【文档说明】上海市南洋模范中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(9)页，722.047 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年南模高二下开学考数学试卷（寒假作业反馈）2021.3一、填空题：1.与(3,4)a=平行的单位向量0a=；2.已知复数(3)(12)aii++是纯虚数，则实数a的值为；3.直线10xy++=与直线21

0xy−+=的夹角的大小等于；4.焦点为()22,0−与()22,0的等轴双曲线的标准方程为；（用反三角形式表示）5.设实数x、y满足24122xyxyxy+−−，则zxy=+的最小值为；6.已知ABC△的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若

acbacabb−−=，则角C的大小是；7.若圆锥曲线22125xykk+=−+的焦距与k无关，则它的焦点坐标是；8．已知椭圆22:143xyΓ+=的右焦点为F，过原点O的直线与椭圆Γ交于A，B两点，则11||||AFBF+的取值范围为；9.已知曲线2cos:si

nxΓy==，50,6上一动点P，曲线Γ与直线1x=交于点Q，则OPOQ的最大值是；10.数列na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，若记数据1a，2a，

…，2021a的方程为1，数据11S，22S，33S，…，20212021S的方差为2，则12=；11．过正方体111ABCDABCD−，的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，1AA所成的角都相等，这样的直线l可

以作条；12，实数x，y满足42xyxy−=−，则x的取值范围是；二、选择题：13.“列向量12aa和12bb不平行”是“二元一次方程组111222axbycaxbyc+=+=存在唯一解”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14，已知m，n?表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若m∥，n∥，则mn∥B.若m∥，mn⊥，则n⊥C.若m⊥，mn⊥，则n∥D.若m⊥，n∥，则mn⊥15.给出下列四个命题：①若复数1z，2z，满

足120zz−=，则12zz=；②若复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=；③若复数z满足22||zz=−，则z是纯虚数；④若复数z满足zz=，则z是实数，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个

D.4个16，已知直线:320lxy++=与椭圆22:12516xy+=交于A，B两点，直线1l与椭圆交于M，N两点，有下列直线1l：①320xy−−=；②320xy+−=；③320xy+−=；④320xy−+=，其中满足OA

B△与OMN△的面积相等的直线1l可以是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④三、解答题：17.已知xR，设22log(3)log(3)zxix=++−，其中i为虚数单位，当x为何值时：（1）在复平面上z对应的点在第二象限；（2）在复平面上z对应的点在直线20xy+

−=上．18.在长方体1111ABCDABCD−中，2AB=，1AD=，11AA=，点E在棱AB上一点．（1）探求AE多长时，直线1DE与平面11AADD成45角；（2）当点E在棱AB上移动时，求证：异面直线1CE与1AD所成角的大小为定值．19.唐代诗人李颀的诗《古从军行》

开头两句：“白日登山望烽火黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样周才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点(3,0)A处出发，河岸线所在

直线方程为4xy+=，并假定将军只要到底军营所在区域即为回到军营．（1）若军营所在区域为22:2Ωxy+，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为:||2||2Ωxy+，求“将军饮马”的最短总路程．20.已知直线2yx=是双曲线2222:1xyCab−=

的一条渐近线，点(1,0)A，(,)(0)Mmnn都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m、n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q．问：在x轴上是否存在定点T，使得TPTQ⊥？若存在

，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点(0,2)D的直线l与双曲线C交于R、S两点，且||||OROSRS+=，试求直线l的方程．21.在平面直角坐标系xOy，内，动点P到定点(1,0)F−的距离与P到定直线4x=−的距离之比为12．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的

动点N到定点(,0)(02)Mmm的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为1A、1B，且直线OA、OB的斜率之积等于34−，问四边形11ABAB的

面积S是否为定值？请说明理由．参考答案一、填空题：1.34,55；2.6；3.arctan3；4.22144xy−=5.2；6.3；7.(0,7)；8.41,3；9.192；10.4；11.4

12.[4,20]{0}∪二、选择题：13.C；14.D；15.B；16.B；三、解答题：17.解：（1）由题意得：z对应的点在第二象限，即()22log(3),log(3)xx+−在第二象限，22log(3)0log(3)0xx+−，03131xx+−，解得32x−

−，综上所述，结论为(3,2)x−−．（2）z在复平面内对应的点在直线20xy+−=上，即()22log(3),log(3)xx+−在直线20xy+−=上，可得22log(3)log(3)20xx++−−=，2log(3)(3)2xx+−=，(3)(3)4xx+−=，5x=或5−，综上所述，结

论为5x=．18.解：（1）法一：长方体1111ABCDABCD−中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面11AADD，从而1EDA为直线1DE与平面11AADD所成的平面角，1RtEDA△中，11452EDAAEAD===．法二：以D

?为坐标原点，射线DA，DC，1DD依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D，平面11AADD的法向量为(0,2,0)DC=，设(1,,0)Ey，得1(1,,1)DEy=−，由11sin4DEDCDEDC=，得2y=，故2AE=．（2）以D

?为坐标原点，射线DA，DC，1DD依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E，1(1,0,1)A，1(0,2,1)C，从而1(1,0,1)DA=，1(0,2,1)DC=，(1,1,0)DE=设平面11DAC的法向里为(,,)nxyz=，由1100200nDAxzy

znDC=+=+==令11,,12n=−−，所以点E到平面11ADC的距离为||1||nDEdn==．19.（1）若军营所在区域为22:2Ωxy+„，作图如下：设将

