【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.1 任意角和弧度制 含答案【高考】.docx，共(7)页，248.130 KB，由小赞的店铺上传

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-1-【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三

角函数扫平障碍，打下基础.课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域

角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入度量单位可以用米、英

尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.-

2-二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1．1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制

①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360．(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算3.角度制与弧度制的转算4

．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°正数lr负数零π180(180π)°-3-弧度0𝜋6𝜋4π3π22𝜋33𝜋45𝜋6π3π22π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，

则：(1)弧长公式：l＝αr．(2)扇形面积公式：S＝12𝑙𝑟＝12𝛼𝑟2．四、典例分析、举一反三题型一角度制与弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(

4)112°30′.【答案】（1）－5π2rad；(2)18°；(3)－240°；(4)5π8rad.【解析】(1)－450°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×1

80π°＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(

4)－11π5.【答案】（1）π9rad；（2）－π12rad；（3）105°；（4）－396°.-4-【解析】(1)20°＝20π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15π180rad＝－π12rad.(3)7π12rad＝712×180°

＝105°.(4)－11π5rad＝－115×180°＝－396°.题型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）θ－π6＋2kπ<θ<512π＋2kπ，

k∈Z；（2）θ－3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z；（3）θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)θ－π6＋2kπ<θ<512π＋2kπ

，k∈Z.(2)θ－3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z.(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.解题技巧：(表示角的集合注意事项)-5-1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α

的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提

醒：角度制与弧度制不能混用.跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②【答案】(1)α－2π3＋2k

π＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)α2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为

α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集

合为M2，-6-则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜

π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．【解析】设扇

形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积

最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2和S＝12lr.(这里α必须是弧度制下

的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为()A.480cmB.240cmC.8π3cmD.4π3c

m-7-【答案】C【解析】:80°=π180×80=4π9,又r=6cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.【答案】12π-9√3【解析】S扇形AOB=1

2×120π180×62=12π,S△AOB=12×6×6×sin60°=9√3,故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9√3.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本175

页练习及175页习题5.1.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.5.1.2弧度制1.弧度制例1例2例32.弧度制与角度制转化3.扇形弧长与面积公式