【文档说明】【精准解析】2021届高考数学（浙江专用）：§9.5　抛物线【高考】.docx，共(10)页，98.696 KB，由小赞的店铺上传

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§9.5抛物线基础篇固本夯基【基础集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为x+4y-20=

0,则抛物线的方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.x2=16yD.x2=8y答案C2.设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案D3.已知抛物线C:y2=

2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于点M(点M位于第一象限),与它的准线相交于点N,且点N的纵坐标为4,|FM|∶|MN|=1∶3,则p=.答案√24.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,

3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.答案13考点二抛物线的几何性质5.抛物线y=14x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A6.已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于()

A.18B.14C.12D.1答案B7.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=4,则线段MN中点的横坐标为()A.32B.2C.52D.3答案A8.O为坐标原点,F为抛物线C:

y2=4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4√2,则△POF的面积为()A.2B.2√2C.2√3D.4答案C考点三直线与抛物线的位置关系9.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A

的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D10.已知双曲线𝑥23-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线相交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是线段AB的中点,则△AOB(O为坐

标原点)的面积是()A.4√3B.3√13C.√14D.2√3答案D11.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(

)A.2B.3C.17√28D.√10答案B12.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-∞,-1)∪(1,+∞

)综合篇知能转换【综合集训】考法一与抛物线定义有关的问题1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=()A.5B.6C.8D.10答案C2.(2019陕西榆林二模,7)已知抛

物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案B3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线A

F上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为()A.1B.134C.5D.214答案B4.(2019内蒙古呼和浩特第一次质量普查,10)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|

NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为()A.32B.34C.58D.54答案C考法二抛物线焦点弦问题的求解方法5.(2019江西五校协作体2月联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线F

A与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|𝐹𝑀||𝑀𝑁|=√55,则p的值等于()A.18B.14C.2D.4答案C6.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|𝐴𝐹|·|

𝐵𝐹||𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=()A.𝑎2B.𝑎4C.2aD.4a答案B7.(2019福建泉州五中月考,9)已知抛物线C:y2=4x,那么过抛物线C的焦点,长度为不超过2015的整数的弦的条数是()A.4024B.4023C.2012D.2015答案B【五年

高考】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,

M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案63.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案94.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y

2=1的一个焦点,则p=.答案2√2考点二抛物线的几何性质5.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B6.(2018课标Ⅲ,16,5分)

已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系7.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=()A.5B.6C.7D.8答案D8.(2019课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P

.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求|AB|.解析本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思

想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养.设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,

由题设可得x1+x2=52.由{𝑦=32x+t,𝑦2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(𝑡-1)9.从而-12(𝑡-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑃

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗可得y1=-3y2.由{𝑦=32x+t,𝑦2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4√13

3.思路分析(1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.(2)P点在x轴上,

由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗知A、B两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A、B两点纵坐标之和,二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|.教师专用题组考点一抛

物线的定义及标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,则|QF|=()A.72B.3C.52D.2答案B2.(2013课标Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2

px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C3.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x2=2py(

p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4√2,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距

离的比值.解析(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=√2p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD的面积为4√2,所以12|BD|·d=4

√2,即12·2p·√2p=4√2,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=1

2|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为√33或-√33.当m的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x2=2py得x2-2√33px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=43p2+8pb=0,解得b=-𝑝6.因为m的截距b1=𝑝2,|𝑏1||𝑏|=3,所以坐标

原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.考点二抛物线的几何性质4.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上

有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|𝐵𝐹|-1|𝐴𝐹|-1B.|𝐵𝐹|2-1|𝐴𝐹|2-1C.|𝐵𝐹|+1|𝐴𝐹|+1D.|𝐵𝐹|2+1|𝐴𝐹|2+

1答案A5.(2016天津,14,5分)设抛物线{𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(72p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3√2,则p的值为.答案√6

考点三直线与抛物线的位置关系6.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON

交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.所以抛物

线C的焦点坐标为(14,0),准线方程为x=-14.(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+12(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由{𝑦=𝑘𝑥+12,𝑦2=x得4k2x2+(4k-4)x

+1=0.则x1+x2=1−𝑘𝑘2,x1x2=14𝑘2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=𝑦2𝑥2x,点B的坐标为(𝑥1,𝑦2𝑥1𝑥2).因为y1+𝑦2𝑥1𝑥2-2x1

=𝑦1𝑥2+𝑦2𝑥1-2𝑥1𝑥2𝑥2=(𝑘𝑥1+12)𝑥2+(𝑘𝑥2+12)𝑥1-2𝑥1𝑥2𝑥2=(2𝑘-2)𝑥1𝑥2+12(𝑥2+𝑥1)𝑥2=(2𝑘-2)×14

𝑘2+1−𝑘2𝑘2𝑥2=0,所以y1+𝑦2𝑥1𝑥2=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整

体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届广东县中10月联考,6)已知抛物线C:y2=2px(p>

0)的焦点为双曲线𝑥24-𝑦212=1的右焦点,则p=()A.4B.4√2C.8D.8√2答案C2.(2020届辽宁阜新中学10月月考,4)已知抛物线x2=8y,圆M:(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心M到抛物线的准线的距离为()A.5B.4C.2D.4√2答案A3.(2020

届湖南益阳、湘潭9月质检,10)抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,点Q在抛物线上,且∠MQF=90°,则以MQ为直径的圆的面积等于()A.√5-12πB.√5+12πC.(2√5-2)πD.

