【文档说明】【精准解析】湖北省襄阳市第五中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题.doc，共(20)页，1.884 MB，由小赞的店铺上传

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襄阳五中高一四月月考数学试题一、选择题1.已知集合()2log1,0Ayyxx==+，0.5,1xByyx==，则AB=（）A.()0.5,+B.)0,+C.()0,0.5D.)0,0.

5【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,AB，再求并集即可.【详解】0x，11x+，2log(1)0x+，故{|0}Ayy=1111,0,|0222xxByy=1{|0}0{|0}2AByyyyyy=

=故选B【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.2.已知2tab=+，21sab=++，则t和s的大小关系为A.tsB.tsC.tsD.ts【答案】D【解析】试题分析：化简s﹣t的结果到完全平方

的形式（b﹣1）2，判断符号后得出结论．解：s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有s≥t，故选D．点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论

．3.已知正实数a，b满足2ab+=，则12ab+的最小值（）A.32B.3C.3222+D.322+【答案】C【解析】【分析】化简1212112112()2()()(3)222baababababab+=+=++=++，再利用基本不等式求解.【详解】1212112112121(

)2()()(3)(32)(322)22222babaabababababab+=+=++=+++=+当且仅当2(21),2(22)ab=−=−时取等.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对

这些知识的理解掌握水平.4.若1cos()43+=，(0,)2，则sin的值为（）A.718B.23C.426−D.426+【答案】C【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式sin()4+的值，再利用两

角差的正弦函数公式即可求解sin[()]44+−的值.详解：因为1cos(),0432+=，则042+，且222sin()1cos()443+=−+=，则2221242sin[()]sin()coscos()sin44444432326−+−=

+−+=−=，故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图，在圆C中，C是圆心，点,AB

在圆上，ABACuuuruuur的值（）A.只与圆C的半径有关B.只与弦AB的长度有关C.既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义去求，AB与AC的夹角用AB和AC去表示，即得结论.【详解】设AB与

AC的夹角为，在ABC中，12cosABAC=.2112cos||2ABABACABACABACABAC===，ABAC的值只与弦AB的长度有关，故选：B.【点睛】本题主要考查向量的数列积，结合圆的性质，属于基础

题.6.设,mn是不同的直线，,,是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥，n⊥，则//mn；②若m=，n=，//mn则//；③若//，//，m⊥，则m⊥；④若⊥，⊥，则//.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.

③④D.①④【答案】A【解析】【分析】根据线面位置关系的性质或举出反例，进行判断即可.【详解】由垂直于同一平面的两直线平行可得，若m⊥，n⊥，则//mn，故①正确；设三棱柱的三个侧面分别为,,，其中

两条侧棱为,mn，显然//mn，但,不平行，故②错误；////，当m⊥时，m⊥，故③正确；当三个平面,,两两垂直时，显然当⊥，⊥时，//不成立，故④错误；故选A【点睛】本题主要考查了判断线与面，线与线，面与面的位置关系，属于中档题.7.一条线段

夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）A.6B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意作出AB与两个半平面的棱所成的

角为ABD，利用边角关系，求出ABD的正弦值，得出结论．【详解】如图，AB的两个端点A，B，过A点作'AA⊥，交于'A，连接BA，则'ABA为线段AB与所成角，且'30ABA=，同理，过B作'BB⊥，交于B'，则'BAB为'BB与所成角，且'30BAB=,过B

作''BDAB，且''BDAB=，则ABD为所求，''ABBD为矩形，设2AB=，在直角'ABB中，1'3012BBABsinAB===，在直角'ABA中，1'3012AAABsinAB===，3'303

2ABABcosAB===，所以22''2BDABAD=−=，同理2AD=，所以22sinABD=，故45ABD=故选：B．【点睛】本题考查直线和平面所成的角，异面直线所成的角，属于中档题．8.在ABC中，80,100

,45abA===，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【答案】B【解析】由题意知，80a=，100b=，45A=，∴2sin100502802bA==，如图：∵s

inbAab，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106m（如图所示），则旗杆的高度为（）A.10mB.30mC.103mD

.203m【答案】B【解析】如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°−60°−15°=105°，∴∠BAC=180°−45°−105°=30°，由正弦定理知sinsinBCACBACABC=，∴1062203122BCACsinABCsinBAC==

=(m)在Rt△ACD中,332033022ADAC===(m)即旗杆的高度为30m.本题选择B选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示

