【文档说明】《四川中考真题数学》《精准解析》四川省乐山市2020年初中学业水平考试数学试题（解析版）.docx，共(30)页，1.705 MB，由envi的店铺上传

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乐山市2020年初中学业水平考试数学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能

使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1.12的倒数是（）A.B.C.12D.12

−【答案】A【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解．【详解】解：∵12=12∴12的倒数是2故选：A．【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键．2.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知

识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（）A.1

100B.1000C.900D.110【答案】A【解析】【分析】先求出“良”和“优”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可．【详解】解：“良”和“优”的人数所占的百分比：852518728525++++×100%=55%，∴在2000人中成绩为“良”和“优”的总人数估

计为2000×55%=1100（人），故选：A．【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出“良”和“优”的人数所占的百分比是解题关键．3.如图，E是直线CA上一点，40FEA=，射线EB平分CEF，GEEF⊥．则GEB=（）A.10B.20C

.30°D.40【答案】B【解析】【分析】先根据射线EB平分CEF，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据GEEF⊥，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．【详解】∵40FEA=，∴∠CEF=140°，∵射线EB平分CEF，∴∠CEB=∠BEF=70°，

∵GEEF⊥，∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．4.数轴上点A表示的数是3−，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）A.4B.4−或10C.10−D.4或10−【答案】D【解

析】【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．【详解】解：点A表示的数是−3，左移7个单位，得−3−7＝−10，点A表示的数是−3，右移7个单位，得−3＋7＝4，故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴的特

征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．5.如图，在菱形ABCD中，4AB=，120BAD=，O是对角线BD的中点，过点O作OECD⊥于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A.923+B.93+C.723+D.8【答案】B【解析】【分析】由已知

及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED的周长.【详解】∵四边形ABCD是菱形，O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，AD=AB=4，AB∥DC∵∠BAD=

120º，∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，∵OE⊥DC，∴在RtΔAOD中，AD=4，AO=12AD=2，DO=2223ADAO−=，在RtΔDEO中，OE=132OD=，DE=223ODOE−=，∴四边形AOED的周长为AO+OE+DE+AD=2+3+3+4=9+3，故

选：B.【点睛】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键.6.直线ykxb=+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kxb+的解集是（）A.2x−≤B.4x−C.2x−D.4x−【答案】C【解析】【分析

】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．【详解】解：根据图像得出直线ykxb=+经过（0，1），（2，0）两点，将这两点代入ykxb=+得120bkb=+=，解得112bk==−，∴直线解析式为：112yx=−+，将y=2代入得1212x=

−+，解得x=-2，∴不等式2kxb+的解集是2x−，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键．7.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，

不能拼成正方形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5如果能拼成正方

形，那么选项A拼接成的正方形的边长为6，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为5观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为5的正方形而根据正方形的性

质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为6的正方形故选：A．【点睛】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．8.已知34m=，2432mn−=．若9nx=，则

x的值为（）A.8B.4C.22D.2【答案】C【解析】【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由()224=339mnmn−即可解答．【详解】∵()()()222-224-233=3=39=mnmnmn

mn−，依题意得：242x=，0x>．∴42x=，∴=22x，故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．9.在ABC中，已知9

0ABC=，30BAC=，1BC=．如图所示，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到''ABC．则图中阴影部分面积为（）A.4B.32−C.34−D.32【答案】B【解析】【分析】先求出AC、AB，在根据''''=ABCCACDABSSSS−

−阴影扇形扇形求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵30BAC=，∴AC=2BC=2，∴22=3ABACBC=−，∵ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到''ABC，∴='3,''1,'90ABABBC

BCCAC====∴'60CAB=∴()22''''9039021==31=360232603ABCCACDABSSSS−−−−−阴影扇形扇形．故选：B【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据''''=ABCCACDABSSSS−−阴影扇形扇形求解是解题关

键．10.如图，在平面直角坐标系中，直线yx=−与双曲线kyx=交于A、B两点，P是以点(2,2)C为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A.12−B.32−C.2−D.14−【

答案】A【解析】【分析】连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设B点的坐标为（x，-x），根据点(2,2)C，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．【详解】解：连接BP，∵直线yx=−与双曲线kyx=的图形均

