【文档说明】江西省南昌市2023届高三二模数学（理）试题 含解析.docx，共(30)页，4.365 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9b9f94119d40add4a3c8756f3b2fb158.html

以下为本文档部分文字说明：

SRS2023届高三模拟测试（第二次）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合22450,log2AxxxBxx=−−=，则AB=（）A.[1,4)−B.[

1,4]−C.[1,5]−D.(0,4)【答案】D【解析】【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合,AB，然后由交集运算得出答案．【详解】由2450xx−−可得15x−，所以1,5A=−，由2log2x，即22lo

glog4x，可得04x，所以()0,4B=，所以()0,4AB=.故选：D．2.已知复数z满足()ii1zz+=+，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的

乘、除法运算得到1iz=−−，结合复数的几何意义即可求解.【详解】复数z满足()ii1zz+=+，()()()2i122i21ii1i1i12z++====−−−−+−，对应点为()1,1−−，在第四象限.故选：D.3.已知数列na，若12146naan

−+=−，则7a=（）A.9B.11C.13D.15【答案】B【解析】【分析】由题中条件，分别令1n=，4n=，即可得解.【详解】由12146naan−+=−，令1n=，则11462aa+=−=−，则11a

=−，令4n=，则7144610aa+=−=，则711a=.故选：B.4.已知函数sin()2xfx=，命题()12:,0,πpxx，使得()()122fxfx+=，命题12ππ:,,22qxx

−，当12xx时，都有()()12fxfx，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.()pqD.()()pq−−【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真

假，结合命题“且”、“或”、“非”的概念，依次判断即可.【详解】命题p：当0πx时，0sin1x，所以sin122x，即1()2fx，则()12,0,πxx，使得12()()2fxfx+，故

命题p为假命题；命题q：当ππ22x−时，函数sinyx=单调递增，又函数2xy=在R上单调递增，所以函数sin()2xfx=在ππ,22−上单调递增，所以12ππ22xx−时，12()()fxfx，故命题q为真命

题.则命题pq为真，故A正确；命题pq为假，故B错误；命题()pq为假，故C错误；命题()()pq为假，故D错误.故选：A.5.已知抛物线2:4Cyx=的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M

过点(3,0)A且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得弦长是（）A.22B.23C.4D.25【答案】D【解析】【分析】设00(,)Mxy，则2004yx=，01rx=+，进而222000(3)(0)(1)

xyx−+−=+，解得02x=，利用垂径定理计算即可求解.【详解】由题意得，24Cyx=：，则准线l为=1x−，设00(,)Mxy，因为圆M与直线l相切，所以圆的半径为01rx=+，则圆的标准方程为222000()()(1)xxyyx−+−=+，又圆M过

点(3,0)A，所以222000(3)(0)(1)xyx−+−=+①.又2004yx=②，由①②，解得02x=，则3r=，设圆M与y轴交于点B、C，则22220223225BCrx=−=−=.故选：D.6.如图，A，B，C是正方体的顶点，2AB=，点P在正方体的表面上运动

，若三棱锥−PABC的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则PA的取值范围为（）A.[1,5]B.[5,3]C.[2,5]D.[1,3]【答案】D【解析】【分析】如图，当点P的轨迹为MNQ△(含边界)时符合题意，结合图形，即可求解.【详解

】如图，取111,,AABBCC的中点,,MNQ，连接,,MNNQQM，则当点P的轨迹为MNQ△(含边界)时，三棱锥−PABC的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，此时若P与M重合，PA最小，且最小值为1，若P与Q重合，PA最大，且最大值为222221=3++，所以PA的取值范围为[1,

3].故选：D.7.已知单位向量,ab满足||20abab++=，则,ab夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】【分析】由||2abab+=−两边平方，根据向量数量积的运算即可求出夹角.【详解】记,ab夹角为，则coscosabab

==，由||20abab++=，即||2abab+=−，两边平方，得2224()abab+=，即222cos4cos+=，即22coscos10−−=，则(2cos1)(cos1)0+−=，当cos1=时，||22abab+=−=−，不符合题意，的的所以1cos2=

−，又0π，则2π3=．故选：C．8.已知454log1.25,log1.2,log8abc===，则（）A.cabB.cbaC.abcD.acb【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合对数换底公式判断即可．【详解】44log8log1.25

ca==，45lg1.25lg1.25lg1.2log1.25log1.2lg4lg5lg5ab====，综上，cab.故选：A．9.已知数列na的通项公式为12nna−=，保持数列na中各项顺序不变，对任意的k+N，在数列na的

ka与1ka+项之间，都插入()kk+N个相同的数(1)kk−，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，则100T=（）A.4056B.4096C.8152D.8192【答案】C【解析】【分析】插入n组