意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且()()222coscosabcaBbAabc+−+=，若

ABC的外接圆半径为233，则ABC的周长的取值范围为（）A.(2,4B.(4,6C.()4,6D.(2,6【答案】B【解析】【分析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C，再根据正弦定理得c，最后根据余弦定理求+ab最大值，由三角形三边关系确定

+ab范围，即得ABC的周长的取值范围.【详解】因为()()222coscosabcaBbAabc+−+=，所以()2coscosabcosCsinABsinBAabsinC+=，()2sincosCABsi

nC+=，21cosC=，3C=,23c2233sin==因此()()()()22222222223344ababcababcosCababababab++=+−=+−=+−+−=.即()22244abab++，,因为2abc+=,所以(

4,6abc++,选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.11.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P

为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥PQEF−的体积D.△QEF的面积【

答案】B【解析】【详解】试题分析：将平面QEF延展到平面11CDAB如下图所示，由图可知，P到平面11CDAB的距离为定值.由于四边形11CDAB为矩形，故三角形QEF的面积为定值，进而三棱锥PQEF−的体积为定值.

故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.12.若定义在R上函数(1)=−yfx的图象关于其图象上一点()1,0对称，()fx对任意的实数x都有(4)()fxfx+=−，且(3)0f=，则函数()y

fx=在区间[0,2019]上的零点个数最少有()A.1010个B.1514个C.1515个D.2020个【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数()fx关于(0,0)对称，且函数的周期为8，然后再求出函数在一个周期内的零点个

数为6，结合[0x，2019]进而可得出答案．【详解】解：因为函数(1)=−yfx的图象关于图象上点(1,0)对称，所以()yfx=的图象关于(0,0)对称，故()fx为奇函数，又(4)()fxfx+=−，所以(8)[(4)4](4)()fxfxfxfx+=++=−+=，即()fx时周期为8的奇

函数，因为(0)0f=，()30f=，(3)0f−=，所以(34)(3)0ff−+=−−=，即()10f=，()4(0)0ff=−=，则()40f=，()()150ff=−=，则()50f=，()(34)40ff

+=−=，则()70f=，()8(0)0ff==，故在)0,8中0，1，3，4，5，7为函数的零点，所以在0,2019中共有253个周期余3，(2016)(0)0ff==，()(2017)10ff

==，()(2019)30ff==，故函数在区间0,2019上零点个数最少有252631515+=，故选：C．【点睛】本题考查了利用函数的对称性和周期性求函数的零点个数，属于中档题．二、填空题13.已知()2,3a=−，()3,4b=−，则ab−在ab+上的投影的数量为________.【答

案】62−【解析】【分析】根据向量的加法、减法的坐标运算，结合一个向量在另一个向量的投影，可得结果.【详解】()2,3a=−，()3,4b=−，()5,7ab=−−，()1,1ab=−+，()()()()517112abab=−+

−=−+−，2ab+=，ab−在ab+上的投影的数量为()()12622ababab−=−−=++.故答案为：62−.【点睛】本题主要考查一个向量在另一个向量的投影，属基础题.14.4cos50tan40−=______．【答案】3【解析】【详解

】4sin40cos40sin404cos50tan40cos40−−=2cos10sin30cos10sin10cos30cos40−−=,313cos10sin1022cos40−=3cos403cos40==,故答

案为3.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.15.在ABC内角,,ABC的对边,,abc满足22223abc+=，则cosC的最小值为______.【答案】23【解析】【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可.【详解】根据题意，由

22223abc+=得：22223abc+=由余弦定理得222222222222223cos22663abababcababCabababab++−+−+====当且仅当222ab=，即2ba=时取等号故答案为23【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等

式的应用，属于中档题.16.如图，在四棱锥PABCD−中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且22AB=，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当ANMN＋取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外

接球的表面积为____________．【答案】643.【解析】【分析】根据题意有=BANMNNMNBM＋＋,动点M恰为PD的中点即4BPBD==,及可求出23PO=，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=BANMN

NMNBM＋＋当BMPD⊥时BM最小，因为M为PD的中点，故而为PD的中点，即=4BPBD=，2BO=23PO=，设外接球的半径为r，则22(23)4rr=−+．解得433r=.故外接球的表面积为26443r=.【点睛】本题考查椎体的外接

