【文档说明】安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题答案.pdf，共(13)页，813.232 KB，由小赞的店铺上传

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第1页，共13页2022/2023学年度第二学期第一次阶段练习高一年级数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a，b，则“||||ab”是“ab

”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B解：||||abab，||||ab推不出ab，“||||ab”是“ab

”的必要不充分条件，故选：.B2.已知||3,||1,aba与b的夹角为120，则ab在a上的投影向量为()A.32bB.12bC.16aD.56a【答案】D解：已知||3,||1,aba与b的

夹角为120，因为ab在a上的投影为21931()()52||||32abaaabaa，所以ab在a上的投影向量为55.2||6aaa故选.D3.在等腰三角形ABC中，5ABAC，2BC，若P为边

BC上的动点，则()APABAC()A.2B.4C.8D.0【答案】C解：设AD是等腰三角形ABC的高，则512AD，故22()()22228.APABACADDP

ADADDPADAD故答案选：.C第2页，共13页4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设ABa，ADb，则BN

()A.2133abB.2133abC.1233abD.1233ab【答案】A解：依题意在平行四边形ABCD中，//AMCD，又M是AB的中点，DM与AC交于点N，所以ANM∽CND

，所以12AMANCDCN，所以13ANAC，所以111212().333333BNANABACABABA答案BADABba

故本题选.A5.已知在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC，则cosB等于()A.1116B.79C.2116D.2916【答案】A解：由正弦定理知，sinA：sinB：sin4C：3：2，可化为

a：b：4c：3：2，可设4ax，3bx，2cx，(0)x，由余弦定理得，222222164911cos224216acbxxxBacxx，故选.A6.已知向量(,2)a，(2,24)b，mab，则|

|m取最小值时，实数的值为()A.65B.1625C.3625D.285【答案】B第3页，共13页解：由题可知(3,44)mab，22221614414412||9(44)25321625()2525255m，当||m取最小值125时，

16.257.已知O，N，P在ABC所在平面内，且||||||,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N

，P依次是ABC的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心【答案】C解：因为||||||OAOBOC，所以O到定点,

,ABC的距离相等，所以O为ABC的外心；由0NANBNC，则NANBNC，取AB的中点E，如图所示：则2NANBNECN

，所以，所以N是ABC的重心；由PAPBPBPCPCPA，得()0PAPCPB，即0CAPB，所以ACPB，同理ABPC

，所以点P为ABC的垂心，故选.C8.已知非零向量AB与AC满足()0||||ABACBCABAC且12||||ABACABAC

，则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A解：因为非零向量AB与AC满足()0||||ABACBCABAC，所以A的平分线与BC垂直，则ABC为

等腰三角形，且ABAC，第4页，共13页||||cosABACABACA，且12||||ABACABAC，1cos,23AA，所以ABC为等边三角形.故选.A二、多选题

（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设两个非零向量1e与2e不共线，如果12kee和12eke共线，那么k的可能取值是()A.1B.1C.3D.3【答案】AB解：两个非零向量1e

与2e不共线，120eke，12kee与12eke共线，1212()keeteke，则12()(1)0ktetke，非零向量1e

、2e不共线，0kt且10kt，解得1.k故选.AB10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西6

0方向，则下列结论正确的是()A.60CADB.A、D之间的距离为152海里C.A、B两处岛屿间的距离为156海里D.B、D之间的距离为303海里【答案】BC解：由题意可知：30CD，1590105,30ADCACD

，45,90BDCBCD，所以45CAD，在ACD中，由正弦定理可得：30sin30sin45AD，解得152(AD海里)，在RtDCB中，因为45,90BDCBCD

，所以2302(BDCD海里)，第5页，共13页在ABD中，由余弦定理得：2212cos450180021523022ABADB答案DB答案DB156(海里).故选.BC11.我

国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大

会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是()A.B.ACEGC.D.3455AFABAD【答案】ACD解：可

