【文档说明】【精准解析】2021届高考数学北师大版单元检测七　不等式、推理与证明（提升卷）【高考】.docx，共(12)页，91.575 KB，由小赞的店铺上传

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单元检测七不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线

内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·安徽省六安市舒城县期末)已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()

A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若a>b，则ac2>bc2C．若a>b>0，则(a－b)c>0D．若a>b，则a－c>b－c2．“1＋3x－1≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要

条件3．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，

a1＝1，an＝12an－1＋1an－1，由此归纳出{an}的通项公式4．若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()A．R<P<QB．P<Q<RC．Q<P

<RD．P<R<Q5．若x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则xy的最小值为()A．8B．14C．16D．646．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n3＝n6＋n32，n∈N＋”，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．(k3＋1)＋(

k3＋2)＋…＋(k＋1)3B．(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k3＋k＋1)C．(k＋1)3D.(k＋1)6＋(k＋1)327．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x12，若不等式f(－4t)>

f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－2，0)B．(－∞，－2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)8．已知不等式2x＋m＋2x－1>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－6

)C．(－8，＋∞)D．(－∞，－8)9．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10B．8C．5D．410．若变量x，y满足约束条件x2＋y2≤4，y≥－x，y

≤x＋2，则t＝y－2x－3的取值范围是()A.0，32B.0，125C.0，125D.－125，011．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可

由公式S＝p(p－a)(p－b)(p－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为()A．45B．415C．85D

．81512．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z(单位：L)，其中装有体积为y(单位：L)的水(x<z，y<z)．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅

拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N＋)次操作之后，乙容器中含有纯酒精an(单位：L)，下列关于数列{an}的说法正确的是()A．当x＝y＝a时，数列{an}有最大值

a2B．设bn＝an＋1－an(n∈N＋)，则数列{bn}为递减数列C．对任意的n∈N＋，始终有an≤xyzD．对任意的n∈N＋，都有an≤xyx＋y第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5

分，共20分．把答案填在题中横线上)13．对数不等式(1＋log3x)(a－log3x)>0的解集是13，9，则实数a的值为________．14．已知x≥32，则2x2－2x＋1x－1的最小值为__________．15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分

别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学

就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)16．(2019·西安期中)单位向量a，b的夹角为锐角，若对于任

意(x，y)∈{(x，y)||xa＋yb|＝1，xy≥0}，都有|x＋2y|≤815成立，则a·b的最小值为________．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1，当m>－2时，解关于x的

不等式f(x)≥m.18.(12分)已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.(1)若f23＝203，且a>0，b>0，求ab的最大值；(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋

3b≥3，求z＝a＋b＋2a＋1的取值范围．19．(13分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝10x2＋100x，0<x<40，501x＋10

000x－4500，x≥40.由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．(1)求该企业2020年的年利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；(2)当2020年年产量为多少百辆时，企业所获

年利润最大？并求出最大年利润．20.(13分)设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N＋)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N＋恒成立？证明你

的结论．答案精析1．D[当c<0，b>0时，A不成立；当c＝0时，B不成立；当c≤0时，C不成立；由不等式的性质知D成立．故选D.]2．A[由1＋3x－1≥0，得x＋2x－1≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且

x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋3x－1≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)·(x－1)≥0”推不出“1＋3x－1≥0”，故“1＋3x－1≥0”是“(

x＋2)·(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.]3．C[因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．]4．B[由于函数y＝lgx在(

0，＋∞)上是增函数，∵a>b>1，则lga>lgb>0，由基本不等式可得P＝lga·lgb<Q＝12(lga＋lgb)＝12lg(ab)＝lgab<lga＋b2＝R，因此，P<Q<R.]5．D[∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝

0，∴xy＝2x＋8y≥216xy，∴xy≥8，∴xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时取等号，∴xy的最小值为64，故选D.]6．A[当n＝k时，左端式子为1＋2＋3＋…＋k3，当n＝k＋1时，左端式子为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3，两式比较可知增加的

式子为(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3.]7．B[当x≥0时，f(x)＝x12，则函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又函数y＝f(x)是R上的奇函数，则函数y＝f(x)在(－∞，0)上也为增函数，易知函数y＝f(x)在R上为连续函数，由f(－

4t)>f(2m＋mt2)，得－4t>2m＋mt2，即mt2＋4t＋2m<0.由题意知，不等式mt2＋4t＋2m<0对任意的t∈R恒成立．当m＝0时，则有4t<0，解得t<0，不符合题意；当m≠0时，则有m<0，

Δ＝16－8m2<0，解得m<－2.因此，实数m的取值范围是(－∞，－2)．]8．A[不等式即m>－2x－2x－1＝－2x－1＋1x－1＋1恒成立，因为x>1，所以－2x－1＋1x－1＋1≤－22(x－1)×1x－1＋1＝－6，当且仅当x＝2时等号成立，故实

数m的取值范围是(－6，＋∞)．]9．B[由题意知，圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以12a＋2b＝(4a＋b)12a＋2b＝4＋b2a＋8ab≥4＋2b2a·8ab＝8，当且仅当b2a＝8ab，即a＝18，b＝12时，