球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．三、解答题17.设集合13Axxx=+−，413Bxx=+.（1）求集合AB；（2）若不等式220xaxb++的解集为B，求实数a、b的值.【

答案】（1）)1,1−；（2）4a=，6b=−.【解析】【分析】（1）分0x、01x、1x三种情况解不等式13xx+−，可得出集合A，解不等式413x+，可得出集合B，再利用交集的定义可得出集合

AB；（2）由（1）得知()3,1B=−，由题意知，关于x的方程220xaxb++=的两根为3−和1，然后利用韦达定理可求出a、b的值.【详解】（1）先解不等式13xx+−.①当0x时，由13xx+−得1213xxx−+−=−+，解得1x−，此时10x−≤≤；②当01x时，

由13xx+−得113xx+−=，成立，此时01x；③当1x时，由13xx+−得1213xxx+−=−，解得2x，此时12x.所以，不等式13xx+−的解集为1,2A=−.解不等式413x+，即411033xxx−−=

++，解得31x−，()3,1B=−.因此，)1,1=−AB；（2）不等式220xaxb++的解集为B，3−、1是方程220xaxb++=的两实根.根据韦达定理得312312ab−=−+=−，解得4a=，6b=−.【点睛】本题本题考查交集的运算，同时也考查了绝对值不

等式、分式不等式的解法以及二次方程根与系数的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.18.已知向量(2sin,1),(2cos,1)ab==−，其中0,2.（1）若ab⊥，求角的大小；（

2）若2abb−=，求tan的值.【答案】（1）12=或512=；（2）tan3=.【解析】【分析】（1）由ab⊥，得0ab=，运算可得1sin22=，再结合0,2，求即可；（2）由向量模的运算可得22sin2sincos3cos0

−−=，再等式两边同时除以2cos，运算即可得解.【详解】解：（1）由ab⊥，得0ab=，即4cossin10−=，即1sin22=，因为0,2，所以2(0,)，所以26=或5

26=，解得12=或512=．（2）由题得(2sin2cos,2)ab−=−，由||2||abb−=，得22()4abb−=，即224(sincos)416cos4−+=+，整理得22sin2sincos3cos0

−−=，因为0,2，所以cos0，等式两边同时除以2cos得，2tan2tan30−−=，即(tan3)(tan1)0−+=，解得tan3=或tan1=−，因为0,2，所以tan3=，故

tan3=．【点睛】本题考查了向量的数量积运算及三角函数中知值求角问题，重点考查了三角函数化简求值问题，属中档题.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3

，求a.【答案】(1)A＝23(2)a＝6【解析】【分析】（1）由正弦定理将边、角关系转化成角的关系，再运算三角形的内角和定理和两角和的正弦公式转化()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，可求得角A;（2）在ABD△中运用正弦定理，求得ABD，再由角平分线

得ABC，再由三角形内角和定理得到ACB，再在ABC中运用余弦定理，可求得a.【详解】(1)2cos2aCcb−=，由正弦定理得2sincossin2sinACCB−=，所以2sincossin2si

n()2sincos2cossinACCACACAC−=+=+，1sin2cossin,sin0,cos2CACCA−==−，又2(0,),3AA=；(2)在ABD△中，由正弦定理得，sinsinABB

DADBA=,∴sinADB＝sin22ABABD=,又(0,)ADB，A=23，∴ADB=∠4，12ABDAADB=−−=,因为BD平分角B，ABC\?6，ACB=∠6，所以ACAB==2，在ABC中，由余弦定理，22222

22cos(2)(2)222cos63BCABACABACA=+−=+−=，6a=.故得解.【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理解三角形，关键在于分析已知条件进行边、角关系统一成边的关系或角的关系和选择合适的定理求解，属于中档题.20.如图，在三棱

柱111ABCABC−中，底面ABC为正三角形，1AA⊥底面ABC，13AAAB=，点E在线段1CC上，平面1AEB⊥平面11AABB．（1）请指出点E的位置，并给出证明；（2）若1AB=，求1BE与平面AB

E夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）31313.【解析】【分析】（1）取AB中点为F，1AB的中点为G，连接CF，FG，EG．四边形FGEC为平行四边形,即可说明CF⊥平面11AABB，即EG⊥平面1

1AABB，即平面1AEB⊥平面11AABB.（2）利用等体积法11BABEEABBVV−−=，即可求出点1B到平面ABE的距离的h，再代入公式1sinhBE=，即可求出答案．【详解】（1）点E为线段1CC的中点．证明如下：取AB中点为F