关于直线y=x对称，∴OA=OB，∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点∴OQ是△ABP的中位线，当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，∴当P、C、B三点共线时PB

=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B点的坐标为（x，-x），则()()22BC=2-23xx++=，解得1222,22xx==−（舍去）故B点坐标为22,22−，代入kyx=中可得

：12k=−，故答案为：A．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所

指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．4．本部分共16个小题，共120分．二、填空

题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11.用“”或“”符号填空：7−______9−．【答案】【解析】【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵|-7|=7，|-9|=9，7<9，∴

-7>-9，故答案为：>．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小．12.某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是______．【答案】39【

解析】【分析】将数据从小到大进行排列即可得出中位数．【详解】解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40∴中位数为39，故答案为：39．【点睛】本题考查了求中位数，掌握计算方法是解题关键．13.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自

动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）【答案】23【解析】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可

得出答案．【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×32=23，故答案为：23．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=A

B=4是解题关键．14.已知0y，且22340xxyy−−=．则xy的值是_________．【答案】4或-1【解析】【分析】将已知等式两边同除以2y进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】0y将22340xxyy−−=两边同除以2y得：23()40

xxyy−−=令xty=则2340tt−−=因式分解得：(4)(1)0tt−+=解得4t=或1t=−即xy的值是4或1−故答案为：4或1−．【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．15.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E

为AD的中点，连结BE交AC于点F．则AFAC=_________．【答案】35【解析】【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=23x，BC=3x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有AFBFCFE

F=，由角平分线的性质得32ABBFAEEF==，进而求得AFAC的值.【详解】连接CE，设CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x，AC=2223ADCDx−=，BC=12AC=3x，AB=223ACBC−=x，∵点E为AD的中点，∴C

E=AE=DE=12AD=2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴AFBFCFEF=，在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴33

22ABBFxAEEFx===，∴32AFBFCFEF==，∴35AFAC=，故答案为：35.【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找

到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.16.我们用符号x表示不大于x的最大整数．例如：1.51=，1.52−=−．那么：（1）当12x−时，x的取值范围是______；（2）当12x−时，函数223yxax=−+的图象始终在函数3y

x=+的图象下方．则实数a的范围是______．【答案】(1).03x＜(2).1a−或32a【解析】【分析】（1）首先利用x的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．

（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．【详解】（1）因为x表示整数，故当12x−时，x的可能取值为0,1,2．当x取0时，01x＜；当x取1时，12x＜；当x

=2时，23x＜．故综上当12x−时，x的取值范围为：03x＜．（2）令2123yxax=−+，23yx=+，321yyy=−，由题意可知：30y＞，23(21)yxax=−++．①当10x−＜时，

x=1−，23(21)yxa=−−+，在该区间函数单调递增，故当1x=−时，min220ya=−−＞，得1a＜-．②当01x＜时，x=0，230yx=−＜不符合题意．③当12x＜时，x=1，23

21yxa=−++，在该区间内函数单调递减，故当x取值趋近于2时，min230ya=−＞，得32a＞，当32a=时，234yx=−+，因为2x，故3y0，符合题意．故综上：1a−或32a．【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类

型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．17.计算：022cos60(2020)−−+−．【答案】2【解析】【分析】根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可．【

详解】解：原式=12212−+=2．【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键．18.解二元一次方程组：22,839.xyxy+=+=【答案】321.xy==−，【解析

】【分析】方程组利用加减消元法，由②-①3即可解答；【详解】解：22839xyxy+=+=①②，②-①3，得23x=，解得：32x=，把32x=代入①，得1y=−；∴原方程组的解为321.xy==−，【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消

元法与加减消元法．19.如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE⊥于点F，3AB=，2AD=，1CE=．求DF的长度．【答案】105．【解析】【分析】先根据矩形的性质、勾股定理求出10DE=，再根据相似三角形的判定与性质可得DEECADDF=，由此即可得出答案．【详解】∵四边形