等号成立．所以12a＋2b的最小值为8.故选B.]10．B[作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．t＝y－2x－3表示可行域内的点与点M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M的连线与圆x2＋y2＝4相切时斜率分别取最

大值和最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有|3k－2|1＋k2＝2，解得k＝125或k＝0，所以t＝y－2x－3的取值范围是0，125，故选B.]11．C[由题意知，p＝10，S＝10(10－a)(10－b)(10－c)＝20(10－

a)(10－b)≤20·10－a＋10－b2＝85，∴此三角形面积的最大值为85.]12．D[对于A，若x＋y>z，每次倾倒后甲容器都有剩余，则an<a2，故A错误；对于B，若x＋y＝z，则每次操作后乙容器

所含酒精都为xyx＋y，bn＝0，故B错误；对于C，若x＝1，y＝1，z＝3，则a1＝12，xyz＝13，则a1>xyz，故C错误；对于D，当n→＋∞时，甲、乙两容器浓度趋于相等，当x＋y≤z时，an＝xyx＋y，当x＋y>z时

，an<xyx＋y，故选D.]13．2解析对数不等式化为log3x－log313(log3x－log33a)<0，所以此不等式的解为13<x<3a或3a<x<13，因为其解集为13，9，所以a＝log39＝2.14．22＋2解析设

t＝x－1，则x＝t＋1t≥12，所以2x2－2x＋1x－1＝2(t＋1)2－2(t＋1)＋1t＝2t2＋2t＋1t＝2t＋1t＋2≥22＋2，当且仅当t＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2.15．影视配音解析由①知

甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．16.14解析设单位向量a，b的夹角为锐角θ，则a·b＝cosθ，∵|x

＋2y|≤815，∴1≥158|x＋2y|，又|xa＋yb|＝1，xy≥0，得x2＋y2＋2xycosθ＝1，∴cosθ＝1－x2－y22xy≥158|x＋2y|2－x2－y22xy＝－4964

x2－116y2＋1516xy2xy恒成立，∵－4964x2－116y2＋1516xy2xy＝1532－1249x64y＋y16x≤1532－12×2×49x64y×y16x＝14，∴cosθ≥14，即a·b的最小值为14.17．解由f(x)≥m得，(m＋1)x2－m

x－1≥0.即[(m＋1)x＋1](x－1)≥0.①当m＋1＝0，即m＝－1时，解得x≥1；②当m＋1>0即m>－1时，解得x≤－1m＋1或x≥1；③当m＋1<0，即－2<m<－1时，由于－1m＋1－1＝－m＋2m＋1>0，所以1≤x

≤－1m＋1.综上可得，当m>－1时，解集为xx≤－1m＋1或x≥1；当m＝－1时，解集为{x|x≥1}；当－2<m<－1时，解集为x1≤x≤－1m＋1.18．解(1)因为f(

x)＝(3a－2)x＋b－a，f23＝203，所以a＋b－43＝203，即a＋b＝8.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，即4≥ab，所以ab≤16，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以ab的最大值为16.(2)因为当x∈[0,1]时

，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，所以f(0)≤1，f(1)≤1，且2a＋3b≥3，即b－a≤1，b＋2a≤3，2a＋3b≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得，可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)所连直线的斜率的

取值范围是25，2，所以z＝a＋b＋2a＋1＝b＋1a＋1＋1的取值范围是75，3.19．解(1)当0<x<40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500

；当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－10000x＋4500－2500＝2000－x＋10000x.所以L(x)＝－10x2＋400x－2500，0<x<40，2000－x＋10000x，x≥40

.(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，所以当0<x<40时，L(x)max＝L(20)＝1500；当x≥40时，L(x)＝2000－x＋10000x≤2000－2x·10000x＝2000－200＝1800，当且仅当x＝

10000x，即x＝100时取等号，所以L(x)max＝L(100)＝1800.因为1800>1500，所以当x＝100，即2020年年产量为100百辆时，该企业所获年利润最大，且最大年利润为1800万元．20．解(1)由题意得a2＝2，a3

＝2＋1.因为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.所以猜想an＝n－1＋1(n∈N＋)．下面用数学归纳法证明上式成立．当n＝1时，结论显然成立．假设当n＝k(n∈N＋)时结论成立，即ak＝k－1＋1，则ak＋1＝a2k－2ak＋2＋1＝(ak－1)2＋1＋1＝(

k－1)＋1＋1＝(k＋1)－1＋1，即当n＝k＋1时结论也成立．综上可知an＝n－1＋1(n∈N＋)．(2)设f(x)＝(x－1)2＋1－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝(c－1)2＋1－1，解得c＝14.下面用数学归纳法证明命

题a2n<14<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2<14<a3<1，结论成立．假设当n＝k(n∈N＋)时结论成立，即a2k<14<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而14＝f1

4>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>14>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得14＝f14<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1，故14<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1，即当n＝k＋1时结论也成立．综上可知，存在c＝14，

使a2n<c<a2n＋1对所有n∈N＋恒成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com