设ABE中，1BE，则2AE，5AB，2cos5BAE，则，即，故A正确；，故C正确；11112424ABADCGABADAE，可得4255AEABAD，则12AF

AEEFAEHGAEHD，故D正确；第6页，共13页ACABAD，，则，故0ACEG，

故B错误.故选.ACD12.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列命题中正确的是()A.若222sinAsinBsinC，则ABC一定是钝角三角形B.若coscosaBbAc，则ABC一定是直角

三角形C.若222Baccosc，则ABC一定是锐角三角形D.若tantantan0ABC，则ABC一定是锐角三角形【答案】ABD解：对于A，因为222sinAsinBsinC，所以由正弦定理得222abc，所以2220abc，所以由余弦定理得222co

s02abcCab，因为，所以C为钝角，所以ABC一定是钝角三角形，所以A正确;对于B，因为coscosaBbAc，所以由余弦定理得22222222acbbcaabcacbc，所以22222222acbbcac

，所以222abc，所以ABC一定是直角三角形，所以B正确;对于C，因为222Baccosc，所以1cos12222Bacacc，所以sincossinaABcC，所以sinsincossin()sincoscossinACBBCBCBC，所以sin

cos0BC，因为sin0B，所以cos0C，因为，所以2C，所以ABC一定是直角三角形，所以C错误；对于D，因为，所以tantantantantantanABCABC，第7页，共13

页因为tantantan0ABC，所以tantantantantantan0ABCABC，因为ABC中不可能有两个钝角，所以tan0,tan0,tan0ABC，所以,,ABC都为锐角

，所以ABC一定是锐角三角形，所以D正确.故选：.ABD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cossinbCcBa，4b，则ABC的外接圆的半径为.【答案】22解：在ABC中，cossinb

CcBa，由正弦定理得sincossinsinsinBCCBA，则sincossinsinsin()BCCBBC，即sincossinsinsin()BCCBBC，故sincossinsinsincoscossi

nBCCBBCBC，sinsincossinCBBC，(0,)C，sin0C，sincosBB，tan1B，(0,)B，4B，设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2

42sinbRB，22.R故答案为22.14.1e，2e是夹角为60的两个单位向量，122aee，1232bee，则a与b的夹角为.【答案】120解

：由1e，2e是夹角为60的两个单位向量，可得12121||||cos602eeee，又221212||444127aeeee，221212||94129467beeee

，221212121217(2)(32)626222abeeeeeeee，则a与b的夹角余弦为：712cos.2||||77abab

可得120.故答案为：120.第8页，共13页15.如图，在直角梯形ABCD中，//ABCD，90ADC，3AB，2AD，E为BC中点，若3ABAC，则AEBC

.【答案】3解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，3AB，2AD，E为BC中点，(0,0)A，(3,0)B，(0,2)D，设(,2)Cx，(3,0)AB，(,2)ACx，3ABAC

，33x，解得1x，(1,2)C，E为BC中点，3102(,)22E，即为2(2,)2，2(2,)2AE，(2,2)BC，22(2)2413.2AEBC故答案为：

3.16.在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点．则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使(1).OPtOQtOR试利用该定理解答下列问题：如图，在AB

C中，E为边AB的中点，点F在边AC上，且2CFFA，BF交CE于点M，设AMxAEyAF，则xy.第9页，共13页【答案】75解：如图，E，M，C三点共线，存在实数，使(1)AMAEAC，2CFFA，3ACAF

，3(1)AMAEAF，又AMxAEyAF；3(1)xy，3(1)xy①；同样，B，M，F三点共线，所以存在实数

，使(1)AMABuAF，E为AB边的中点，2ABAE，2(1)AMAEAF，又AMxAEyAF；21xy，112yx②；联立①②可得：45x

，35y，7.5xy故答案为7.5四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知(1,2)a，(3,1).b(1)求|2|ab(2)设a与b的夹角为，求cos

的值;(3)若向量akb与-akb互相垂直，求k的值.解：(1)2(1,2)2(3,1)(16,22)(7,0)ab；故22|2|707.ab...................................（

3分）221(3)212(2)cos10||||1(3)21abab；...................................（6分）(3)因为向量akb与a

kb互相垂直，所以()()0akbakb，即2220akb，因为25a，210b，所以225100.2kk.........................

