【文档说明】湖南省长郡中学2021届高三下学期月考试卷（六）数学试题 含答案.docx，共(11)页，696.875 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2021届高三月考试卷（六）数学本试卷共8页。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知

集合24Mxx=，24xNx=，则MN=（）A.2xx−B.22xx−C.22xx−D.02xx★2.已知复数z满足(2)34zii+=−（i为虚数单位），则||z=（）A.3B.5C.

23D.5★3.已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A.33B.33C.3D.3★4.a是21()log3xfxx=−的零点，若00xa，则()0fx的值满足（）A.()0fx的符

号不确定B.()00fxC.()00fx=()00fx★5.在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD⊥，则AEEC=（）A.1225B.2425C.125D.456.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线与圆22(23)4xy+

−=相交于A，B两点，若2AB=，则C的离心率为（）A.233B.3C.2D.47.已知函数()sin()fxx=+某个周期的图象如图所示，A，B分别是()fx图象的最高点与最低点，C是()fx图象与x轴的交点，则tanBAC=（）A.12B.47C.

255D.765658.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局。双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这96枚

金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（）A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚C.甲72枚，乙24枚D.甲80枚，乙16枚二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.★9.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A.若m⊥，n⊥，则//mnB.若//m，//m，则//C.

若⊥，//m，则m⊥D.若//，m⊥，则m⊥★10.若a，b，c都是正数，且469ahc==，那么（）A.2abbcac+=B.abbcac+=C.221cab=+D.121cba=−★1

1.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取

到红球的概率为25D.从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为262712.关于函数()1lnfxxx=+，下列说法正确的是（）A.()1f是()fx的极小值B.函数()yfxx=−有且只有1个零点C.()fx在()1−，上

单调递减D.设()()gxxfx=，则1(e)egg三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()411xxx−−的展开式中3x的系数为______.14.已知tan24+=，则sin2=______.15.如图，某湖有一半径为100m的

半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC=，90BAC=.定义：四边形OACB及其内部区域为“直

接监测覆盖区域”；设AOB=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______.16.已知两条抛物线2:2Cyx=，2:2Eypx=（0p且1p），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点

为N.若过M的直线l与E相交于A，B两点，且ABN△的面积是ABO△面积的3倍，则p=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.★17.（本小题满分10分）已知等比数列

na的公比为(1)qq，前n项和为nS，若52472SSa−=，且342Sa+=.（1）求na；（2）设数列1nS的前n项和为nT，求证：13111422nnnT+−−.18.（本小题满分12分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设3sin(2co

s)bAaB=+。（1）求B；（2）若ABC△的面积等于3，求ABC△的周长的最小值.★19.（本小题满分12分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为22的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，22PAPC=

=.（1）求证：PBPD=；（2）点M，N分别在棱PA，PC，PMAM=，PNCN=，求直线PB与平面DMN所成角的正弘值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()222210xyCabab+=:的焦距为

22，且过点()21,.（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆226xy+=交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为1k，2k.试判断12kk是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由.21.（本小题满分12分）某地区在一次考试后，从全体考生中

随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图触点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩

下的数据作处理，得到一些统计的值：4214641iix==，4213108iiy==，421350350iiixy==，()422113814.5iixx=−=，()42215250iiyy=−=，其中ix，iy分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1i=，2…，42

，y与x的相关系数0.82r=.（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r.试判断0r与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多

少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布()2,N.以剔除后的物理成绩车为样本，用样本平均数y作为的估计值，用样本方差2s作为2的估计值.试求该地区5000名考生中，物理

成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望。附：①回归方程ˆˆˆyabx=+中，()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−.②若()2~,N，则()0.6826P−+=，(

22)0.9544P−+=.③12511.2★22.（本小题满分12分）已知函数()lnfxxxa=−+（1）讨论函数()fx零点的个数；（2）若函数()fx存在两个实点()1212,xxxx，证明：122

lnlnxx+0数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BBADDCBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ADADABDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5【解析】二项式()40122334423444

44411464xCCxCxCxCxxxxx−=−+−+=−+−+，()()42341111464xxxxxxxxx−−−=−−+−+展开式中含3x项的系数为()16115+−=.14.3515.()21

0000525000m+【解析】在OAB△中，AOB=，100OB=，200OA=，2222cosABOBOAOBOAAOB=+−，即10054cosAB=−，211sin22OABABCOACBSSSOAOBAB=+=+

四边形△△，25100sin2cos2OACBS=−−+四边形令tan2=，则()251005sin2OACBS=−+四边形“直接监测覆盖区域”面积的最大值为()210000525000m+.16.4【解析】设2,2bMb，则

直线OM的方程为：2yxb=，即2bxy=，代入22(0ypxp=且1p），可得y=pb，22pbx=，即2,2pbNbp.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由题52543411712SSa

aaqaaq−++==++=，解得2(1)qq=.……………3分又342Sa+=，即11728aa+=，12a=，2nna=.……………………………………………………5分（2）由（1）知122nnS+=−，11111222nnnS++=−

