【文档说明】专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）.docx，共(29)页，574.707 KB，由envi的店铺上传

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专题24.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【人教版】【题型1圆心角、弧、弦的概念】..........................................................

.............................................................1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】.....................

...............................................................................4【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】.........................................

...................................................6【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】..............................................................

......................................9【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】......................................................

............................................12【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】.........................................................................

.................16【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】..............................................................................................19【题型8圆心角

、弧、弦中的证明问题】..........................................................................................................22【题型9圆心角、弧、弦中的的倍数关系】..

....................................................................................................25【知识点1弧、弦、角、距的概念】

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是

劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性

，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【题型1圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D

．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心

的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）A．AB＝ADB．BC＝CDC．𝐴𝐵̂=𝐴𝐷̂D．∠BCA＝∠D

CA【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到𝐵𝐶̂=𝐶𝐷̂，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴𝐵𝐶̂=𝐶𝐷̂，∴BC＝CD，故选：B．【变式1-2】（2022秋•凯里

市校级期中）如图，在⊙O中，𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，正确的是①②③④（填序号）．【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐

项分析即可．【解答】解：在⊙O中，𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦A

B⊥CD，垂足为E，F为𝐶𝐵𝐷̂的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①𝐶𝐹̂=𝐷𝐹̂；②HC＝BF：③MF＝FC：④𝐷𝐹̂+𝐴𝐻̂=𝐵𝐹̂+𝐴𝐹̂，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．

4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为𝐶𝐵𝐷̂的中点，∴𝐶𝐹̂=𝐷𝐹̂，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠

FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴𝐶𝐻̂=𝐵𝐹̂，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝

90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴𝐴𝐻̂的度数+𝐶𝐹̂的度数＝180°，∴𝐶𝐻̂的度数+𝐴𝐹̂的度数＝180°，∴𝐴𝐻̂+𝐶𝐹̂=𝐴𝐻̂+𝐷𝐹̂=𝐶𝐻̂+𝐴𝐹̂=𝐴𝐹̂+𝐵𝐹

̂，故④正确，故选：C．【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，𝐴𝐸̂=𝐵𝐷̂，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、

弧、弦的关系，由𝐴𝐸̂=𝐵𝐷̂得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵𝐴𝐸̂=𝐵𝐷̂，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝

64°．故选：D．【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，∠1＝45°，则∠2＝（）A．60°B．30°C．45°D．40°【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所

对的圆心角相等即可得到结论．【解答】解：∵𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝120

°．【分析】证明𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂可得结论．【解答】解：∵AC＝BD，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，∴∠BOD＝∠AOC＝120°，故答案为：120°．【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，𝐵𝐶̂=𝐶𝐷̂=𝐷𝐸̂，∠COD＝3

4°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由𝐵𝐶̂=𝐶𝐷̂=𝐷𝐸̂，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解

答】解：如图，∵𝐵𝐶̂=𝐶𝐷̂=𝐷𝐸̂，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO=12×（180°﹣78°）＝51°．

故答案为：51°．【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2√2，则半径R的长为（）A．1B．√2

C．2D．2√2【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，继而可得𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直

角三角形，则可求得AD=√2R，由此即可解决问题．【解答】解：连接OA，OD，∵弦AC＝BD，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，∴𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，

∵OA＝OD，∴AD=√2R，∵AD＝2√2，∴R＝2，故选：C．【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于

点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）A．√32B．32C．3D．2√3【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝3

0°，∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，∴OM⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴OD=12OA=12×6=3，∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，故选：C．【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作

DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，𝐴𝐷̂=𝐴𝐹̂，求出𝐴𝐷𝐶̂=𝐷𝐴𝐹̂，求出AC＝D

F，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，𝐴𝐷̂=𝐴𝐹̂，∵D为弧AC的中点，∴𝐴𝐷̂=𝐷𝐶̂，∴𝐴𝐷𝐶̂=𝐷𝐴𝐹̂，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，

∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=√𝑂𝐹2−𝑂𝐸2=√52−33=4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式3-3】（2

022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝2√5，𝐵𝐷̂=𝐶𝐷̂，则AD＝3√2．【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得A

D=√2AF，想办法求出AF，可得结论．【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵BC＝2√5，AB＝2AC，∴AC＝2，

AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四边形DEAF是正方形，∴AD=√2AF，∵∠DAB＝∠DAC，∴𝐵𝐷̂=𝐶𝐷̂，∴BD＝CD

，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD=√2AF＝3√2，故答案为：3√2．【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋•龙口市期末）如

