【文档说明】2021高考数学（文）集训8　高考中的数学文化题　高考中的创新应用题 .docx，共(21)页，2.038 MB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(八)高考中的数学文化题高考中的创新应用题1．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的

高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛B[设圆锥的底面半径为r，则π2r＝8，解得r＝16π，故米堆的体积为14×13×π×16π2×5≈3

209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选B．]2．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝()A．7B．12C．17D．34

C[∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的s值为17，故选C．]3．(2

015·全国卷Ⅱ)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2

006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D[从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；2004－2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；从

图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选D．]4．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5

－125－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．

185cmD．190cmB[头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5－12≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12，可得肚脐至足底

的长度小于42＋260.618≈110，即有该人的身高小于110＋68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65＋105＝170cm，故选B．]5.(201

8·上海高考)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A．4B．8C．12D．16D[根据正六边形的性质，则D1-A1ABB1，D1-A1A

FF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选D．]6.(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线

，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是

()A．①B．②C．①②D．①②③C[将x换成－x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x＝0时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)；当x＞0时，方程变为y2－xy＋x2－1＝0，所以Δ＝x2－4(x2－1)≥0，解得x∈0，233，所以x只能取整数1，当x＝

1时，y2－y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x＞0时，由x2＋y2＝1＋xy得x2＋y2－1＝xy≤x2＋y22，(当x＝y时取等)，∴x2＋y2≤

2，∴x2＋y2≤2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确．在x轴上方图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×

1＝1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C．]7．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探

测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根

据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R＋r)2＋M2r2＝(R＋r)M1R3.设α＝rR.由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r的近似值为()A．M2M1RB．M22M1RC．33M2M1RD．3M23M1

RD[∵α＝rR.∴r＝αR，r满足方程：M1(R＋r)2＋M2r2＝(R＋r)M1R3.∴M2M1＝3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴r＝αR＝3M23M1R.故选D．]8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国

古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在

平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°B[过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°

，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B．]9．(2020·全国卷Ⅱ)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和

弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A．5B．8C．10D．15C[法一：由题意，知ai，aj，ak构成原位大三和弦时，j＝k－3，i＝j－4，所以ai，aj

，ak为原位大三和弦的情况有：k＝12，j＝9，i＝5；k＝11，j＝8，i＝4；k＝10，j＝7，i＝3；k＝9，j＝6，i＝2；k＝8，j＝5，i＝1共5种．ai，aj，ak构成原位小三和弦时，j＝k－4，i＝j－3，所以ai，aj，ak为原位

小三和弦的情况有：k＝12，j＝8，i＝5；k＝11，j＝7，i＝4；k＝10，j＝6，i＝3；k＝9，j＝5，i＝2；k＝8，j＝4，i＝1共5种．所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C．法二：由题意，

知当ai，aj，ak为原位大三和弦时，k－j＝3且j－i＝4，又1≤i<j<k≤12，所以5≤j≤9，所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai，aj，ak为原位小三和弦时，k－j＝4且j－i＝3，又1

≤i<j<k≤12，所以4≤j≤8，所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C．]10．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理

论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.332[如图所示，单位圆的半径为1，则

其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6＝6×12×1×1×sin60°＝332.]1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根

据棣莫弗公式可知，复数cosπ5＋isinπ56在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[由(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx，得cosπ5＋isinπ56＝cos6π5＋isin6π5＝－cosπ5－isin

π5，∴复数cosπ5＋isinπ56在复平面内所对应的点的坐标为－cosπ5，－sinπ5，位于第三象限．故选C．]2．(2020·淄博期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“

物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2

019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为()A．134B．135C．136D．137B[由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，

故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2019，得n≤135，故此数列的项数为135.故选B．]3．(2020·绵阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2

－x2b2＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为()A．2B．3C．22D．23B[双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距

离为2，到渐近线距离为22，可得：c－a＝2|bc|a2＋b2＝22c2＝a2＋b2，解得a＝1，c＝3，b＝22，所以双曲线的离心率为：e＝ca＝3.故选B．]4.(2020·济南一模)加强体育锻炼是青少年生活学习中

非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，3≈1.732)A．63B．69C．75D．81

B[由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002；即|G|＝4003(N)，所以学生的体重为4003÷10＝403kg.即该学生的体重(单位：k

g)约为403＝40×1.732≈69(kg)，故选B．]5．(2020·广州一模)陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A．(7＋22)πB．(10＋22)πC

．(10＋42)πD．(11＋42)πC[由题意可知几何体的直观图如图，上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥，几何体的表面积为：4π＋12×4π×22＋2π×3＝(10＋42)π，故选C．]6．(2020·广州模拟)某人造地球卫星的运行

轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为()A．1＋e1－er＋2e1－eRB．1＋e1－er＋e1－eRC．1－e1＋er＋2e1＋eRD．1－e1＋er＋e1＋eR

