【文档说明】天津二中2020-2021学年高二上学期开学考试（9月）数学试题【精准解析】.doc，共(14)页，1.026 MB，由小赞的店铺上传

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天津二中2020-2021学年高二上学期开学考试（9月）数学试卷一､选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)1.当2m13时，复数(32)(1)zmmi=−+−在平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分

析】利用m的范围求出32m−、1m−的范围即可确定答案【详解】213m，320,10mm−−，点在第四象限．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题.2.已知向量()5,am=，()2,2b=−，若()abb−

⊥，则实数m=（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】根据已知向量坐标，将ab−应用坐标表示，由()abb−⊥知()0abb−=rrr，结合数量积的坐标公式求参数值【详解】∵向量()5,=am，()2,2b=−∴()3,2abm−=+

又()abb−⊥∴()0abb−=rrr，即()6220m−+=，解得1m=故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数3.在ABC中，内角ABC，，所对的边分别为abc，，，若2236Aac===，，，则角C的大小是（）A

.3B.23C.56D.3或23【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理和三角形内角的范围，即可求出结果.【详解】由正弦定理可知，sinsinacAC=所以23sinsin36sin22cACa===，又()0,

C，所以C=3或23.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A.至少有1个白球；都是红球B.至少有1个

白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是白球【答案】A【解析】【分析】根据对立事件的定义判断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有

一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“

都是白球”不是互斥事件.故选：A.5.同一平面上三个单位向量,,abc两两夹角都是23，则ab−与ac+的夹角是()A.3B.23C.12D.6【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积，可得ab−rr，ac+，然后利用向量的夹角

公式，可得结果.【详解】由21cos32abab==−21cos32acac==−,所以3ab−=,1ac=+,则()2()aacaabbacbc=+−−−+所以()()abac−+112111cos223=+−−即()13()122abac==−++.

设ab−与ac+的夹角为,则()3()32cos231abacabac===−+−+,又0,所以ab−与ac+的夹角为6.故选：D.【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属基础题.6.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）A.43B

.C.43D.323【答案】C【解析】设正方体的边长为a，则2624a=，解得2a=．所以其外接球的半径332Ra==，则体积3344(3)4333VR===，故选C7.已知mn，是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）

A.,//⊥，则//B.,,//,//mnmn，则//C.//,//，则//D.,m⊥⊥，则//m【答案】C【解析】【分析】根据平面与平面的位置关系，即可判断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可判断B是否正确；根据面面垂直和线面垂直的关系和

线面的位置关系，即可判断D是否正确.【详解】对于A，,//⊥，则⊥，故A错误；对于B，若,mn，且m，n相交，//,//mn，则//，故B错误；对于C，若//,//，则//

，故C正确；对于D，若,m⊥⊥，则//m或m，故D错误．【点睛】本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题.8.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇

到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是13,则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为()A.124B.427C.79D.127【答案】B【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式，计算出所求概率.【详解】因为这位司机在第一,二个交通岗未遇

到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的,且遇到红灯的概率都是13,所以未遇到红灯的概率都是12133−=,所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为221433327=.故选：B【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.9.在长方体1111ABCDAB

CD−中，2ABBC==，11AA=，则1AB与平面11ABCD所成角的正弦值为（）A.255B.25C.105D.12【答案】B【解析】【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做11BHBC⊥于H点，连接AH，因为

1ABCB⊥面，1ABBH⊥，又因为111,BHBCBCABB⊥=，111BHABCD⊥面，根据线面角的定义得到1BAH为所求角，在11BBC中，1111,2,BBBC==由等面积法得到12,5BH=15

AB=，线面角的正弦值为：112.5HBAB=故答案为B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．

10.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A.()2,6−B.(6,2)−C.(2,4)−D.(4,6)−【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征

，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)−，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)−，结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以APAB的取值范

围是()2,6−，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.二､填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.已知i是虚数单

位，复数z的共轭复数()1243zizi+=+，，求z=___________.【答案】2i+【解析】【分析】根据复数的除法运算先求出z，再根据共轭复数的关系即可求出结果.【详解】因为()1243izi+=+所以()()()

()43124310521212125iiiiziiii+−+−====−++−，所以2zi=+.故答案为：2i+.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.12.在ABC中，内角ABC，，所对的边分别为()(),,,3abcabcabcab+++

−=，求角C=___________.【答案】3【解析】【分析】对原式化简可得222abcab++−=，再根据余弦定理，即可求出结果.【详解】因为()()3abcabcab+++−=，所以222abcab+−=，所以2221cos,0π22abcCCab++−==，所以3C=.

故答案为：3.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.13.已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是________．【答案】4.7【解析】【分析】把这组数据按从小到大的顺序排

列，根据第p百分位数的定义可得答案.【详解】把这组数据按从小到大的顺序排列，可得：4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1共6个数据，由6251.5﹪=，所以这组数据的第25百分位数是第2项，即4.7.