图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且𝐴𝐷̂=𝐷𝐶̂=𝐶𝐵̂，则四边形ABCD的周长等于（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm【分析】如图，连接OD、OC．根

据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵𝐴𝐷̂=𝐷𝐶̂=𝐶𝐵̂（已知），∴∠AOD＝∠

DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD

＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°

，C是𝐴𝐵̂的中点，则四边形AOBC的周长等于12．【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．【解答】解：∵C是𝐴𝐵̂的中点∴∠AOC＝∠BOC，

而∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°∴△AOC和△BOC都是等边三角形∴OA＝OB＝CA＝CB＝3所以四边形AOBC的周长等于12．故填12．【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，

在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+

3＝9（cm）．故答案为：9cm．【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3√6，则⊙O的周长为6√3π．【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠A

BD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴𝐴𝐵𝐶̂=𝐵𝐴𝐷̂，∴𝐵𝐶̂=𝐴𝐷

̂，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3√6，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3√

3，∴⊙O的周长是2×π×3√3=6√3π，故答案为6√3π．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是𝐴𝐵̂的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25B．25√3C．25√34D

．25√32【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：连OC，如图，∵C是𝐴𝐵̂的中点，∠

AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2×12×52×√32=252√3．故选：D．【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折

线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝25𝜋2．【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝

8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圆=25𝜋2，故答案为：25𝜋2．【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，𝐴�

�̂=𝐶𝐵̂，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出

OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵𝐴𝐶̂=𝐵𝐶̂，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC

＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD=12OC＝1，∴CD=√𝑂𝐶2−𝑂𝐷2=√22−12=√3，∴△OCD的面积=12×OD×CD=√32，同理可得，△OCE的面积=12×OE×CE

=√32，∴四边形DOEC的面积=√32+√32=√3．【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的

距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．√2B．√3C．√3+2√24D．√3+34【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以A

D为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=√22AD=√2，在Rt△AGF中，GF=12AF=√22，AG=√3GF=√62，在Rt△AGC中，CG＝AG=√6

2，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度数＝60°，又∵AB＝BC＝C

D，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=√2，∴AD平分NF，∴EF过O点，∴弧FD＝弧FA，∴△FAD为等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=√22AD=√2，

在Rt△AGF中，GF=12AF=√22，AG=√3GF=√62，在Rt△AGC中，CG＝AG=√62，∴S△ACF=12CF•AG=12×（√22+√62）×√62=√3+34．故选：D．【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】

（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则𝐷𝐸̂的度数为（）A．50°B．25°C．80°D．65°【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE＝50°，可得结论

．【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC＝25°，∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴𝐷𝐸̂的度数为50°，故选：A．【变式6-1】（2022秋•亭湖区

校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则

根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°

﹣62°﹣62°＝56°，∴𝐵𝐷̂的度数为56°．故选：C．【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为50°．【分析】连接BC，如图

，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧AB的度数．【解答】解：连接BC

，如图，∵弧AD＝100°，∴∠ACD＝50°，∵AC＝BD，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，即𝐴𝐵̂+𝐴𝐷̂=𝐴𝐷̂+𝐶𝐷̂，∴𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，∵AB＝ED，∴CD＝ED

，∴∠DEC＝∠DCE＝50°，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，∴∠ECB=12∠DEC＝25°，∴弧AB的度数为50°．故答案为：50°．【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠

两次后展开，图中的虚线表示折痕，则𝐵𝐶̂的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=12BO，AB∥DC，可得∠

EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故𝐵𝐶̂的度数是150°．故选：C．【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果𝐴𝐵̂=2𝐴𝐶̂，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝ACB．AB＝2ACC

．AB＞2ACD．AB＜2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则𝐴𝐵̂=2𝐴𝐷̂=2𝐵𝐷̂，由已知条件𝐴𝐵̂=2𝐴𝐶̂，得出𝐴𝐷̂=𝐵𝐷̂=𝐴𝐶̂，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD

＞AB，即可得到AB＜2AC．【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则𝐴𝐵̂=2𝐴𝐷̂=2𝐵𝐷̂，∵𝐴𝐵̂=2𝐴𝐶̂，∴𝐴𝐷̂=𝐵𝐷̂=𝐴𝐶̂，∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选

：D．【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答

】解：连接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果𝐴𝐵̂+𝐶𝐷

̂=𝐸𝐹̂，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EFC．AB+CD＞EFD．大小关系不确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝

EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，则弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半

圆上．（1）若𝐵𝐶̂=3𝐴𝐷̂，𝐶𝐷̂=2𝐴𝐷̂，求∠DAB和∠ABC的大小；（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小

