【文档说明】辽宁省六校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题析【精准解析】.doc，共(20)页，1.448 MB，由小赞的店铺上传

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数学一、单选题（共8道，每题5分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求）1.复数z满足()211zii−=+，则z=（）．A.12B.22C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】

由题意，复数()211zii−=+，得2211(1)11(1)2222iiiiziiii+++====−+−−−，∴22112||222z=−+=．故选B．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计

算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.不等式tan3x−的解集是（）A.{|,}32xkxkkZ−++B.{|,}32xkxkkZ−++C.{|22,}32xkxkkZ−+

+D.{|22,}32xkxkkZ−++【答案】B【解析】【分析】由函数tanyx=的图象求得x的范围.【详解】因为tan3x−，所以结合函数tanyx=的图象可得{|,}32xkxkkZ−++，故选：B.【点睛】本

题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础题.3.设tan,tan是方程2320xx−+=的两个根，则tan()+的值为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】A【解析】试题分析：由ta

nα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαt

anβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）=tantan1tantan+=−-3，故选A.考点：两角和与差的正切函数

公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．4.已知△ABC的外心是边BC的中点，AB=(k，1)，AC=(2，3)，则k的值为（）A.5B.-5C.32D.-32【答案】D【

解析】【分析】首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得；【详解】解：因为△ABC的外心是边BC的中点，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，因为(),1ABk=，()2,3AC=所以2130ACABk=+=，解得

32k=−故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.5.已知角的终边过点(4,3)(0)Pkkk−，则2sincos+的值是（）A.25B.25−C.25或25−D.随着k的取值不同其值不同【答案】B【解析】试题分析：

∵角的终边过点(4,3)(0)Pkkk−，∴2333sin,5525kkkk===−−24cos25kk−==4455kk−=−,∴3422sincos2()555+=−+=−.考点：任意角的三角函数值.6.下列函数中，周期为，且在(,)42上单调递减的是（）A.sincosy

xx=B.sincosyxx=−C.tan()4yx=+D.|cos2|yx=【答案】A【解析】逐一考查所给的函数：1sincossin22yxxx==，其周期22T==，在区间,42上单调递减；sincos2sin4yxxx=−=−，其周期221T=

=，不合题意；tan4yx=+，其周期1T==，在区间,42上单调递增，不合题意；cos2yx=的图象是将函数cosyx=的图象位于x轴下方的图象翻折到上方得到的图象，，其周期2T=，不合题意；本题选择A选项.7.棱台的上、下底面面积分别为4和9

，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．【详解】设棱台的高为h

与截得它的棱锥的高H，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SOOCSOOC=，所以2211122SSOOCSOOCS==上下，则249HhH=−即2419hH=−，可得21133hH=−=.故选：B．【点睛】本题

考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．8.一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B,10AB=海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5

2海里C.10海里D.102海里【答案】D【解析】【分析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论．【详解】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10

，∴AC=10.△AOC中,由正弦定理可得102sin135sin30OC=，∴52OC=，∴5210212v==，∴这艘船的速度是每小时102海里，故选D.【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定

要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9.以下命题（其中a，b表示

直线，表示平面），其中错误的是（）A.若//,,abb则//aB.若//,//,ab则//abC.若//,//,abb则//aD.若//a，a，b=，则//ab【答案】ABC【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知A、B、C是错误的，根据直

线与平面平行的性质定理可知D是正确的.【详解】对于A，若//,,abb则//a或a，故A错误；对于B，若//,//,ab则//ab或a与b异面或a与b相交；故B错误；对于C，若//,//,ab

b则//a或a，故C错误；对于D，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若//a，a，b=，则//ab”是正确的，故选：ABC.【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.1

0.已知ABC，则下列命题中，是真命题的有哪些？（1）若sin2sin2AB=，则ABC是等腰三角形；（2）若sincosAB=，则ABC是直角三角形；（3）若coscoscos0ABC，则ABC是钝角三角形；（4）若cos()cos()co

s()1ABBCCA−−−=，则ABC是等边三角形.【答案】（3）（4）为真命题【解析】【分析】（1）根据正弦函数性质及三角形内角的取值范围判断．（2）由诱导公式变形，结合正弦函数性质判断．（3）由余弦函数性质判断．（4）由余弦函数性质判断．

