【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 1.2 数列的函数特性 含解析【高考】.doc，共(10)页，326.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.2数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上

单调递增,那么数列an=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>an(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2

)递减数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即an+1<an(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{an},如果从第2项起,有些项大于它

的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.-2-1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限.()(2)递增数列没有最大项.()(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得.()提示:(1

)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{an}满足an+1=an+1,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数

列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.因为an+1-an=1>0,所以{an}为递增数列.3.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是()A.B.30C.31D.32【解析】选B.an=-n2+11n=-+,因为n

∈N+,所以当n=5或6时,an取最大值30.关键能力·合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列{an}中,an=n2-8n,(1)画出{an}的图像.-3-(2)根据图像判定数列{an}的增减性.【思路导引

】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n123456789…an-7-12-15-16-15-12-709…描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),

(8,0),(9,9),…图像如图所示.(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{an}既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an)描点

画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集-4-{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,

并用图像表示出来.(1)an=(-1)n+2;(2)an=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度

1数列增减性的判断【典例】1.已知数列{an}的通项公式为an=,按项的变化趋势,该数列-5-是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列an=f(n)

(n∈N+).(1)求证:an>-2.(2)数列{an}是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算an+1-an,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为an+1-an=-=<0,所以an+1<an.故该数列是递减数列.2.(1)由题意得an=

f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0.所以an=-2+>-2.(2)数列{an}是递减数列,证明如下:因为an=,an+1==,所以an+1-an=-=-6-==<0,所以an+1<an,所以数列{an}是递减数列.如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为(

)A.an=-2n+3B.an=-n2-3n+1C.an=D.an=log2n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数

为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2数列增减性的应用【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是an=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有an≤aN成立,则N为()A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10-7-【思路导引】作差判断数列的单

调性,得到当n<8时,an+1>an,数列单调递增;当n>8时,an+1<an,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.an+1-an=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,an+1-an=0,当n<8时

,an+1-an>0,当n>8时,an+1-an<0.所以当n<8时,an+1>an,数列单调递增;当n>8时,an+1<an,数列单调递减,所以当n=8时,a9=a8为数列的最大项.数列增减性两方面的应用(1)利用数列的增减

性可以求参数范围:数列的增减性揭示了项之间的大小关系,可以据此列出不等式(组),求某些参数的范围.(2)利用数列的增减性求数列的最大或最小项:如果数列先增后减或先减后增,则存在最大(小)项,递增(减)数列中首项是最小(大)项.1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2

1n+20.(1)n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项,若没有,说明理由.-8-【解析】(1)因为an=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N+,所以n=10或n=11时,an有最小值,其最小值为102-21×10+2

0=-90.(2)由(1)知,a1>a2>…>a10=a11<a12<…,所以数列{an}没有最大项.2.已知数列{an}的通项公式为an=2n×0.9n,求数列{an}中的最大项.【解析】设an是数列{an}中的最大项,则即所以所以即9≤n≤1

0,所以当n=9或n=10时,an最大,最大项a9=a10=2×10×0.910=20×0.910.3.在数列{an}中,an=(n+1)(n∈N+).(1)求证:数列{an}先递增,后递减;(2)求数列{an}的最大项.【

解析】(1)因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=·,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;-9-当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.所

以a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列{an}先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.课堂检测·素养达标1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.

1,,,,…B.sin,sin,sin,sin,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin,sin,sin,sin,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,

也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列-10-C.常数列D.摆动数列【解析】选B.数列{an}的通项公式是an===1+,则当n∈N+时为递减数列.3.数列{an}的通项

公式为an=n2-6n,则它的最小值是.【解析】an=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,an取得最小值-9.答案:-94.已知递增数列{an}的通项公式为an=2kn+1,则实数k的取值范围是.【解析】因为{an}单调递增,所以an+1-an=[2k(

n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,所以k>0.答案:(0,+∞)5.(教材二次开发:习题改编)数列{an}满足an+1=-2an,若{an}单调递增,则首项a1的范围是.【解题指南】先表示出an+

1-an,再结合{an}单调递增可求首项a1的范围.【解析】因为an+1=-2an,所以an+1-an=-3an>0,解得an>3或an<0,则有a1>3或a1<0.由于a2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得

a1>3或a1<-1(0<a1<2舍去).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)