【文档说明】辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(13)页，796.423 KB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动

，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40

分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．若方程22112xykk+=+−表示双曲线，则实数k的取值范围为（）A．()1,2−B．(),1−−C．()2,+D．()(),12,−−

+2．在空间直角坐标系Oxyz−中，点()1,1,1A与点()1,1,1B−关于（）A．原点对称B．平面xOy对称C．平面yOz对称D．平面xOz对称3．已知直线l恰好经过圆()()22:131Cxy−++=的圆心，且与直线:20

mxy+=垂直，则直线l的方程为（）A．210xy+−=B．210xy++=C．250xy−−=D．250xy−+=4．四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有（）A．24种B．9种C．10种D．26种5．()(

)412xx−−的展开式中，3x项的系数为（）A．2B．14C．48D．2−6．已知*,mnN，下列排列组合公式中，不一定正确的是（）A．CCmnmnn−=B．ACAmmmnnm=C．AC!mmnnn=D．11A

Ammnnnm+=−7．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三

个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有（）A．120种B．60种C．40种D．10种8．已知抛物线2:8Cyx=，其焦点为F，P是拋物线C上的动点，若点()4,2M，点Q在以FM为直径的圆上

，则PFPQ+的最小值为（）A．52−B．52+C．8D．9二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知双曲线的两条渐近线为13yx=，则该双曲线的离心率可以是

（）A．10B．2C．103D．2210．设()5501521xaaxax−=+++，则下列式子正确的是（）A．01a=−B．123451aaaaa++++=C．024121aaa++=D．135122aaa++=11．已知椭圆22:198xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆C

上的一个动点，点()1,1M−，则下列结论正确的是（）A．12PFF△的周长为6B．12PFF△的面积的最大值为22C．存在点P，使得12PFPF⊥D．1PMPF+的最大值为712．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，1AB=，点P在侧面11BCCB

及其边界上运动，并且总是保持1APBD⊥，则下列结论正确的是（）A．113PAADV−=B．点P在线段1BC上C．1BD⊥平面11ACDD．直线AP与侧面11BCCB所成角的正弦值的范围为2,12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共

20分）13．二项式()532x+的展开式中，第4项为______．14．已知圆()22:24Cxy++=，以点()2,0A为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．15．已知空间向量11,,2an=

，()2,1,1b=−−．若2ab−与b平行，则a=______．16．设1F，2F分别为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共

焦点，1C与2C在第一象限内交于点M，1290FMF=．若椭圆1C的离心率134e=，则双曲线2C的离心率2e为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．（1）求甲、乙不

相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？18．（12分）如图，在四棱锥MABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且60MABMAD==，N是CM的中点．设aAB=，bAD=，cAM=，用a，b，c表示BN，并求

BN的长．19．（12分）在二项式412nxx+的展开式中，第3项和第4项的系数比为13．（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？20．（12分）已知直线1yx=−与拋物线()2:20Cypxp=的准线相交于点A

，O为坐标原点，且2AOk=．（1）求拋物线C的标准方程；（2）若Q为抛物线C上一动点，M为线段FQ的中点，F为抛物线的焦点，求点M的轨迹方程．21．（12分）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面A

BCD，DFAE∥，且112DFAE==，N为BE的中点，M为CD的中点．（1）求证：FN∥平面ABCD；（2）求二面角NMFD−−的平面角的正弦值．22．（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=与双曲线22:13xEy−=的离心率互为倒数，椭

圆C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，MON△的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与曲线222:Dxyb+=相切，与椭圆C交于A，B两点，求AB的取值范围．2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测

数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A【解析】依题意，得()()120kk+−，则12k−．故选A．2．D【解析】在空间直角坐标系中，点(),,xyz关于平面xOz对称的点的坐标为(),,xyz−，

则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz对称．故选D．3．C【解析】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为1k，2k，则121kk=−，即1112k−=−，解得12k=．易得圆C的圆

心为()1,3−，故直线l的方程为()321yx+=−，整理可得直线l的方程为250xy−−=．故选C．4．D【解析】红桃+黑桃：4312=（种）；红桃+梅花：428=（种）；黑桃+梅花：326=（种）．故取出两张不同花色的

纸牌，共有：128626++=（种），故选D．5．B【解析】在()()412xx−−中，3x项由()41x−的2x项与x的积和()41x−的3x项和2−的积组成，故可得3x的系数为()()()2121441C11C2

14−+−−=．故选B．6．C【解析】对于A，由组合数的性质知，CCmnmnn−=成立，A正确；对于B，因为ACAmmnnmm=，因此ACAmmmnnm=成立，B正确；对于C，AC!mmnnm=，而!m与!n不一定相等，则A!mnm与A!mnn不一定相等，C不一定正确；对于D，()()111