【详解】解：（1）若sin2sin2,,(0,)ABAB=，22AB=或22AB+=.AB=或2AB+=.ABC为等腰三角形或直角三角形，故（1）为假命题.（2）若sincossin2ABB==−

，,(0,)AB，2AB=−或2AB+−=，2AB+=或2AB−=，ABC为直角三角形或钝角三角形，故（2）为假命题.（3）若coscoscos0,,,(0,)ABCABC，,

,ABC中有一个为钝角，其余两个为锐角，ABC为钝角三角形，故（3）为真命题.（4）若cos()cos()cos()1ABBCCA−−−=，cos()(1,1],cos()(1,1],cos()(1,1

]ABBCCA−−−−−−，cos()cos()cos()1ABBCCA−=−=−=.又,,(0,)ABC，0ABBCCA−=−=−=，ABC==，即ABC为等边三角形，故（4）为真命题.【点睛】本题考

查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，解题是需结合三角形内角的取值范围和正弦函数、余弦函数的性质判断．11.ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足ABa=、ACab=+，则下列结论正确的是（）A.2b=B.ab⊥C.2ab=D.(2)abBC+

⊥【答案】AD【解析】【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BCb=，然后根据ABC是边长为2的等边三角形得出A正确以及B错误，再然后根据向量a、b之间的夹角为120计算出2ab=−，C错误，最后通过计算得出(2)0abBC

+=，D正确.【详解】因为ABa=，ACab=+，所以BCACABabab=−=+−=，因为ABC是边长为2的等边三角形，所以2bBC==，A正确，因为ABa=，BCb=，所以向量a、b之间的夹角为120，B错误，所以1cos1202222abab=

=−=−，C错误，因为()22(2)(2)22220abBCabbabb+=+=+=−+=，所以(2)abBC+⊥，D正确，故选：AD.【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a、b

之间的夹角为，则cosabab=，若0ab=，则ab⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.12.关于函数233()3sincos33sin12fxxxx=+−+，下列命题正确的是（）A.由()()121fx

fx==可得12xx−是π的整数倍B.()yfx=的表达式可改写成5()3cos216fxx=−+C.()yfx=的图像关于点3,14对称D.()yfx=的图像关于直线12x=−对称【答案】BD【解析】【分析】首

先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可．【详解】解：因为233()3sincos33sin12fxxxx=+−+所以333()sin2cos213sin21223fxxxx=−+=

−+解：A．由()3sin2113fxx=−+=得sin203x−=，则函数的最小正周期T=，则12xx−是22T=的整数倍，故A错误，B．55()3sin213cos23c

os213cos2132366fxxxxx=−+=−−=−+=−+，故B正确，C．当34x=时，3371sin2sinsin04

32362−=−==−，即函数关于3,14不对称，故C错误，D．当12x=−时，sin2sinsin1123632−−=−−=−=−，是最小值，则()yfx=的图象关于直线12x

=−对称，正确，故正确的是BD，故选：BD．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.已知5ab==，向量a与b的夹角为23，则2a

b+=___________.【答案】53【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，计算向量a，b的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算代入数据，即可得到所求值．【详解】解：||||5ab==，向量a与b的

夹角为23，则225cos32abab==−，所以()222222522444554532abababab+=+=++=++−=故答案为：53【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．14.已知ABC中，26ac==

，，45A=，则b=_________.【答案】31【解析】【分析】已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理求解即可.【详解】解：2222cosabcbcA=+−，所以24626cos45,31bbb=+−=，故答案为：31.【点睛】已知两边和

其中一边的对角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合题意；基础题.15.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________.【答案】(1).3

(2).13【解析】【分析】先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决.【详解】由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体ABCD−,棱长都为2，外接球球心为O，