共(1)2nn+个，可知前面插入12组数，最后面插入9个13−，从而可得插入的数之和为222221234111291339−+−+−−+−=−，又数列na的前13项和138191S=，可得10081913

98152.T=−=【详解】插入n组共(1)2nn+个，∵1213782=，∴前面插入12组数，最后面插入9个13−．2311121231291,1,2,2,2,2,3,3,3,2,,2,12,12,

2,13,,13−−−−−−个个个个个，，∵22(1)21nnn++=−+，∴22222123411129133711151923913−+−+−−+−=+++++−(323)6117392+=−=−，又数列na的前13项和为1313101

312131(21)21281102481819121Saaa−=+++==−=−=−=−，1008191398152.T=−=故选：C．10.已知正四面体的棱长为26，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这

个八面体能放进半径为6的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为（）A.21−B.63−C.21+D.31−【答案】B【解析】【分析】正四面体ABCD−中，顶点A在面BCD的投射影为BCD△的中心Q，正四面体ABCD−外接

球球心为点O，在直角三角形中求出AQ，OA，设小正四面体的棱长AMx=，N为上面小正四面体底面中心，可得,MNAN，由题意，八面体的外接球半径6ROM=，由此即可解得答案．【详解】如图，正四面体ABCD−中，棱长为26；顶点A在面BCD的投射影为BCD△的中心Q，正四面体ABC

D−外接球球心为点O（截去四个全等的小正四面体之后得到的八面体的外接球球心同样为点O）．E为CD中点，26AB=，3322BEAB==，2223BQBE==，在RtAQB中，224AQABBQ=−=，在RtOQB中，222BQOQOB+=，又OAOB=，则222()BQAQOAOA

+−=，即228(4)OAOA+−=，解得3OA=，则1OQAQOA=−=，设小正四面体的棱长AMx=，N为上面小正四面体底面中心，则36,33MNxANx==．由题意，八面体能放进半径为6的球形容器，则八面体的外接球半径6ROM=．在RtOMN△中，222OMMNO

N=+，则22366333xx+−，即22630xx−+，解得6363x−+．所以截去的小正四面体的棱长最小值为63−．故选：B．11.已知正实数a使得函数()()ln)e(xfxaxxax=−−有且只有三个不同零点1

23,,xxx，若123xxx，则下列123,,xxx的关系式中，正确的是（）A.1322xxx+=B.123xxax+=C.21322axxx=D.2132xxx=【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义用x表示a，再数形结合探求出123,,xxx的关系，

然后逐项判断作答.【详解】依题意，由()0fx=得：e,lnxaxxax==，即0elnxxaxx==，令()(0),())e(1lnxxgxxhxxxx==，2e(1)()−=xxgxx，2ln1()(ln)xhxx−=，当(0,1)x时，()0gx

，函数()gx单调递减，当(1,)x+时，()0gx，函数()gx单调递增，当(1,e)x时，()0hx，函数()hx单调递减，当(e,)x+时，()0hx，函数()gx单调递增，函数()yfx=有三个零点

，即直线ya=与函数()(0)xegxxx=与函数()(1)lnxhxxx=的图象共有三个公共点，在同一坐标平面内作出函数()(0)xegxxx=与函数()(1)lnxhxxx=的图象，它们有公

共点22(,)Axy，如图，因此直线ya=必过点A，令直线ya=与函数()(0)xegxxx=的图象另一交点为22(,)Bxy，与函数()(1)lnxhxxx=的图象另一交点为33(,)Cxy，显然12301exxx，且有12321223elnnelxxxxxxx

x===，由1212elnxxxx=得：12ln12eelnxxxx=，即12()(ln)gxgx=，而20ln1x，于是12lnxx=，由2323elnxxxx=得：2233elnlnexxxx=，即23(e)()xhhx=，而2eex，于是23exx=，由2222elnxxxx=

得：222231lenxxxxx==，即2132xxx=，D正确；对于A，1313222xxxxx+=，A错误；对于B，令()e1,1xxxx=−−，()e10xx=−，函数()x在(1,)+上递增，即有()(1)

e20x=−，因此e1xx+，则23221e1xxxxx=++，而111exax=，从而3321axxxx+，B错误；对于C，因为2132xxx=，若21322axxx=成立，则必有4a=，令()e4,0xuxxx=−，()e4xux=−，当(0,ln4)x