军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程||||||||PBPAPBPA+=+，要使得路程最短，只需要||||PBPA+最短，即点A到军营的距离最短，即点A到222xy+„的最短距离，为2172OA−=−．（2）若军营所在区域为:||2||2Ωxy+„，作图如下：联立112112yxyx

=−+=−，解得2x=，0y=，即()2,0B，所以点A到区域Ω最短距离22(42)15AB=−+=．20.解：（1）由已知，得11,2,2aabba====故双曲线C的方程为2214yx−=．(1,)

AMmn=−为直线AM的一个方向向量，直线AM的方程为11xymn−=−，它与y轴的交点为0,1nPm−．（2）由条件，得(,)Nmn−，且(1,)ANmn=−−为直线AN的一个方向向量，故直线AN的方程为11x

ymn−=−−，它与轴的交点为0,1nQm+．假设在x轴上存在定点()0,0Tx，使得TPTQ⊥，则由0,1nTPxm=−−，0,1nTQxm=−−+，及2214nm−=，得00,,11nnTPTQxxmm=

−−−−+22021nxm=−−2202114nxn=−+−2040x=−=．故02x=，即存在定点T，其坐标为(2,0)或(2,0)−，满足题设条件．（3）由||||OR

OSRS+=知，以OR，OS为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而OROS⊥．由已知，可设直线l的方程为2ykx=+，并设()11,Rxy，()22,Sxy，则由222,1,4ykxyx=+−=得()224480kxkx−++=．由()2216324Δkk

=−−()21680k=−，及240k−，得28k且24k，由12244kxxk+=−−，12284xxk=−，()()121222yykxkx=++，得1212OROSxxyy=+()()21212124kxxkxx=++++()2222818444kkk

k+=−+−−()224204kk−==−．故22k=，符合约束条件．因此，所求直线l的方程为22yx=+．21.（1）设(,)Pxy，由题意，22(1)1|4|2xyx++=+，化简得223412xy+=，所以，动点P的轨

迹C的方程为22143xy+=．（2）设(,)Nxy，则222||(-)MNxmy=+22()314xxm=−+−221234xmxm=−++()221(4)314xmm=−+−，22x−．①当0

42m，即102m时，当4xm=时，2||MN取最小值()2311m−=，解得223m=，63m=，此时4623x=，故舍去．②当42m，即122m时，当2x=时，2||MN取最小值2441mm−+=，解得1m=，或3m=（舍）．综上，1m=．（3）

解法一：设()11,Axy，()22,Bxy，则由34OBOAkk=−，得121234yyxx=−，()()221212||ABxxyy=−+−，因为点A、B在椭圆C上，所以2211314xy=−，2222314xy=−，所以，22221212916xxyy=()()2

212944xx=−−，化简得22124xx+=．①当12xx=时，则四边形11ABAB为矩形，21yy=−，则212134yx=，由2211314xy=−，得221133144xx=−，解得212x=，2132y=，111||||4|||43SABABxy===∣．

②当12xx时，直线AB的方向向量为()2121,dxxyy=−−，直线AB的方程为()()212121120yyxxxyxyxy−−−+−=，原点O到直线AB的距离为()()1221222121xyxydxxyy−

=−+−所以，AOB△的面积122111||22AOBSABdxyxy==−△，根据椭圆的对称性，四边形11ABAB的面积122142AOBSSxyxy==−△，所以，()2212214Sxyxy=−()222212121

22142xyxxyyxy=−+222222211122343131424xxxxxx=−++−()22121248xx=+=，所以43S=．所以，四边形11ABAB的面积为定值43．解法二：设()1

1,Axy，()22,Bxy，则()111,Axy−−，()122,Bxy−−，由34OAOBkk=−，得121234yyxx=−，因为点A、B在椭圆C上，所以2211314xy=−，2222314xy=−，所以，22221212916

xxyy=()()2212944xx=−−，化简得22124xx+=．直线OA的方程为110yxxy−=，点B到直线OA的距离12212211xyxydxy−=+，1ABA△的面积1112211||2ABASAAdxyxy==−△，根据椭圆的对称性，四边形11ABAB

的面积1122122ABASSxyxy==−△，所以，()2212214Sxyxy=−()22221212122142xyxxyyxy=−+222222211122343131424xxxxxx=−++

−()22121248xx=+=，所以43S=．所以，四边形11ABAB的面积为定值43．解法三：设()11,Axy，()22,Bxy，则()111,Axy−−，()122,Bxy−−，由34OAOBkk=−，得121234yyxx=−，因为点A、B在椭圆C上，所以2

211314xy=−，2222314xy=−，所以，22221212916xxyy=()()2212944xx=−−，化简得22124xx+=．1ABA△的面积111211111121ABAxySxyxy=−−△1221xyxy=−，根据椭

圆的对称性，四边形11ABAB的面积1122122ABASSxyxy==−△，所以，()2212214Sxyxy=−()22221212122142xyxxyyxy=−+222222211122343131424xxxxxx

=−++−()22121248xx=+=，所以43S=．所以，四边形11ABAB的面积为定值43．