ABCD是矩形，3AB=∴3DCAB==，90ADCC==∵1CE=∴22223110DEDCCE=+=+=∵AFDE⊥，90ADC=90ADFDAF+=，90ADFEDC+=∴EDCDAF=在EDC△和DAF△中，9

0EDCDAFCAFD===∴EDCDAF∴DEECADDF=，即1012DF=解得105DF=即DF的长度为105．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．四、本大题共3个小题，每小题10分，

共30分．20.已知2yx=，且xy，求()xyxyxyxy+−+−22211的值．【答案】2xy，1【解析】【分析】先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为2xy．将2=yx代入进行计算即可．【详解】原式=2222()(

)xxyxyxyxy+−−=222222xxyxyxy−−=2xy，∵2yx=，∴原式=212xx=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含x的表达式表示出y．21.如图，已知点(2,2)A−−在双曲

线kyx=上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点()1Ba,．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BCx⊥轴于点C，连结AC，过点C作CDAB⊥于点D．求线段CD的长．【答案】（1）22yx=+；（2）455CD=【解析】【分析】（1）由点(2,2)A−−在双曲线kyx=

上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）用两种方式表示△ABC的面积可得11322ABCSABCDBC==，即可求出CD的长．【详解】解：（1）将点()22A−−，代入k

yx=，得4k=，即4yx=，将(1)Ba，代入4yx=，得4a=，即(14)B，，设直线AB的解析式为ymxn=+，将()22A−−，、(14)B，代入ymxn=+，得224.mnmn−=−+=+，，解得22.mn==，∴直线AB的解析式为22yx=

+．（2）∵()22A−−，、(14)B，，∴22(21)(24)35AB=−−+−−=，∵BCx⊥轴，∴BC=4，∵11322ABCSABCDBC==，∴34345535BCCDAB===．【点睛】本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析

式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积．22.自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防

控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．根据上面图表信息，回答下列问题：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为º；（2）请直接在图

中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎

感染病例的平均死亡率．【答案】（1）20，72；（2）见解析；（3）67.5%；（4）10%【解析】【分析】（1）利用60~79岁感染的人数有9万人，占比45%,可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中40-59岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角；（2）先求解20~39感染

人数，然后直接补全折线统计图即可；（3）先求解患者年龄为60岁或60岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可；（4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可．【详解】解：（1）由60~79岁感染的人数有9万人，占比45%,截止

5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为92045%=（万人），扇形统计图中40-59岁感染人数占比：420%,20=扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为：36020%72.=故答案为：20，72；（2）补全的折线统计图如图2所示；20~39感染人数为：200.5494.

52−−−−=万人，补全图形如下：（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：94.5100%67.5%20+=；（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：0.51%22.75%43.5%910%4.520%100%10%20+

+++=．【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．

23.某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2

）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？【答案】（1）租用一辆轿车的租金为240元．（2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．【解析】【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题

意列方程求解即可．（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．

【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元．由题意得：300231320x+=．解得240x=，答：租用一辆轿车的租金为240元．（2）方法1：①若只租用商务车，∵342563=，∴只租用商务车应租6辆，所付租金为30061800=（元）；②若只租用轿

车，∵348.54=，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为24092160=（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．由题意，得6434300240mnWmn+==+由6434mn+=，得4634nm=−+，∴3006

0(634)602040Wmmm=+−+=−+，∵63440mn−+=，∴173m，∴15m，且m为整数，∵W随m的增大而减小，∴当5m=时，W有最小值1740，此时1n=，综上，租用商务车5辆和轿车1辆

时，所付租金最少为1740元．方法2：设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．由题意，得6434300240mnWmn+==+由6434mn+=，得46340nm=−+，∴173m，∵m

为整数，∴m只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为92402160=（元）；租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为130072401980+=（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为230062402040+=（元）；租3商务车，则

需租4辆轿车，所需租金为330042401860+=（元）；租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为430032401920+=（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为530012401740+=（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务

车5辆和轿车1辆，此时所付租金最少，为1740元．【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以

及分类讨论思想解答本题．24.如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DEAB⊥于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AFFG=．（1）求证：点D平分AC；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AHAO

=，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）连接AD，由AB是直径得90ADB=，由同角的余角相等证明ADEABD=，由直角三角形斜边中线性质证明DACADE=，进而得出ABDDAC=，