故答案为：4.7.【点睛】本题考查第p百分位数的定义，属于基础题.14.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知a=_____．若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽

样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030,3【解析】因为10(0.0350.020.010.005)1,0.03aa++

++==,身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生人数为100(0.030.020.01)1060++=人，其中身高在[140，150]内的学生中人数为1000.011010=,所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数

应为1018360=人.15.如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为________．【答案】12【解析】【分析】结合正方体的平面展开图，作出正方体的直观图，可知BEF是正三角形，从而可

知直线EF与MN所成角为π3，即可得到答案.【详解】作出正方体的直观图，连接BF，BE，易证三角形BEF是正三角形，而//MNBF，故直线EF与MN所成角为π3，则直线EF与MN所成角的余弦值为12.【点睛】本题考查了正方

体的结构特征，考查了异面直线的夹角的求法，属于中档题.16.如图在直角梯形ABCD中，//,,2,ABDCADDCADDCABE⊥==为AD中点，若CACEDB=+，则+=___________.【答案】85【解析】【分析】建立直角坐标系，利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出．

【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨设1AB=，则()()()()()0,0,2,0,0,2,1,2,0,1DCABE．()()()2,2,2,1,1,2CACEDB=−=−=uuruuruuur，∵CACEDB=+，∴()()()2,22,11,2−=−+，∴2

222−+=−+=，解得62,55==，所以85+=．故答案为：85．【点睛】本题考查了平面向量坐标运算性质、平面向量基本定理，考查了推理能与计算能力，属于基础题．三､解答题(本题共3个小题，共36分)17.已知单

位向量12ee，的夹角60，向量1221aeebetetR=+=−，，.（1）若//ab，求t的值；（2）若2t=，求向量ab，的夹角.【答案】（1）1t=−；（2）23.【解析】【分析】（1）根据题意，设akb=，又12,ee不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出t的值；（

2）根据题意，设向量,ab的夹角为；由数量积的计算公式可得b、ar以及ab，又由cosabab=，即可求出结果．【详解】（1）根据题意，向量1221aeebete=+=−rururrurur,，若//ab，设akb=，则有()(

)122112eeketekteke+=−=−+urururururur，则有11ktk=−=，解可得1t=−；（2）根据题意，设向量,ab的夹角为；若2t=，则212bee=−，所以()222

221212124cos604523beeeeee=−=−+=−=rurururururur，所以3b=，又12aee=+，则()22221212122cos601113aeeeeee=+=++=++=rururur

ururur，所以3a=，又()()22122121121322cos601222abeeeeeeee=+−=−−=−−=−rrurururururururur，所以312cos233abab−===−rrrr，又由0

，所以23=；故向量,ab的夹角为23．【点睛】本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知22a=，5b=，13c=.（1）求角C的大小；（2）求sinA的值；（3）求

sin24A+的值.【答案】（1）4C=；（2）213sin13A=；（3）172sin2426A+=.【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求得cosC的值，结合角C的取值范围可

求得角C的值；（2）由（1）及正弦定理即可得到答案；（3）先计算出sinA、cosA，进一步求出sin2A、cos2A，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（1）在ABC中，由22a=，5b=，13c=及余弦定理得222825

132cos222225abcCab+−+−===，又因为()0,C，所以4C=；（2）在ABC中，由4C=，22a=，13c=及正弦定理可得222sin2132sin1313aCAc===；（3）由ac知角A为锐角，由213sin13A=，可得2cos1s

inAA=−=31313，进而12sin22sincos13AAA==，25cos22cos113AA=−=，所以12252172sin2sin2coscos2sin44413213226AAA+=+=+=【点睛】本题考查了正弦定理､余弦定理及其应用，考

查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养.解题关键熟记有关公式，进行合理转化.19.如图所示，四棱锥PABCD－的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：PB平面AEC；（2）求证：CD⊥平面PAD；（3）若

三棱锥CADE−的体积为23，求四棱锥PABCD−的侧面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）442+.【解析】【分析】（1）连结BD，交AC于点O.连结OE，证得OEPB，再利用线面平行

的判定定理，即可证得PB平面AEC；（2）由四边形ABCD是正方形，所以CDAD⊥，又由因为PA⊥底面ABCD，证得CDPA⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；（3）由1233CADEBACDACDVVhS−−===，求得1h=，进而利用面积公式，即可求解．【详解】（1）连结BD，交A

C于点O.连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以OE为PBD△的中位线，所以OEPB，又PB平面AEC，OE平面AEC，所以PB平面AEC.（2）因为四边形ABCD是正方形，所以C

DAD⊥，因为PA⊥底面ABCD，所以CDPA⊥，又ADPAA=，所以CD⊥平面PAD.（3）因为1233CADEBACDACDVVhS−−===，又因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以ACDS2=，所以1h=，又因为E是PD的中点

，所以22PAh==.所以22PBPD==，所以四棱锥PABCD−的侧面积22PABPBCSS=+1122222244222=+=+.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明

，以及几何体的体积与表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的表面积与体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．