【文档说明】湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三上学期12月月考数学试题答案.docx，共(5)页，364.524 KB，由envi的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司1湖南省涟源市部分学校2025届高三12月考试数学试题答案1A2C3B4D5B6A7B8B9AD10AC11BCD12-313.22414198115.【详解】（1）在ABCV中，222222cosco

s22bcaacbbAaBbacbcac+−+−+=+=，又()2223coscosababbAaB+−=+，所以2223ababc+−=，由余弦定理得22233cos222abcabCabab+−===，又0πC，则π6C=.（2）在ABCV中π6C=，4c=，43b=，由余弦定理，得

2222coscababC=+−，即212320aa−+=，解得4a=或8a=．当4a=，43b=，4c=时，可构成三角形，此时ABCV的面积为111sin44343222abC==；当8a=，43b=，4c=时，可构成三角形，此时ABCV的面积为111si

n84383222abC==．16.【详解】（1）因为PCD△为等边三角形，M为CD的中点，所以PMCD⊥．过A作AEBC⊥，垂足为E，因为底面ABCD为直角梯形，ADBC∥，1AD=，3BC=，45ABC=，所以2BEAE==，则2CD

PC==，由13PB=得222BCPCPB+=，所以BCPC⊥因为平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC平面PCDPC=，BC平面PBC，所以⊥BC平面PCD．因为PM平面PCD，所以BCPM⊥．又BCCDC=，,

BCCD平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD．学科网（北京）股份有限公司2（2）由（1）可知，BC，CD，PM两两垂直，以M为原点，过M且平行于BC的直线为x轴，MC，MP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M，()1,1,0A−，

()3,1,0B，()0,0,3P，()2,2,0AB=，()1,1,3AP=−设平面PAB的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则·22030ABmxyAPmxyz=+==−++=，令3x=，则()3,3,2m=−，由（1）可知

，x轴⊥平面PCD，不妨取平面PCD的法向量为()1,0,0n=，则330cos,1010mnmnmn===，故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为3010．17．【详解】（1）由椭圆2222:1xyCab+=的离心率为32，得2232aba−=，解得2ab=，由椭圆C过点3(1

,)2，得221314ab+=，联立解得2,1ab==，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）依题意，直线l不垂直于y轴，设其方程为1xty=+，1122()AxyBxy,,(,)，则1kt=，由221

44xtyxy=++=消去x得()224230tyty++−=，显然0，则12122223,44tyyyytt−+=−=++，ABN的面积212121211||||()424ABNSMNyyyyyy=−=+−2222221412334(4)441

0ttttt+=+==+++，解得6t=，所以直线l的斜率166kt==.学科网（北京）股份有限公司318．【详解】（1）当1a=时，则()e1xfxx=−−，()e1xfx=−，可得()1e2f=−，()1e1f=−，即切点坐标为()1,e2−，切线斜率e1k=

−，所以切线方程为()()()e2e11yx−−=−−，即()e110xy−−−=；（2）（ⅰ）因为()fx的定义域为R，且()exfxa=−，令()0fx=，解得lnxa=；当lnxa时，()0fx

；当lnxa时，()0fx；所以()fx在(),lna−内单调递减，在()ln,a+内单调递增，则()fx有极小值()3lnlnfaaaaa=−−，无极大值；（ⅱ）由题意可得：()3lnln0faaaaa=−−，因为0a，所以2ln10aa+−

，构建()2ln1gaaa=+−，0a，因为()120gaaa=+，所以()ga在()0,+内单调递增，因为()10g=，不等式2ln10aa+−等价于()()1gag，解得1a，所以a的取值范围为()1,+.19．【详解】（1）因为对任意正整数,mn都有2mnnmaa

amn+=++，故2111124aaaa+==++=，3121249aaaa+==++=，令1m=，可得112nnaan+=++，所以112nnaan+−=+.当2n时，()()()()21213211321nnnaaaaaaaann−=+−+−++−=+++−=，当1n=时，11a=，符合上

式，所以2nan=；（2）由（1）得2nan=，当n为偶数时，学科网（北京）股份有限公司4()()2222221234(1)nSnn=−++−+++−−+=()()()32112371121;22nnnnn+−+++++−==当n为奇数时

，1n+为偶数，()()212111112(1)(1)22nnnnnnnnnnSSaSan+++++++−−=−−=−=−+=.综上所述，22,2,2nnnnSnnn+=−−为偶数为奇数；若k为偶数，则1k+为奇

数，由1290kkSS+++=，得25140kk+−=，解得7k=−（舍去）或2k=；若k为奇数，则1k+为偶数，由1290kkSS+++=，得25220kk++=，方程无解，不合题意，舍去.综上，所求k的值为2.（3）由22111111l

n1ln12(1)nnnbaann+=++=+++222222222222(1)(1)(1)21lnln(1)(1)nnnnnnnnnnnnn+++++++++==++()()()2222(1)21111l

nln(1)1nnnnnnnnnn++++++==++()111ln1ln111nnnn=+=+−++现在我们来证明0x时，()ln1xx+，令()()ln1,0fxxxx=−+，求导得()11011

xfxxx=−=++，所以()()ln1fxxx=−+在(0,+∞)上单调递增，所以()()()ln100fxxxf=−+=，结合当0x时，()ln1xx+，有1111ln111nbnnnn=+−−

++，所以123111111111122334111nnnTbbbbnnnn=++++−+−+−++=−=+++.故1nnTn+【点睛】关键点点睛：问题

的第三问，先化简nb，得nb=11ln11nn+−+，再证明0x时，学科网（北京）股份有限公司5()ln1xx+，利用结论，对数列nb进行放缩，得到nb111nn−+，可证结论.