E为BCD的中心，设外接球半径为R，则6,3BEOAOBR===,在RtABE△中，22223233AEABBE=−=−=,在RtBOE△中，()222OBBEAER=+−,即2222333RR=+−，解得32R=,

所以此球的表面积为243R=，该四面体的体积为11.33BCDSAE=故答案为：3；13【点睛】本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题.16.函数()2sin26fxxm=

−−，若()0fx在0,2x上恒成立，则m的取值范围是______;若()fx在0,2x上有两个不同的解，则m的取值范围是_________.【答案】(1).2m(2).12m【

解析】【分析】将()0fx化为2sin26mx−，求出当0,2x时，2sin26x−的最大值可得m的取值范围，将()fx在0,2x上有两个不同的解，化为函数()yfx=，0,2x与ym=的图象有两个交点，再

根据函数()yfx=，0,2x的图象可得答案.【详解】因为()0fx可化为2sin26mx−，当0,2x时，52,666x−−，2sin21,26x

−−，所以2sin26x−的最大值为2，所以2m.因为()fx在0,2x上有两个不同的解，等价于函数()yfx=，0,2x与ym=的图象有两个交点，函数()

yfx=，0,2x的图象如图：由图可知，12m.故答案为：2m；12m.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了正弦型函数图象的应用，考查了由函数图象的交点个数求参数范围，属于基础题.四、解答题（写出必要的解题步骤，文字说明等）17.

已知22ab==，且向量a在向量b的方向上的投影为1−，求：（1）a与b的夹角;（2）()2abb−.【答案】（1）23；（2）3−.【解析】【分析】（1）由题知2,1,cos1aba===−，进而得出

cos，即可求得.（2）根据数量积的定义cosabab=即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，2,1,cos1aba===−，所以1cos2=−.又因为0,，所以23=.（2）()2222122co

s22121332abbabbabb−=−=−=−−=−.【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.18.在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b

、c，且3cos2sin3cosbCaBcB=−(1)求角B；(2)若sin3sinAC=，求bc.【答案】(1)60；(2)7.【解析】【分析】(1)本题首先可根据正弦定理边角互化得出3sincos2sinsin-3sincosBCABCB=，然后通过三角恒等变换化简

得出3sin2B=，最后根据ABC为锐角三角形即可得出结果；(2)首先可根据正弦定理边角互化得出3ac=，然后根据余弦定理得出222122acbac+−=，带入3ac=，通过化简即可得出结果.【详解】(1)因为3cos2sin3cosbCaB

cB=−，所以由正弦定理可得3sincos2sinsin-3sincosBCABCB=，即3sincos3sincos2sinsinBCCBAB+=，3sin()2sinsinBCAB+=，3sin2sinsinAAB=，因为在ABC中，sin0A，所以3sin2B

=因为ABC为锐角三角形，所以B60=，(2)因为sin3sinAC=，所以由正弦定理可得3ac=，因为B60=，所以由余弦定理可知2221coscos6022acbBac+−===，代入3ac=，得22219223ccbcc+−=，解得7bc=.【点睛】本题考

查正弦定理边角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.19.已知10,sincos25xxx−+=（1）求sincosxx−的值;（2）求2sin22sin1tanxxx+−的值.【答案】（1）75−；（2

）24175−.【解析】【分析】（1）先求出2sincosxx的值，再求出()2sincosxx−后可得sincosxx−的值；（2）先求出34sin,cos55xx=−=，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值.【详解】（1）对于1sincos5

xx+=，两边平方得221sincos+2sincos25xxxx+=，所以24sin225x=−，∴249(sincos)1sin225xxx−=−=，∵02x−，cos0,sin0xx，sincos0xx−，7sincos5xx−=−；（2）联立1sincos57sincos5

xxxx+=−=−，解得3sin54cos5xx=−=，∴原式＝23432()2()2455531755145−+−=−−−.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于

中档题题.20.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，作棱锥PABCD−，其中点P在侧棱1DD所在直线上，4PD=，3DC=，E是PC的中点.（1）证明：//PA平面BDE;（2）求PAD△以PA为轴旋转所