..........（10分）第10页，共13页18.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2sinBC，22.acbc(1)求角A的大小．(2)若2a，求ABC的周长

.l解：(1)因为sin2sinBC，22acbc，由正弦定理，得2bc，2223acbcc，由余弦定理，得2222cosabcbcA，所以2222344cosccccA，所以222

354coscccA，1cos2A，又(0,)A，3A；...................................（5分）(2)由正弦定理可知，sin2sin4sinsin332aCCcCA，8

2sin3bcC周长122sin3labcC，又3A，ABC，23BC，6C122sin2233lC...................................（12分）19.已知||1,||1ab，且

向量a与b不共线.(1)若a与b的夹角为45，求(2)()abab的值；(2)若向量kab与kab的夹角为钝角，求实数k的取值范围.解：(1)a与b的夹角为45，||||cos4

5abab221122，22(2)()2ababaabb2221122；...................................（5分）(2)向量kab与kab

的夹角为钝角，()()0kabkab，且不能反向共线，故0k，222210kabk，解得11.k实数k的取值范围是(1,0)(0,1)...................................

.（12分）第11页，共13页20.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75方向，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30方向，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60方向，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解：(1

)在ABD中，由已知得60ADB，75答案B，则45B，由正弦定理得2126sin224.sin32ABBADADB..............................

.....（6分）(2)在ADC中，由余弦定理得2222cos30C答案答案CA答案C，解得83.CD所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为83.nmile......（12分）21.

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为.S现在有下列三个条件：①(2)coscos0cbAaB；②222sinsinsinsinsin0BCABC；③22243.3abcS请从以上三

个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量(4sin,43)mx，2(cos,sin)nxx，函数()23fxmn，在ABC中，()3af，且，求2bc的取值范围．解：2()234sincos43sin23fxmnx

xx2sin223cos24sin(2)3xxx，()4sin2333af，...................................（3分）①若(2)coscos0cbAaB，则由正弦定理可得：2sincos

sincossincos0CABAAB，即2sincossin()2sincossin0CABACAC，因为C为三角形内角，sin0C，可得1cos2A，第12页，共13页因为(0,)A，可得2.3A②若222sinsinsinsinsin0BCABC

，由正弦定理可得：2220bcabc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，因为(0,)A，可得2.3A③若222433abcS，则2224343123sinsin3323bcaSbcAbcA，所以2223cossin23bcaAAbc

，可得tan3A，因为(0,)A，可得2.3A...................................（6分）由正弦定理可得234sinsinsin32bcaBCA，所以4sinbB，4sincC，因为3BC，

所以3CB，所以3128sin4sin()8sin4(cossin)322bcBBBBB，...................................（9分）因为03B，所以662B，，所以，即2bc的取值范围为................

...................（12分）22.已知向量a和b，||||1ab，且||3||.akbakb(1)若a与b的夹角为60，求k的值；第13页，共13页(2)记211()(33)4fkabkkk，

是否存在实数x，使得txkf1对任意的[1,1]t恒成立？若存在，求出实数x的取值范围；若不存在，试说明理由.解：(1)||||1ab，a与b的夹角为60，则11||||cos601122abab，由||3|

|akbakb，两边平方可得，22()3()akbakb，22222223(2)akabkbakabkb，即有2213(1)kkkk，解得1k；......................

.............（6分）(2)由(1)得，22222223(2)akabkbakabkb即即可得11()4abkk，21111()()(33)44fkkkkkk2211(23)[(1)2]4

4kkk，min1()2fk，因为()1fktx对于任意[1,1]t恒成立，txkf1min所以tx121，即21tx对于任意[1,1]t恒成立，构造函数1()2gttx，从而21210101xxgg由此

可知不存在实数x使之成立....................................（12分）