时，()0,()uxux递减，当(ln4,)x+时，()0,()uxux递增，而12341()e10,(1)e40,(2)e40,(3)e1204uuuu=−=−=−=−，因此函数()e4,0xux

xx=−的两个零点，即方程e4xx=的两个根分别在区间1(,1),(2,3)4内，令()4ln,1txxxx=−，4()1txx=−，当(1,4)x时，()0,()txtx递减，当(4,)x+时，()0,()txtx递增，而33(1)10,(2)2(1ln4

)0,(4)4(1ln4)0,(e)e120tttt==−=−=−，因此函数()4ln,1txxxx=−的两个零点，即方程4lnxx=的两个根分别在区间3(1,2),(4,e)内，显然直线4y=与函数()(0)xegxxx=和(

)(1)lnxhxxx=的图象的交点有4个，不符合题意，所以4a，即21322axxx=不正确，C错误.故选：D【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，

借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.12.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆

的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（）A.25B.512C.13D.14【答案】A【解

析】【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为12,aa；楠木纱灯、花梨木纱灯为12,bb；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为12,cc．先求仅12aa相邻的种数，把12aa看作一个元素，分三种情况讨论：12aa排在首尾；12aa排在

五个位置中第二、第四位；12aa排在第三个位置，同理得仅12bb相邻，仅12cc相邻的情况，进而得出概率.【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为12,aa；楠木纱灯、花梨木纱灯为12,bb；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为12,cc．先求

仅12aa相邻的种数，把12aa看作一个元素，当12aa排在首尾时，不同的排法有()2121242ACA232N==种；当12aa排在五个位置中第二、第四位时，不同排法有()1222422CAA232N==种；当12aa排在第三个位置时，不同的排法有23221122222CCAAA32

N==种，故仅12aa相邻共有12396NNN++=种排法，同理得仅12bb相邻，仅12cc相邻的情况，也都有96种排法，所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为669632A5P==．故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量X的分布列

为的X1−01P0.20.40.4则随机变量2X的数学期望2EX=________．【答案】0.6【解析】【分析】根据2EX为2X的数学期望求解.【详解】解：因为随机变量X的分布列为X1−01P0.20.40.4所以随机变量2X的数学期望()222210.200.410.40.6E

X=−++=，故答案为：0.614.已知变量x，y满足2202101xyxyy−++−−，则zxy=−的最大值为________．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所对应的线性规划区域，数形结合即可求解.【详解】如图，作出不等式组所对应的

线性规划区域：zxyyxz=−=−，当直线zxy=−过(1,1)A−时，z取得最大值，最大值为max112z=+=，故答案为：2.15.已知函数()232321e2,22e,2xxaxxxfxbxcxdxfx−−+−=+++

+的图象关于点()02,y中心对称（e为自然对数的底数），则ab+=________．【答案】12−##-0.5【解析】【分析】根据抽象函数的对称性可得0(2)(2)2fxfxy−++=，由22,22xx−+可得3201(1)

e()(364)(4124)(842)22xabxbcxbcdxbcdfy++−++++−−−++++=，列出方程组，解出a、b即可求解.【详解】若函数()fx满足()()2faxfaxb−++=，则函数()fx的图

象关于点(,)ab对称.因为函数()fx的图象关于点0(2,)y对称，不妨令0x，则0(2)(2)2fxfxy−++=，由22x-<，得)322(2(2)e(2)(2)(2)xfxbxcxdxf−−−=+−+−+−+，由22x+，得(23)21(2)e(2)2(2)2x

fxaxx+−+=++−+，所以32(2)0(2)3221e(2)(2)(2)e(2)2(2)22xxbxcxdxfaxxy−−+−+−+−+−++++−+=，即32301(1)e(2)(2)(2)(2)2(2)22xabxcxdxfxxy++−+−+−+++

−+=整理，得3201(1)e()(364)(4124)(842)22xabxbcxbcdxbcdfy++−++++−−−++++=，其中0y为常数，有0101023640412408422abbcbcdbcdfy+=

−=++=−−−=+++=，解得11,2ab=−=，所以12ab+=−.故答案为：12−.16.足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一

时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，12ll∥，这两平行线间的距离为3m，,||||,||10mCAABACABBC⊥=，点B在直线l上，且2ll⊥，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根

据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与1l的夹角为，已知站位B，C两点队员跑动速度都是8m/s，现要求接球点满足下面两个条件：①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点