围成的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）485.【解析】【分析】(1)本题首先可以连接AC交BD于O并连接EO，然后根据OE是PCAV的中位线得出//OEPA，即可根据线面平行的判定证得//PA平面BDE；(2)本题首先可以过D作

PA的垂线并令垂足为H，然后根据题意得出几何体的形状，再然后求出PA与DH的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.【详解】(1)如图，连接AC交BD于O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中

点，因为E为PC的中点，所以OE是PCAV的中位线，//OEPA，因为OE包含于平面BDE，PA不包含于平面BDE，所以//PA平面BDE，(2)如图，过D作PA的垂线，垂足为H，则PAD△以PA为轴旋转所围成的几何体是以DH

为半径并且分别以PH、AH为高的两个圆锥的旋转体，因为侧棱PD⊥底面ABCD，AD包含于底面ABCD，所以PDAD⊥，因为4PD=，3DADC==，所以5PA=，因为PDADPADH??，所以125DH=，所以PAD△以PA为轴旋转所围成的几何体体积为2148ππ35VDHPA=鬃

=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及旋转体体积的计算，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则直线与平面平行，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.21.ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且1co

s3A=．(1)求2sincos22BCA++的值；(2)若3a=，求ABC面积的最大值．【答案】（1）19−；（2）324【解析】【分析】(1)将2sincos22BCA++化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc，代入面积公式得

到答案.【详解】()2221sincos2sin2cos122BCAAA+−+=+−2221coscos2cos12cos122AAAA+=+−=+−1111321299+=+−=−；(2)由1cos3A=，可得122sin19

3A=−=，由余弦定理可得222222242cos2333abcbcAbcbcbcbcbc=+−=+−−=，即有23944bca=≤，当且仅当32bc==，取得等号．则ABC面积为1192232sin22434bcA=．即有32bc==时，ABC的

面积取得最大值324．【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.22.已知函数()()()sin0,0fxx=+的图像相邻对称轴之间的距离是2，若将()fx的图像向右移6个单位，所得函数()gx为奇

函数.(1)求()fx的解析式；(2)若函数()()35hxfx=-的零点为0x，求0cos26x−；(3)若对任意0,3x，()()20fxfxa−−=有解，求a的取值范围.【答案】(1)()sin23fxx=+；(2)

35；(3)1,04−.【解析】【分析】(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是2得出2=，然后通过图像的平移即可得出()πsin2φ3gxx骣琪=-+琪桫，最后根据函数()gx为奇

函数即可求出的值；(2)本题首先可通过题意得出0π3sin235x骣琪+=琪桫，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；(3)本题可令()πsin23tfxx骣琪==+琪桫，然后根据0,3x

得出01t，最后通过求出2tt−的取值范围即可得出a的取值范围.【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是2，所以22T=，T=，2T==，解得2=，()()sin2fxx=+，将()fx的图像向右移6个单位，可得函数()ππsin2φsin2φ63gxxx轾骣骣犏琪琪=

-+=-+琪琪犏桫桫臌，因为函数()gx为奇函数，所以()π0sinφ03g骣琪=-+=琪桫，()3kkZ−+=，因为0，所以3=，()sin23fxx=+，(2)因

为函数()()35hxfx=-的零点为0x，所以()()0003π3sin20535hxfxx骣琪=-=+-=琪桫，0π3sin235x骣琪+=琪桫，因为000cos2cos2sin26233xxx

−=−+=+，所以03cos265x−=，(3)令()πsin23tfxx骣琪==+琪桫，()()20fxfxa−−=有解即2tta−=有解，因为0,3x，所以0sin213x+，0

1t，因为221124ttt−=−−，所以当01t时，2104tt−−，因为2tta−=有解，所以a的取值范围为1,04−.【点睛】本题考查三角函数的对称性、奇函数的相关性质、三角函数的

诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数()fx定义域包括0时，有()00f=，考查公式cossin2xx−=，考查推理能力，是中档题.