A[椭圆的离心率：e＝ca∈(0,1)，(c为半焦距；a为长半轴)设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m，n，由题意，结合图形可知，a－c＝r＋R，远地点离地面的距离为：n＝a＋c－R，m＝a－c－R,a＝r＋R1－e，c＝(r＋R)e1－e，所以远地点离地面的距离为：n＝a＋c－R＝r＋

R1－e＋e(r＋R)1－e－R＝1＋e1－er＋2e1－eR.故选A．]7．(2020·咸阳二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治

互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2015年以来，“一带一路”建设成果显著．下图是2015～2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年

，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降D[对于A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故A正确；对于B,2015年出口额最少，故B正确；对于C，这五年，2019年进口增速最快，故C正确；对于D，根据出口线斜率可知，这五年，出口增速前三

年先升后降，第四年后增速开始增加，故D错误．故选D．]8．(2020·商丘模拟)历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内

接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2＝2×2×4×4×6×6×…1×3×3×5×5×7×…，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程

序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的T＞2.8，若判断框内填入的条件为k≥m？，则正整数m的最小值是()A．2B．3C．4D．5B[初始：k＝1，T＝2，第一次循环：T＝2×21×23＝83＜2.8，k＝2，继续循环；第二

次循环：T＝83×43×45＝12845＞2.8，k＝3，此时T＞2.8，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是k≥3？，所以正整数m的最小值是3，故选B．]9．(2020·郴州模拟)达芬奇的经典之作《蒙

娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，B

C＝6cm，AC＝10.392cm(其中32≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A．π3B．π4C．π2D．2π3A[∵AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm(其中32≈0.8

66)．设∠ABC＝2θ.∴sinθ＝10.39226＝0.866≈32，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈π3，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α.则α＋2θ＝π，∴α＝π－2π3＝π3.故选A．]10．(2020·福建模拟)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨

(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)

的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年

公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年D[由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春

秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－

tanβ1＋tanα·tanβ＝1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455＜0.457＜0.461,∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选D．]11．(2020·长沙模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞

0，－π2＜φ＜π2，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝π12对称；②它的图象关于点π3，0对称；③它的最小正周期是π；④在区间－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结

论，一个正确的命题是()条件________，结论________．A．①②⇒③④B．③④⇒①②C．②④⇒①③D．①③⇒②④D[①③⇒②④由③知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又由①2×π12＋φ＝kπ＋π2，得φ＝kπ＋π3，k∈Z.又∵－π2

＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3.∵fπ3＝sin2×π3＋π3＝0，∴它的图象关于点π3，0对称．∵2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.∵－π6，0⊆

－5π12，π12，∴f(x)在区间－π6，0上是增函数．故选D．]12．(2020·江岸区模拟)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点

在圆锥底面上)，圆锥底面直径为102cm，高为10cm.打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为(取π＝3.14，精确到0.1)()A．609.4gB．447.3gC．398.3gD．35

7.3gC[如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为a，则22a52＝10－a10，解得a＝5，∴该模型的体积为：V＝13π×(52)2×10－53＝500π3－125≈398.33(cm3)．∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398

.3(g)．故选C．]13．(2020·虹口区一模)已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题(论断用序号表示)：________.若②③，则①[已知m、n是

平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；当m⊥α时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于n∥α，所以m⊥n，如图所示．]14．(2020·乌鲁木齐一模)造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格

是纸张制成之后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0

规格的纸张幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系为x∶y＝1∶2，②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等份，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格，现有A0，A1，A2，

A3，…，A8纸各一张，若A4纸的面积为624cm2，这九张纸的面积之和等于________(cm2)．19929[可设Ai纸张的面积分别为Si，i＝0,1，…，8，则{Si}为等比数列，公比q＝12，∵

S4＝624＝S0×124，解得S0＝9984.可得这9张纸的面积之和为99841－1291－12＝19929cm2.]15．(2020·济南模拟)如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段A

B，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到如图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为________．23－3[设AM＝x，∠AMN＝α，则BM＝1－x，∠AMB＝180°－2α，∴∠BAM＝2α－60°，在△ABM中，由正弦定理可得AMsi

n∠ABM＝BMsin∠BAM，即x32＝1－xsin(2α－60°)，∴x＝3232＋sin(2α－60°)，∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，x取得最小值3232＋1＝23－3.]16．[一题两空](2020·赤峰模拟)现代足球运动是世界

上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界

上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个

，则该足球表面中的正五边形的面为________个，该足球表面的棱为________条．1290[简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E间有关系式V＋F－E＝2，设该足球表面中的正五边形的面为x个，正六边形的面为y个，则F

＝x＋y，V＝5x，E＝5x＋32y，∴5x＋(x＋y)－5x＋32y＝2，化简，得2x－y＝4，正五边形的边有两种算法：单从正五边形看，这x个正五边形共有5x条边，从正六边形的角度看，每个正六边形有3条边是正

五边形的边，y个正六边形有6y条边，其中正五边形的边的总数为：6y×36＝3y，∴5x＝3y.联立2x－y＝45x＝3y，解得x＝12，y＝20，∴该足球表面中的正五边形的面为12个，该足球表面的棱为E＝5x＋32y

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