2(21)16812182(21)824kkkkkkkkkk−−−+===−−+−−，因为12k−，所以2211,

044kk，所以12(2,)SS+．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解范围问题的常见求法：（1）将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．（2）利用

已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．（3）利用几何条件构造不等关系．（4）利用基本不等式求出参数的取值范围．（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数1

()ln(0,0),()fxkxaxxafxx−=−+为()fx的导函数．（1）当1,2ak==时，求函数()fx的极值；（2）已知()1212,(0,)xxxx+，若存在kR，使得()

()12fxfx=成立，求证：()()120fxfx+．【答案】（1）极大值为3−，无极小值．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）1()2lnfxxxx=−−+，求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；（2）不妨设12xx，

因为()()12fxfx=，所以121212ln1xxakxxxx+=−，结合()()1222121211112fxfxakxxxx+=+++−，得()()()2121211222121221212lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−

+=+−−−，设12(1,)xtx=+，构造函数1()2ln(1)ttttt=−−，结合函数的单调性，可证得结论.【小问1详解】当1,2ak==时，此时1()2lnfxxxx=−−+，则2211(21)(1)

()2xxfxxxx+−=−+=−，当01x时，()0fx，则()fx在(0,1)单调递增；当1x时，()0fx，则()fx在(1,)+单调递减；所以()fx的极大值为(1)3f=−，无极小值．【小问2详解】不妨设12xx，因为()()12fxf

x=，则11221211lnlnkxaxkxaxxx−−+=−−+，即()12112122lnxxxakxxxxx−+=−，所以121212ln1xxakxxxx+=−，由21()afxkxx=+−，则()()1222

121211112fxfxakxxxx+=+++−，()()12122212121212ln111112xxfxfxaaxxxxxxxx+=+++−+−，即()

()12122212121212ln112112xxfxfxaxxxxxxxx+=+−++−−，所以()()()222121211222121212212lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−−+=+−−即()()()212121

1222121221212lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−+=+−−−，设12(1,)xtx=+，构造函数1()2ln(1)ttttt=−−，则2221221()10tttttt−+=+−=，所以()t在(1,)+上为增函

数，所以()(1)0t=，因为()21222121210,0,0xxaxxxx−−，所以()()120fxfx+．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差

函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．（二）

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系xOy中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4

的圆，其中黑、白区域分界线1C，2C为两个圆心在y轴上的半圆，(2,2)P−在太极图内，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点P的一个极坐标和分界线1C的极坐标方程；（2）过原点的直线l与分界线1C，2C分别交于

M，N两点，求PMN面积的最大值．【答案】（1）3π22,4P，1C：24sin0−=（2）424+【解析】【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，2PMNPOMSS=，在极坐标系中，求POMS，并求其最大值即可.【小问1详

解】设点P的一个极坐标为(),PPP，0P，)0,2πP，则()22222222PPPxy=+=−+=，2tan12PPPyx===−−，∵点P在第三象限，∴3π4P=，∴点P的一个极坐标为3π22,4P.∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半

径为4的圆，∴分界线1C的圆心直角坐标为()10,2C，半径为2r=，∴1C的直角坐标方程为()2224xy+−=（0x），即2240xyy+−=（0x），将cosx=，siny=，222xy

+=代入上式，得24sin0−=，π0,2，化简，得分界线1C的极坐标方程为4sin=，π0,2.【小问2详解】∵M在1C上，∴设M点的极坐标为(),MMM，则4sinM

M=，π0,2M，∴POM的面积()11sinsin22POMPMPMSOPOMPOM==−13π224sinsin24MM=−24sincos4sinMMM

=+()2sin221cos2MM=+−2sin22cos22MM=−+π22sin224M=−+∵π0,2M，∴ππ3π2,444M−−，∴当ππ242M−=，即3π8M=时，

POM的面积的最大值为()max222POMS=+.∵直线l过原点分别与1C，2C交于点M，N，∴由图形的对称性易知，OMON=，∴PMN面积2PMNPOMSS=，∴PMN面积的最大值为()()max

max2424PMNPOMSS==+.选修4-5：不等式选讲23.已知()|1||22|,()||fxxxgxaxb=+−−=−．（1）在给出的直角坐标系中画出函数()fx的图象；（2）若()()fxgx在R上恒成立，求ba−的最小值．【答案】（1）图象见解析（

2）3【解析】【分析】（1）化简()fx为分段函数形式，作图即可；（2）结合函数()fx和()gx的图象，分10a−，0a，3a−与31a−−四种情况讨论，结合图象及基本不等式求解．【小问1详解】3,1,()12231,11,3,1,xxfxxxxxxx−−=+−−=−−

−+其图象如下图所示：小问2详解】由（1）知函数()fx与x轴的交点为1(,0)3和(3,0)，结合函数()fx和()gx的图象可以知道，【当10a−时，当13b或133b或3b时，由图可知()()fxgx在R上不可能恒成立；当0a时，()0gx，而()fx的

值有负数，可知()()fxgx在R上不可能恒成立；当3a−时，只需133b，则()()fxgx在R上恒成立，此时110333ba−+=，当31a−−时，过点(1,4)−−且斜率为a−的直线方程为4yaxa=−−−，令0y=，则41xa=−−，要()()fxgx

在R上恒成立，则413ba−−，此时444112()13baaaaaaa−−−−=−−−−−−=，当且仅当2a=−时等号成立．综上：ba−的最小值为3．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com