；②接球点在直线l的左侧（包括l）；则tan的取值范围是________．【答案】17,1212【解析】【分析】如图，以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设接球点为P，根据8mPCPB−=，可得点P在以,CB为焦点的双曲线的右支上，根据ACAB⊥，求得A点的坐标，

直线l与双曲线的右支交于12,PP（1P在2P的上方），求出12,PP两点的坐标，再求出12,APAP的斜率，结合图象即可的解.【详解】如图，以BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则()()5,0,5,0BC−，设接球点P，若8mPCPB−=，得点P在以,CB为焦点的双曲线221169xy−

=的右支上，设(),3AAx，则()()()5,3,5,3,0AAACAxBAxx=+=−，因为ACAB⊥，所以()()25,35,32590AAACABAxxx=+−=−+=，解得4Ax=−，即(

)4,3A−，设直线l与双曲线221169xy−=的右支交于12,PP（1P在2P的上方），令5x=，则94y=，所以12995,,5,44PP−，则接球点为P位于双曲线右支与

直线l围成的区域内或边界，则45Px，为1299331744,45124512APAPkk−+==−==−−−−−，因为直线AP的倾斜角与互补，由图可知，17tan,1212.故答案为：17,1212.【点睛】关键点点睛：以BC的中点

O为原点，建立平面直角坐标系，根据8mPCPB−=再结合双曲线的定义求得P点的轨迹，是解决本题的关键.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题

：共60分．17.如图是函数π()sin()0,02fxx=+的部分图象，已知2ABAC=．（1）求；（2）若43(2)32ff−=−，求．【答案】（1）π2=（2）π3=【解析】【分析】（1）设()0,0Ax，则003,1,,144TTBx

Cx++−，再根据2ABAC=求得周期T，即解；（2）根据43(2)32ff−=−结合三角恒等变换化简计算即可的解.【小问1详解】设()0,0Ax，函数的最小正周期为T，则003,1,,144TTBxCx++−，则3,1,,144TTA

BAC==−，故233,1,1124416TTABACT=−=−=，解得4T=(负值舍去)，所以2π4=，所以π2=；【小问2详解】由（1）得ππ(

)sin022fxx=+，43(2)32ff−=−，得()2π3sinπsin32+−+=−，即31π3sincossinsin2232−−+=−+=−，所以π

3sin32+=，又因π02，则ππ5π336+，所以π2π33+=，所以π3=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的菱形，π3PABDAB==，PAPB⊥，点E在线段PB上，CDDE⊥，平面PAB⊥平面ABCD

．（1）求PE；（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．【答案】（1）233PE=（2）210【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，由线面垂直的性质可得,PAPGPBPG⊥⊥，建立如图空间直角坐标系，利用空间共线向量的坐标表示求得(2,23,0)CD

=−，结合空间垂直向量的坐标表示计算即可求解；（2）利用空间向量法求出平面CDP的一个法向量，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】取AB的中点O，连接BD、DO，过P作DO的平行线PG，在菱形ABCD中，3DAB=，则ABD△为等边三角形，得23OD=，且⊥DOAB，又平面PAB⊥平

面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，DO平面ABCD，所以DO⊥平面ABCD，由//DOPG，则PG⊥平面ABCD，又、PAPB平面ABCD，所以,PAPGPBPG⊥⊥，由PAPB⊥，建立如图空间直角坐标系Pxyz−，由,43PA

BAB==，得,232PAPB==，取PA的中点F，连接OF，则3,1OFAF==，所以(0,0,0),(2,0,0),(0,23,0)PAB，(1,3,0),(1,3,23)OD，有(2,23,0)AB=−，设(,,)Cabc，则(1,3,23)DCabc=−−−，由ABDC=，

得1,33,23abc=−==，即(1,33,23)C−，(2,23,0)CD=−.设PEd=，则(0,,0)Ed，有(1,3,23)DEd=−−−，由CDDE⊥，得2(3)(23)0CDDEd=−+−−=，解得23

3d=，即233PE=；【小问2详解】设平面CDP的一个法向量为(,,)nxyz=，由(1,3,23)PD=，(2,23,0)CD=−，得22303230nCDxynPDxyz=−==++=，令3x=，则1,1yz

==-，所以(3,1,1)n=−，又3(1,,23)3DE=−−−，所以323323cos,104053DEnDEnDEn−−===，故直线DE与平面CDP所成角的正弦值为210.【点睛】19.一地质探测队为探