，1AB的中点为G，连接CF，FG，EG．所以//FGCE，FGCE=，所以四边形FGEC为平行四边形．所以//CFEG．因为CACB=，AFBF=，所以CFAB⊥．又因为1AA⊥平面ABC，CF平面ABC，所

以1AACF⊥．又1AAABA=，所以CF⊥平面11AABB．所以EG⊥平面11AABB，而EG平面1AEB，所以平面1AEB⊥平面11AABB.（2）由1AB=，得13AA=．由（1）可知，点E到平面1ABB的距离为32EGCF==．而1ABB△的

面积1131322ABBS==132AEBE==，等腰ABE△底边AB上的高为131344−=记点1B到平面ABE的距离为h，由11133111332232BABEEABBVVh−−===，得32h=，即点1B到平面ABE的距离为32.又113=2BEAE

BE==1BE与平而ABE夹角的正弦值1sin=hBE=31313.【点睛】本题考查面面垂直的判断，线面角的正弦值，属于中档题．21.如图（1）,EF分别是,ACAB的中点，90,30ACBCAB==，沿着EF将AEF折起，记二面角AEFC−−的度数为.（1）当90=时，即得

到图（2）求二面角ABFC−−的余弦值；（2）如图（3）中，若ABCF⊥，求cos的值.【答案】（1）55；（2）13.【解析】试题分析：（1）过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，可证AHE为二面角ABFC−−的平面角，进而可得二面角ABFC−−的余弦值；（2）过点A向CE作

垂线垂足为G，可得AG⊥平面BCEF，AEG是所求，根据平面几何知识和三垂线定理可得.试题解析：（1）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EFEC⊥，∴AE⊥平面CEFB过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则AHE为二面角ABFC−−的平面角设2,4,23BCaE

FaABaACa====，3AEa=，32EHa=22352cos5334aEHAHEAHaa===+.（2）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果ABCF⊥，则根据三垂线定理有GBCF⊥，因BCF为

正三角形，故023tan303CGBCa==，则33GEa=，而3AEa=故1cos3GEAE==.考点：1、面面垂直的性质定理；2、二面角的求法.22.已知函数()24sinsin42xfxx=++()()cossincossin1xxxx+−−.（

1）求函数()fx的最小正周期；（2）常数0，若函数()yfx=在区间2,23−上是增函数，求的取值范围；（3）若函数()()()12122gxfxafxafxa=+−−−−在,42−的最大值为2，求实数a的值.【答案】(1)2

T=.(2)30,4.(3)2a=−或6【解析】分析：(1)根据倍角公式中的降幂公式，合并化简，得到）()2sinfxx=.可求得最小正周期．（2）根据正弦函数的单调区间，求得∴()fx的递增区间为22,,22kkkZ

−+再判断在区间2,23−上是增函数条件下的取值情况即可．（3）化简()gx的表达式得到()1sin2sincos12gxxaxaxa=+−−−.利用换元法令sincosxxt−=，得到关

于t的二次函数表达式．对a分类讨论，判断在a取不同范围值时y的最值，从而求得a的值．详解：（1）()2221cossincossin12fxxxxx=−++−−()222sinsin12sin12sinxxxx=++−−=.∴2T=.（2）()2s

infxx=.由2222kxk−+得22,22kkxkZ−+，∴()fx的递增区间为22,,22kkkZ−+∵()fx在2,23−上是增函数，∴当0k=时，

有2,,2322−−.∴0,,222,23−−解得304∴的取值范围是30,4.（3）()1sin2si

ncos12gxxaxaxa=+−−−.令sincosxxt−=，则2sin21xt=−.∴22111122ytatatata=−+−−=−+−221242aata=−−+−.∵sincos

2sin4txxx=−=−，由42x−得244x−−，∴21t−.①当22a−，即22a−时，在2t=−处max1222ya=−+−.由12222a−+−=，解得()88221227221a=−=−−−+（舍去).②当21

2a−，即222a−时，2max142aya=−，由21242aa−=得2280aa−−=解得2a=−或4a=（舍去）.③当12a，即2a时，在1t=处max12ay=−，由122a−=得6a=.综上，2a=−或6a=为所求.点睛：

本题考查了三角函数的综合应用，根据表达式求周期、单调性、最值等，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题．