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第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)设向量a=(1,0),b=(12,12),则下列结论不正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=√22C.a∥bD.a-b与b垂直答案ABC解析A

项,|a|=1,|b|=√22,故|a|≠|b|;B项,a·b=1×12+0×12=12;C项,1×12≠0×12;D项,a-b=(12,-12),(a-b)·b=12×12−12×12=0,故a-b与b垂直.2.在平行四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.4B.-4C.2D.-2答案A解析如图,由向量的加减,可得𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2).故𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)·(0,2)=0+4=4.3.在矩形ABCD中,AB=2√3,AD=2,点E为

线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是()A.[2,14]B.[0,12]C.[0,6]D.[2,8]答案A解析如图,A(0,0),E(2√3,1),设F(x,2)(0≤x≤2√3),所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2√3,1),𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(x,2),因此𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2√3x+2,设f(x)=2√3x+2(0≤x≤2√3),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2√3)=14,故2≤f(x)≤14,𝐴𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是[2,14].4.(2021河南模拟)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t(t>0),则|a|=3|b|=

3t.若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=-12.又由0≤θ≤π,则θ=2π3.故选C.5.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a

|=.答案√5解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=√22+(-1)2=√5.6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.答案2解析a·b=-1+3y,|a|=√10,|b|=√1+𝑦2,∵a与b的夹角为45°,∴

cos45°=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-1+3𝑦√10×√1+𝑦2=√22.解得y=2或y=-12(舍去).7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解

(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),

所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2√5.综上,|a-b|=2或2√5.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).8.已知三个点A(2,1)

,B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

=(-3,3).又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=1×(-3)+1×3=0,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴AB⊥AD.(2)解∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,四边形AB

CD为矩形,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设点C的坐标为(x,y),则𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(x+1,y-4).又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),∴{𝑥+1=1,𝑦-4=1,解得{𝑥=0,

𝑦=5.∴点C的坐标为(0,5).∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,4),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-4,2),∴|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2√5,|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√5,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8+8=16.设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗

的夹角为θ,则cosθ=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=162√5×2√5=45.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.关键能力提升练9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠AB

C=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,则𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.-√2B.-1C.-2D.-2√2答案

B解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2),𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0),因为𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,所以2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2)+(2,0)=(2,2),故𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1),故P(1,1),𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1),𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1),所以𝑃

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0×1+1×(-1)=-1.10.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是()A.[0,1]B.[-1,1]C.[-√3,√3]D.[0,√3]答案C解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意

义,可知|a-b|=√3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cosθ=√3cosθ,∵cosθ∈[-1,1],∴(a-b)·c的取值范围为[-√3,√3].11.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠

ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为()A.3B.5C.7D.8答案B解析如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=

a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗|=√25+(3𝑎-4𝑥)2≥5,当且仅当x=34a时,等号成立.故|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为5.12.(多选题)(2021江苏南京期中)如图,4×6的方格纸中有一个向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有()A.分别

以图中的格点为起点和终点的向量中,与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗是相反向量的共有11个B.满足|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√10的格点B共有3个C.满足𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1的格点B共有4个D.存在格点B

,C,使得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗答案BCD解析对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗是相反向量的共有18个,故A错误;以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m

∈Z,n∈Z).对于B,若|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√10,则(1-m)2+(2-n)2=10(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,-1),(2,-1),(-2,1),共三个,故B正确;对于C,若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1,则m+2n=1(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2),共4个,故C正确;对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,

0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗成立,故D正确.故选BCD.13.已知向量a=(√3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=√3,则b=.答案(12,√32)解析设b=(x,y

).∵|b|=√𝑥2+𝑦2=1,∴x2+y2=1.∵a·b=√3x+y=√3,∴x2+[√3(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=√32.∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,舍去,∴b=(12,

√32).14.如图,在△ABC中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=8,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求𝐴𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的值;(2)判断𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0)

,B(-5,0),C(5,0),A(75,245),此时𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-75,-245),𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-10,0),所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-75×(-10)+(-245)×

0=14.(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-75,𝑦-245),所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-75×(-10)+(𝑦-245)×0=14,为常数,故𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的值是一个常

数.15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不

存在,请说明理由.解(1)当α=π4时,b=(√22,√22),a·b=3√22,∴|m|=√(𝑎+𝑡𝑏)2=√5+𝑡2+2𝑡𝑎·𝑏=√𝑡2+3√2𝑡+5=√(𝑡+3√22)2+12,∴当t=-3√22时,|m|取得最小值

.(2)存在.假设存在满足条件的实数t.由条件得cosπ4=(𝑎-𝑏)·(𝑎+𝑡𝑏)|𝑎-𝑏||𝑎+𝑡𝑏|,∵a⊥b,∴|a-b|=√(𝑎-𝑏)2=√6,|a+tb|=√(𝑎+𝑡𝑏)2=√5+𝑡2,(a-b)·(

a+tb)=5-t,∴5-𝑡√6·√5+𝑡2=√22.∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±3√52.∴存在t=-5±3√52满足条件.学科素养创新练16.已知向量a,b满足|a|=√5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解

(1)设a=(x,y),因为|a|=√5,则√𝑥2+𝑦2=√5,①又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0,②由①②解得{

𝑥=1,𝑦=2或{𝑥=-2,𝑦=1,所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为θ,所以cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=(1,2)·(1,-3)√1+22×√1+(-3)2=-√22或

cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=(-2,1)·(1,-3)√1+22×√1+(-3)2=-√22,因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=3π4.17.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),x∈(0,π2).(

1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解(1)∵m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),m⊥n,∴m·n=√22sinx-√22cosx=0,即sinx=cosx,∴tanx=sin𝑥cos𝑥=1.(2

)由题意知,|m|=√(√22)2+(-√22)2=1,|n|=√sin2𝑥+cos2𝑥=1,m·n=√22sinx-√22cosx=sin(𝑥-π4).而m·n=|m|·|n|cosπ3=cosπ3=12.∴sin(𝑥-π4)=12.又x∈(0,π2),x-π4∈(-π4,π4

),