；（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．【解答】解：（1）∵𝐵𝐶̂=3𝐴𝐷̂，𝐶𝐷̂=2𝐴𝐷̂∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD∵∠BOC+∠COD+∠

AOD＝180°∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°∴∠DAB=12∠BOD=12（∠BOC+∠COD）＝75°∠ABC=12∠AOC=12（∠AOD+∠COD）＝45°（2）①若𝐴𝐷̂＜𝐶𝐵̂，则∠DAB＞∠AB

C；②若𝐴𝐷̂=𝐶𝐵̂，则∠DAB＝∠ABC；③若𝐴𝐷̂＞𝐶𝐵̂，则∠DAB＜∠ABC【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，𝐵𝐸̂=𝐶𝐸̂，CD⊥AB于点D，交BE

于F，连接CB．求证：BC＝CF．【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．【解答】证明：连接AE∵𝐶𝐸̂=𝐵𝐸̂∴∠A＝∠FBC，∵AB为直径，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CF

B+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：𝐵𝐷̂=𝐵𝐸̂．（用两种不同的方法证明）【分析】方法一：由CE∥AB知�

�𝐶̂=𝐵𝐸̂，再由∠BOD＝∠AOC知𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，据此可得证；方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得∠BOD＝∠BOE，继而可得证．【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐸̂，∵∠

BOD＝∠AOC，∴𝐴𝐶̂=𝐵𝐷̂，∴𝐵𝐷̂=𝐵𝐸̂；方法二：连接OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB∥CE，∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，∴∠BOD＝∠BOE，∴𝐵𝐷̂=𝐵𝐸̂．【变式8-2】（2022秋•福清市期末

）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为𝐴𝐶̂的中点．【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明

：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，∴∠AOD＝∠COD，∴𝐴𝐷̂=𝐶𝐷̂，即D为𝐴𝐶̂的中点．【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB

与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）𝐴𝐷̂=𝐵𝐶̂；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD，推出𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，推出𝐴𝐷̂=𝐶𝐷̂．（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解

答】证明：（1）∵AB＝CD，∴𝐴𝐵̂=𝐶𝐷̂，∴𝐴𝐶̂+𝐵𝐶̂=𝐴𝐷̂+𝐴𝐶̂，∴𝐴𝐷̂=𝐵𝐶̂．（2）∵𝐴𝐷̂=𝐵𝐶̂，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（A

AS），∴AE＝EC．【题型9圆心角、弧、弦的的倍数关系】【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则𝐶𝐸̂与𝐵𝐸̂之间的等量关系是什么？请证

明你的结论．【分析】连接OE，证出OD=12CO=12OE，得出∠DEO＝30°，求出∠DOE＝60°，∠BOE＝30°，即可得出结论．【解答】解：𝐶𝐸̂=2𝐵𝐸̂，理由如下：连接OE，如图所示：∵CO⊥AB，∴∠BO

C＝90°，∵DE∥AB，∴DE⊥CO，∴∠ODE＝90°，∵D是CO的中点，∴OD=12CO=12OE，∴∠DEO＝30°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∴𝐶𝐸̂=2𝐵𝐸̂．【变式9-1】（20

22•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，𝐴𝐶̂恰好经过点O，则𝐵𝐶̂与𝐴𝐶̂的关系是（）A．𝐵𝐶̂=12𝐴𝐶̂B．𝐵𝐶̂=13𝐴𝐶̂C．𝐵𝐶̂=𝐴𝐶̂D．不能确定【分析】连接OC，

BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿

弦AC折叠，𝐴𝐶̂恰好经过点O，∴OD=12OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD=12BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴𝐵𝐶̂=

12𝐴𝐶̂，故选：A．【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（）A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作

OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．则弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；∴△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，∴OC=12AB，∴弦心距与弦长的比为1：2，故选：D．【变式9-3】（202

2•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且𝐴𝐶̂=3𝐵𝐶̂，则弦AC与弦BC的关系是（）A．AC＝3BCB．AC=√3BCC．AC＝（√2+1）BCD．√3AC＝BC【分析】如图，过点

O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=√2x，计算AC和BC的比可得结论．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠

ACB＝90°，∵𝐴𝐶̂=3𝐵𝐶̂，∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，设CD＝C

B＝x，则AD＝BD=√2x，∴𝐵𝐶𝐴𝐶=𝑥𝑥+√2𝑥=1√2+1，∴AC＝（√2+1）BC．故选：C．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com