(2√5+2)π答案A4.(2020届山西大学附属中学第二次模块诊断,12)已知A(0,3),若点P是抛物线x2=8y上任意一点,点Q是圆x2+(y-2)2=1上任意一点,则|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|的最小值为()A.4√3-4B.2√2

-1C.2√3-2D.4√2+1答案A5.(2020届广东广州执信中学10月月考,6)如图,已知点S(0,3),SA,SB与圆C:x2+y2-my=0(m>0)和抛物线x2=-2py(p>0)都相切,切点分别为M,N和A,B,SA∥ON,则点A到抛物线

准线的距离为()A.4B.2√3C.3D.3√3答案A6.(2019安徽蚌埠二模,11)已知F为抛物线y2=4x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,若点A在抛物线上,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为()A.√5B.2√5C

.√13D.2√13答案D7.(2018内蒙古包头一模)过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=10,则原点到l的距离为()A.2√55B.3√55C.4√55D.4√35答案C8.

(2019福建福州3月联考,6)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率为-√3,则△PAF的面积为()A.2√3B.4√3C.8D.8√3答案B9.(2019江西宜春12月联考,12

)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线C上一点,圆M与y轴相切,且被直线x=𝑝2截得的弦长为√2p,若|MF|=52,则抛物线的方程为()A.y2=4xB.y2=2xC.y2=8xD.y2=x答案A二、多项选择题(每题5分,

共20分)10.(改编题)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点

Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中正确的是()A.x1x2=1B.kPQ=-43C.|PQ|=254D.l1与l2之间的距离为4答案ABC11.(改编题)已知O是坐标原点,A,B是抛

物线y=x2上不同于O的两点,且OA⊥OB,下列结论中正确的是()A.|OA|·|OB|≥2B.|OA|+|OB|≥2√2C.直线AB过抛物线y=x2的焦点D.O到直线AB的距离小于或等于1答案ABD12.(改编题)设F是抛物线C:y2=8x的焦点,P是抛物线C

上一点,点M在抛物线C的准线l上,若𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,则直线FP的方程为()A.y=2√2(x-2)B.y=-2√2(x-2)C.y=√3(x-2)D.y=-√3(x-2)答案AB13.(改编题)已知点F是抛物线y2=2px

(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是()A.1|𝐴𝐵|+1|𝐶𝐷|=12𝑝B.若|AF|·|BF|=43p2,则k=√33C.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.四边形ACBD面积的最小值为16p2答案AC三、填空题(每题5分,共25分)14.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p

=,1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|=.(本题第一空2分,第二空3分)答案2;115.(2020届山东枣庄三中10月学情调查,15)设抛物线y=-2x2上一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是.答案33816.(2019辽宁沈阳东北育才学

校一模,14)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A在y轴上,线段AF的中点B在抛物线上,则|AF|=.答案317.(2020届湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,直线AF交抛物线

于另一点B,则|BF|=.答案5418.(2018辽宁大连一模)已知抛物线C:y2=2x,过点M(1,0)任作一条直线和抛物线C交于A、B两点,设点G(2,0),连接AG,BG并延长,分别和抛物线C交于点A'和B',

则直线A'B'过定点.答案(4,0)四、解答题(共25分)19.(2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0),圆O:x2+y2=1.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个

交点,求|AF|;(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.解析(1)由题意得F(0,1),从而抛物线C:x2=4y.解方程组{𝑥2=4y,𝑥2+𝑦2=1得y=√5-2或y=-2-√5(舍去),∴点A的纵坐标为yA=√5-

2,∴|AF|=√5-1.(2)设M(x0,y0)(y0>0),则切线l:y=𝑥0𝑝(x-x0)+y0,结合𝑥02=2py0,整理得x0x-py-py0=0.由ON⊥l且|ON|=1得|-𝑝𝑦0|√𝑥02+𝑝2

=1,即|py0|=√𝑥02+𝑝2=√2𝑝𝑦0+𝑝2,∴p=2𝑦0𝑦02-1且𝑦02-1>0.∴|MN|2=|OM|2-1=𝑥02+𝑦02-1=2py0+𝑦02-1=4𝑦02𝑦02-1+𝑦02-1=4+4𝑦02-

1+(𝑦02-1)≥8,当且仅当y0=√3时等号成立.∴|MN|的最小值为2√2,此时p=√3.思路分析(1)求出F(0,1),得到抛物线方程,联立圆的方程与抛物线的方程,求出点A的纵坐标,然后求得|AF|;(2)设M(x0,y0)(y0>0),则切线l:y=𝑥0𝑝(x-x0)+y0,由ON

⊥l且|ON|=1求得p=2𝑦0𝑦02-1,从而得出|MN|2的表达式,进而利用基本不等式求最小值以及此时p的值.20.(2020届九师联盟9月质量检测,19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点D(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点.(1)若△ABF的面积为3,求直线l的方程;

(2)试判断以线段AB为直径的圆与点F的位置关系,并说明理由.解析(1)由题意知焦点F的坐标为(1,0).设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为x=my+2.联立得{𝑦2=4x,𝑥=𝑚𝑦+2,消去x,整理得y2-4m

y-8=0,可得y1+y2=4m,y1y2=-8,则S△ABF=S△ADF+S△BDF=12×|DF|×|y2-y1|=12√(𝑦2+𝑦1)2-4𝑦1𝑦2=12√16𝑚2+32=2√𝑚2+2.由△ABF的面积为3,可得2√𝑚2+2=3,解得m

=±12,故直线l的方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0.(2)点F在以线段AB为直径的圆内.理由如下:由(1)知x1x2=𝑦12𝑦2216=4,x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2+4.∵𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-1,y1),�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x2-1,y2),∴𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=4-(4m2+4)-8+1=-4m2-7<0,∴∠AFB为钝角,故点F在以

线段AB为直径的圆内.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com