，又11111222222nnnnnS+==−+−，111122nnnS+，……………………………………………………7分当1n=时，112T=，2311422−=，111122−=，故11113111422T+−−成立.当2

n时，3411111131242222nnnT++++++=−，2311111122222nnnT++++=−，综上所述，13111422nnnT+−−.……………………………………………………10分18.【解

析】（1）因为3sin(2cos)bAaB=+由正弦定理得3sinsinsin(2cos)BAAB=+.显然sin0A，所以3sincos2BB−=，……………………………………………………3分所以2si

n26B−=，(0,)B所以62B−=，23B=.……………………………………………………6分（2）依题意334ac=，4ac=.……………………………………………………8分所以24acac+=

，当且仅当2ac==时取等号.又由余弦定理得222222cos312bacacBacacac=+−=++=，23b.当且仅当2ac==时取等号.所以ABC△的周长的最小值为423+.……………………………………………………12分19

.【解析】（1）证明：记ACBDO=，连接PO，底面ABCD为正方形，2OAOCOBOD====PAPC=，POAC⊥，……………………………………………………2分PAC底面ABCDAC=，PO平面PAC，PO⊥底面ABCDBD底面ABCD，P

OBD⊥，PBPD=.……………………………………………………5分（2）以O为坐标原点，射线,,OBOCOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP=可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2

,0),(2,0,0),PABCD−−(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)MNDMMN−=−=设平面DMN的法向量(,,)xyz=n，00DMMN==nn200xyzy−+==，今1x=，可得(1,0,2)=−n，(2,0,2)PB=−，…………

…………………………………………9分6310cos,10||||225PBPBPB===nnn；直线PB与平面DMN所成角的正弦值为31010.……………………………………………………12分20.【解析】（1）由题意，得22222222211cabcab

=+==−，解得2a=，2b=.椭圆C的方程为22142xy+=.……………………………………………………5分（2）12kk为定值12−.理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=；当2x=时，(2,2),(2,2)AB−，则122

21222kk=−=−;当2x=−时，,(2,2),(2,2)AB−−−，12221222kk=−=−；……………………………………6分②当直线l的斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,ykxmAxyBxy=+联立22142ykxmxy=+

+=，得()222124240kxkmxm+++−=由题意得：()()222216412240kmkm=−+−=，得2242mk=+则212122226,11kmmxxxxkk−+=−=++.……………………………………………………8分()()()221

212121212121212kxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+++++===22222222222262642611162642601mkmkkmmnkkkkkmkk−+−+−+−++====

−−−+−+综上，12kk为定值12−.……………………………………………………12分21.【解析】（1）0rr理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度。②44个数据点与其

回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小.③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大.④42个数据点更贴近其回归直线l.⑤44个数据点与其回归直线更离散.……………………………………………………2分（2）由题中数据可得：4211110.542iixx=

==，42117442iiyy===，所以()()4242114235035042110.5746916iiiiiixxyyxyxy==−−=−=−=又因为()422113814.5iixx=−=，所以()()()4214221ˆ0.501iiiiixxyy

bxx==−−=−……………………………………………………4分740.501110.518.64aybx=−=−.所以0.5018.64yx=+.…………………………………………………………6分将

125x=代入，得0.5012518.6462.518.6481y=+=+，所以估计B同学的物理成绩为81分.…………………………………………7分（3）42117442iiyy===，()422211152501

254242iisyy==−==，所以()74,125N，又因为12511.2，所以()()62.885.27411.27411.20.6826PP=−+=，……9分因为()5000,0.682

6ZB，……………………………………………………11分所以()50000.68263413EZ==，即该地区本次考试物理成绩位于区间()62.8,85.2的人数Z的数学期望为3413.……12分22.【解析】（1）()()1110xfx

xxx−=−=，…………………………………………2分∴当01x时，()0fx，当1x时，()0fx，∴()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，故()fx的最大值为()11fa=−，又当0x→时

，()0fx，当x→+时，()0fx，∴当10a−即1a时，()fx没有零点，当10a−=即1a=时，()fx有1个零点，当10a−即1a时，()fx有两个零点.………………………………………………5分（2）证明：

由（1）可知1201xx，由()()12fxfx=可知1122lnlnxxxx−=−，即2211lnxxxx=−，设()211xttx=，则()1ln1txt=−，故1ln1txt=−，要证：122lnln0xx+只需证：2121xx即证：3

11xt，即()()33ln11ttt−，即证()()33ln10ttt−−，…………………………7分令()()()33ln1gtttt=−−，则()()()()322ln3ln31gtttt=+−−，()()()()2223ln2ln2

23ln6ln61ttttttgttttt+−+=+−−=，令()()()22ln2ln221ptttttt=+−+，则()()22ln122ln242ttttpttttt+−+=+−+=，令()()2ln

121qttttt=+−+，则()141qttt=−+，………………………………9分∵()qt在()1,+上单调递减，故()()120qtq=−，∴()qt在()1,+上单调递减，故()()10qtq=，∴(

)0pt，∴()pt在()1,+上单调递减，故()()10ptp=，∴()0gt，故()gt在()1,+上单调递减，故()()10gtg=，∴()gt在()1,+上单调递减，故()()10gtg=，即()()33ln10ttt−−，∴()()

33ln11ttt−，∴122lnln0xx+.……………………………………………………………………12分