测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为ix，其中(1,2,3,4,5)ixii==，并得到了各采样点金属锂的含量iy，得到一组数据(),,1,2,3,4,5iixyi=，经计算得到如下统

计量的值：5162iiy==，()()5147iiixxyy=−−=，514.79iiu=，()5211.615iiuu=−，()()1519.38iiiuuyy=−−，其中ln,(1,2,3,4,5)iiuxi==．（1）利用相关系数判断yabx=+

与lnyabx=+哪一个更适宜作为y关于x的回归模型；（2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程yabt=+中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为()()()1122211nniiiiiinn

iiiittyytyntybtttnt==−==−−−==−−，aybt=−，()()()()12211niiinniiiittyyrttyy===−−=−−；参考数据：219.3823

2.561.615=．【答案】（1）用lnyabx=+作为y关于x的回归模型方程更适宜，理由见解析；（2）0.90412lnyx=+【解析】【分析】（1）用yabx=+作回归模型求出相关系数1r，用lnyabx=+作为

回归模型求出相关系数2r，比较大小可得答案；（2）由已知条件求出b，a可得答案.【小问1详解】若用yabx=+作回归模型，1234535x++++==，()()()()()()25222221132333435310iixx=−=−+−+−+−+−=，所以相关系数()()()()(

)5112221155514710iiiiiiiiittyyrttyyyy====−−==−−−，若用lnyabx=+作为回归模型，相关系数()()()()()15252552211119.381.615iiiiiiiiiuuyyryyuuyy====−

−==−−−，比较21r与22r，()()22122515147220.910iiiiryyyy====−−，()()22222115519.38232.561.615iiiiryyyy====−−，因为2212rr，所以用l

nyabx=+作为y关于x的回归模型方程；【小问2详解】由（1），()()()5152119.38121.615iiiiiuuyybuu==−−===−，1114.790.95855niiuu====，1116212.

455niiyy====，12.4120.9580.904aybu=−=−=，则y关于x的回归方程为0.90412lnyx=+.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为23，左

、右顶点分别为12,AA，上顶点为B，过点2A的直线12,ll斜率分别为11,22kk−−，直线1AB与直线12,ll的交点分别为B，P．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线2l与椭圆C的另一个交点为Q，直线BQ与x轴

的交点为R，记PQR的面积为1S，2AQB△的面积为2S，求12SS的取值范围．【答案】（1）2214xy+=（2）(2,)+【解析】【分析】（1）列出关于,ab的方程，求解即可；（2）直线2l的方程为1(2)2ykxk=−−，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得Q点坐标，直线1A

B的方程与直线2l的方程联立解得P点坐标，由1222814QRQPSSQBQAk==−结合k的范围求得答案．【小问1详解】因为直线2AB的斜率为12−，所以12ba=，焦距223c=，因此223ab−=，解得2,1ab==，所以椭圆C的方程是2214xy+=；【小问2详解】因为2(2,0)A，

所以直线2l的方程为1(2)2ykxk=−−，联立22(2)14ykxxy=−+=，整理得()222241161640kxkxk+−+−=．则2216241Qkxk+=+，故2

28241Qkxk−=+，则()24241QQkykxk−=−=+．所以222824,4141kkQkk−−++．又直线1AB的方程为112yx=+．联立112(2)yxykx=+=−，解得424,2121kkPkk+−−．12211QPQP

QQQQyyyyyQRQPSSQBQAyyy−−===−−()22228(21)2(21)16812182(21)824kkkkkkkkkk−−−+===−−+−−，因为12k−，所以2211,044kk，所以12

(2,)SS+．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解范围问题的常见求法：（1）将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两

个参数之间建立等量关系．（3）利用几何条件构造不等关系．（4）利用基本不等式求出参数的取值范围．（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数1()ln(0,0),()fxkxaxxafxx−=−+为()fx的导函数．（1）当1,2ak==时，求函数(

)fx的极值；（2）已知()1212,(0,)xxxx+，若存在kR，使得()()12fxfx=成立，求证：()()120fxfx+．【答案】（1）极大值为3−，无极小值．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）1()2lnfxxxx=−−+，求导，利用函

数的单调性及极值的定义求解；（2）不妨设12xx，因为()()12fxfx=，所以121212ln1xxakxxxx+=−，结合()()1222121211112fxfxakxxxx+=+++−，得()()()21212112221212212

12lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−+=+−−−，设12(1,)xtx=+，构造函数1()2ln(1)ttttt=−−，结合函数的单调性，可证得结论.【小问1详解】当1,2ak==时，此时1()2lnfxxxx=−−+，则2211(21)(1)()2xxfxx

xx+−=−+=−，当01x时，()0fx，则()fx在(0,1)单调递增；当1x时，()0fx，则()fx在(1,)+单调递减；所以()fx的极大值为(1)3f=−，无极小值．【小问2详解】不妨设12xx，因为()()12fxfx=，则11221211lnlnkxa

xkxaxxx−−+=−−+，即()12112122lnxxxakxxxxx−+=−，所以121212ln1xxakxxxx+=−，由21()afxkxx=+−，则()()1222121211112fxfxakxxxx+=+++−，()()12122212121212ln

111112xxfxfxaaxxxxxxxx+=+++−+−，即()()12122212121212ln112112xxfxfxaxxxxxxxx+=+−++−−，所以()()()222121211222121212212

lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−−+=+−−即()()()2121211222121221212lnxxxxxfxfxaxxxxxxx−+=+−−−，设12(1,)xtx=+，构造函数1()2ln(1)ttttt=−−，则2221221()10t

ttttt−+=+−=，所以()t在(1,)+上为增函数，所以()(1)0t=，因为()21222121210,0,0xxaxxxx−−，所以()()120fxfx+．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略

：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．（二）选考题：共

10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平

面直角坐标系xOy中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆，其中黑、白区域分界线1C，2C为两个圆心在y轴上的半圆，(2,2)P−在太极图内，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点P的一个极

坐标和分界线1C的极坐标方程；（2）过原点的直线l与分界线1C，2C分别交于M，N两点，求PMN面积的最大值．【答案】（1）3π22,4P，1C：24sin0−=（2）424+【解析】【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，2PMNPOM

SS=，在极坐标系中，求POMS，并求其最大值即可.【小问1详解】设点P的一个极坐标为(),PPP，0P，)0,2πP，则()22222222PPPxy=+=−+=，2tan12PPPyx===−−，∵点P在第三象限，∴3π4P

=，∴点P的一个极坐标为3π22,4P.∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆，∴分界线1C的圆心直角坐标为()10,2C，半径为2r=，∴1C的直角坐标方程为()2224xy+−=（0x

），即2240xyy+−=（0x），将cosx=，siny=，222xy+=代入上式，得24sin0−=，π0,2，化简，得分界线1C的极坐标方程为4sin=，π0,2.【小问2详解】∵M在1C上，∴设M点的极坐标为

(),MMM，则4sinMM=，π0,2M，∴POM的面积()11sinsin22POMPMPMSOPOMPOM==−13π224sinsin24MM=−24sincos4sinMMM=+()2sin2

21cos2MM=+−2sin22cos22MM=−+π22sin224M=−+∵π0,2M，∴ππ3π2,444M−−，∴当ππ242M−=，即3π8M=时，POM的面积的最大值为()max222POMS=+.∵

直线l过原点分别与1C，2C交于点M，N，∴由图形的对称性易知，OMON=，∴PMN面积2PMNPOMSS=，∴PMN面积的最大值为()()maxmax2424PMNPOMSS==+.选修4-5：不等式选讲23.已知()|1||22

|,()||fxxxgxaxb=+−−=−．（1）在给出的直角坐标系中画出函数()fx的图象；（2）若()()fxgx在R上恒成立，求ba−的最小值．【答案】（1）图象见解析（2）3【解析】【分析】（1）化简()fx为分段函数形式，作图即可；（2）结合函数()fx和()gx的图象，

分10a−，0a，3a−与31a−−四种情况讨论，结合图象及基本不等式求解．【小问1详解】3,1,()12231,11,3,1,xxfxxxxxxx−−=+−−=−−−+其图象如下图所示：小问2详解】

由（1）知函数()fx与x轴的交点为1(,0)3和(3,0)，结合函数()fx和()gx的图象可以知道，【当10a−时，当13b或133b或3b时，由图可知()()fxgx在R上不可能恒成立；当0

a时，()0gx，而()fx的值有负数，可知()()fxgx在R上不可能恒成立；当3a−时，只需133b，则()()fxgx在R上恒成立，此时110333ba−+=，当31a−−时，过点(1,4)−−且斜率为a−的直线方程为4yaxa=−−−，令0y=，则

41xa=−−，要()()fxgx在R上恒成立，则413ba−−，此时444112()13baaaaaaa−−−−=−−−−−−=，当且仅当2a=−时等号成立．综上：ba−的最小值为3．获得更多资源请扫

码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com