!!AA1!!mmnnnnnmnmnmnm+===−−−−−，D正确．故选C．7．D【解析】由题意可得，该题等价于求5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数，为552323A10AA

=（种）．故选D．8．A【解析】由题得点F的坐标为()2,0，则圆H的圆心为()3,1H，半径2r=．因为点P在抛物线2:8Cyx=上，且抛物线的准线为2x=−，所以PF等于点P到准线的距离．过点P作准线的垂线，垂足为R．

要使PFPQ+取到最小值，即PRPQ+最小，此时R，P，Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H．如图所示，此时()min52PRPQHRr+=−=−．故选A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．AC【解析】设半焦距为c．①若双曲线的焦点在x轴上

，此时双曲线的方程为()222210,0xyabab−=．因为双曲线的两条渐近线为13yx=，所以133baba==．由222103abcac+==，所以双曲线的离心率103cea==；②若双曲线的焦点在y轴上，此时双曲线的方程为()

222210,0yxabab−=．双曲线的两条渐近线为13yx=，所以133abab==．由22210abcac+==，所以双曲线离心率为10cea==．故该双曲线的离心率为103或10．故选AC．10．ACD【解析

】令0x=，则()501a−=，即01a=−，A正确；令1x=，则50123451aaaaaa=+++++，即0123451aaaaaa+++++=①，则123452aaaaa++++=，B错误；令1

x=−，则()50123453aaaaaa−=−+−+−，即012345243aaaaaa−+−+−=−②．由①②，可得024121aaa++=−，135122aaa++=，C、D正确．故选ACD．11．BD【解析】对于A，由椭圆22:198xyC+=

，得12PFF△的周长为1212232988PFPFFF++=+−=，A错误；对于B，当P为椭圆短轴顶点时，12PFF△的面积最大，且最大面积128222S==，B正确；对于C，当P为椭圆短轴顶点时，12FPF最大，此时222222121212123327cos0223

39PFPFFFFPFPFPF+−+−===，即12FPF为锐角，故不存在点P使得12PFPF⊥，C错误；对于D，由椭圆22:198xyC+=，所以()21,0F．又()1,1M−，所以()()22211011MF=−++=，所以12226667PMPFPMPFPMPFMF+=+−=+−

+=，D正确．故选BD．12．BC【解析】对于A，点P在平面11BCCB内，平面11BCCB∥平面1AAD，所以点P到平面1AAD的距离即为点C到平面1AAD的距离，即正方体的棱长，所以1111111113326PAADAADVSCD−=

==△，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则()1,0,0A，(),1,Pxz，()1,1,0B，()10,0,1D，()11,1,1B，()0,1,0C，且01x，01z，所以()1,1,APxz=−，()11,1,1BD=−−，()11,0,1BC=−

−．因为1APBD⊥，所以1110APBDxz=−−+=，所以xz=，即(),1,Pxx，所以(),0,CPxx=，所以1CPxBC=−，即1B，C，P三点共线，故点P在线段1BC上，B正确；对于C，由1111BD

AC⊥，11ADAD⊥，根据三垂线定理，可得111BDAC⊥，11BDAD⊥．因为11AC，1AD平面11ACD，所以1BD⊥平面11ACD，C正确；对于D，()1,1,APxx=−，01x，平

面11BCCB的一个法向量为()0,1,0m=．设AP与平面11BCCB的夹角为，为锐角，其正弦值为()2222111sin2111324mAPmAPxxx===−++−+．由01x，得26sin23，D错误．故选BC．三、填

空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．680x【解析】()532x+的展开式中第4项为()533336315C280Txx−+==．14．26r【解析】由题知()22:24Cxy++=的圆心为()2,0−，两圆心的距离()224d=−−=．因为

两圆有公共点，即相交或相切，所以242rr−+，解得26r．15．62【解析】由11,,2an=，()2,1,1b=−−，得()24,21,2abn−=−．因为2ab−与b平行，所以4212211n

−==−−，解得12n=−，所以111,,22a=−，所以62a=．16．322【解析】由椭圆及双曲线的定义，得1212MFMFa+=，1222MFMFa−=112MFaa=+，212MFaa=−．因为1290FMF=，所以()()2

2212124aaaac++−=2221222121122aacee+=+=．因为134e=，即211169e=，所以222111229ee=−=，得2322e=．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（

1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有77A个等可能的基本事件，甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为5254AA，所以()525477AA2A7P==甲、乙不相邻且不在两端．（其他正确解答也可得分）（2）从除甲、乙外的5位

老师中任取3人排在甲、乙之间有35A种，排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，同余下的2位老师作全排列有33A种，甲、乙的排列有22A种．由分步乘法计数原理，得332532AAA720=，所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法．18．解：因为N是CM的中点，所

以12BNBCCNADCM=+=+()12ADAMAC=+−()11111112222222ADADADABABADAMabc=+−+=−++=−++．由题意，可得2aAB==，2bAD==，3cAM==，60MABMAD=

=，90DAB=，所以22111222BNabc=−++()22212224abcabacbc=++−−+()14490223cos60223cos604=++−−+174=，所以172BN=，即BN的长为172．

19．解：（1）二项式412nxx+展开式的通项公式为541411CC22rrnrrnrrrnnTxxx−−+==．（公式写对得1分）因为第3项和第4项的系数比为13，所以22331C1231C2nn

=，化简得236CCnn=，解得20n=，所以52041201C2rrrrTx−+=．令52004r−=，得16r=，所以常数项为第17项．（2）设展开式中系数最大的项是第1r+项，则()1120201

1202011CC,212,222120,11CC,22rrrrrrrrrrrr−−++−+−（列不等式组正确得1分，化简2分）解得67r．（少一种情况扣1分）．因为rN，所以6r=或7r=，所以展

开式中系数最大的项是第7项和第8项．20．解：（1）对抛物线()2:20Cypxp=，其准线方程为2px=−．因为准线与直线1yx=−交于点A，所以点A的坐标为,122pp−−−．因为2AOk=，则1222pp−−=−

，解得2p=，（斜率列式正确的1分，结果1分）则抛物线C的标准方程为24yx=．（2）由（1）知2:4Cyx=，则()1,0F．设()11,Qxy，(),Mxy，根据M为线段FQ的中点，可得1112,2,xxyy+==即1121,

2.xxyy=−=由Q为抛物线C上一动点，可得2114yx=，即()()22421yx=−，整理可得点M的轨迹方程为221yx=−．21．（1）证明：方法一：如图，取AB的中点P，连接NP，PD．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现扣1分）因为N为BE的中

点，所以NPAE∥，12NPAE=．又因为DFAE∥，12DFAE=，所以NPDF∥，且NPDF=，所以四边形NPDF是平行四边形，所以FNDP∥．因为DP平面ABCD，FN平面ABCD，所以FN∥平面ABCD．（缺条件DP平面ABCD，FN平面ABCD，扣1分．）方法二：

易得AE，AB，AD两两垂直，如图，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现的扣1分．）因为平面ABCD是边长为2的正方形，DFAE∥，且112DFAE==，N为BE

的中点，M为CD的中点，所以()0,0,0A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2E，()1,0,1N，()1,2,0M，()0,2,1F，所以()1,2,0NF=−．因为平面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=，所以0NFn=，即NFn⊥．

又因为NF平面ABCD，所以NF∥平面ABCD．（2）解：因为()1,2,0NF=−，()1,0,1MF=−，设平面MNF的一个法向量为(),,mxyz=，则20,0.mNFxymMFxz=−+==−+=令1y=，则2xz==，所以()2,1,2m=．因为AE⊥

平面ABCD，DFAE∥，所以DF⊥平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以DFAD⊥．又因为ADDC⊥，DCDFD=，,DCDF平面MFD，所以AD⊥平面MFD，所以平面MFD的一个法向量为()0,2,0AD=．设二面角NMFD−−的平面角为，则1cos

3mADmAD==，所以22sin3=，（正确求出余弦值得1分．）所以二面角NMFD−−的平面角的正弦值为223．22．解：（1）设椭圆C的半焦距为()0cc．因为双曲线22:13xEy−=的离心率为23，所以椭圆C的离心率为32，即32ca=①．因为M

ON△的面积为1，所以112ab=②．结合①、②与222abc=+，解得2a=，1b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．（2）由（1）知，曲线22:1Dxy+=为圆．当与圆D相切的直线l斜率不存在时，直线:1lx=，由221,

1,4xxy=+=解得32y=，则3AB=．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，由221,4,xyykxm+==+消去y并整理，得()222418440kxkm

xm+++−=，（此处缺少化简后的方程扣1分．）()()222264441440kmkm=−+−，即22410km−+，122841kmxxk−+=+，21224441mxxk−=+．又因为直线l与圆22:1Dxy+=相切，所以211mk=+，即2

21mk=+，显然0k，则()()222212121222844444141kmmxxxxxxkk−−−=+−=−++()()2222222641616484141kmkkk−+==++，于是得()222122431141kkABkxxk+=++=+．（此处表示出AB的长度要有

弦长公式，没有弦长公式扣1分．）令()2411ktt+=，（此处需要说明t的取值范围，不写取值范围扣1分．）则2232411313333ABttt=−++=−−．而1t，即101t，因此02AB

．综上所述，AB的取值范围为(0,2．