即得出结论；（2）由已知可知DE是OA、HB的垂直平分线，可得DADO=，DHDB=，从而DAODOA=，HB=，再由90BDAO+=即可证明90HDO=，由此即可得出可能．【详解】证明：（1）连接AD、BC，如图3所示，图

3∵AB是半圆O的直径，∴90ADB=，∵DEAB⊥，∴ADEABD=，又∵AFFG=，即点F是RtAGD△的斜边AG的中点，∴DFAF=，∴DACADE=，∴ABDDAC=，∴ADCD=，即点D平分AC；（2）如图4所示，连接OD、AD，图4∵点E是线段OA的中点，DEAB⊥，

AHAOOB==，∴DADO=，DHDB=，∴DAODOA=，HB=∴HDOABDAO+=+，又∵90BDAO+=，∴90HDOA+=，∴90HDO=，∴DH是⊙O的切线．【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查

了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25.点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A

、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论

是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当30OEF=时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．【答案】（1）OEOF=；（2）补图见解析，OEOF=仍然成立，证明见解析；（3）OECFAE=+，证明见解析【解析】

【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同

理得AOECOH，得出AECH=，OEOH=，再根据30OEF=，90HFE=，推出12HFEHOE==，即可得证．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO

＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）补全图形如图所示，OEOF=仍然成立，证明如下：延长EO交CF于点G，∵AEBPCFBP⊥⊥，，∴//AECF，∴EAOGCO

=，∵点O为AC的中点，∴AOCO=，又∵AOECOG=，∴AOECOG，∴OEOG=，∵90GFE=，∴12OFEGOE==；（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OECFAE=+，证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图所示，由（2）可知A

OECOH，∴AECH=，OEOH=，又∵30OEF=，90HFE=，∴12HFEHOE==，∴OECFCHCFAE=+=+．【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分

得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．26.已知抛物线2yaxbxc=++与x轴交于(1,0)A−，(50)B，两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且4tan3CBD=，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴

的平行线交线段BC于点E，过点E作EFPE⊥交抛物线于点F，连结FB、FC，求BCF的面积的最大值；②连结PB，求35PCPB+的最小值．【答案】（1）241620999yxx=−++；（2）①32；②

245．【解析】【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由4tan3CBD=求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式42033=−+yx，设E坐标为420,33tt−+，则F点坐标为241620999,tt

t−++，进而用t表示出BCF的面积，由二次函数性质即可求出最大值；②过点P作PGAC⊥于G，由3sin5PGPCACDPC==可得35PCPBPGPB+=+，由此可知当BPH三点共线

时35PCPB+的值最小，即过点B作BHAC⊥于点H，线段BH的长就是35PCPB+的最小值，根据面积法求高即可．【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)yaxx=+−，∵CD是抛物线的对称轴，

∴(20)D，，又∵4tan3CBD=，∴tan4CDBDCBD==，即(24)C，，代入抛物线的解析式，得4(21)(25)a=+−，解得49a=−，∴二次函数的解析式为4(1)(5)9yxx=−+−或

241620999yxx=−++；（2）①设直线BC的解析式为ykxb=+，∴0542.kbkb=+=+，解得4320.3kb=−=，即直线BC的解析式为42033=−+yx，设E坐标为420,33tt−+，则F点坐标为241620999,ttt

−++，∴22420341620428409999993EFttttt=−++−=−+−+−，∴BCF的面积21142840322999SEFBDtt==−+−∴2273()322St=−−+，∴当72t=

时，BCF的面积最大，且最大值为32；②如图，连接AC，根据图形的对称性可知ACDBCD=，5ACBC==，∴3sin5ADACDAC==，过点P作PGAC⊥于G，则在RtPCG中，3sin5PGPCACDPC==，∴35PCPBP

GPB+=+，再过点B作BHAC⊥于点H，则PGPHBH+，∴线段BH的长就是35PCPB+的最小值，∵11641222ABCSABCD===，又∵1522ABCSACBHBH==，∴5122BH=，即245BH=，∴35PCPB+的最小值为245．【点睛】此题主要考查

了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将35PCPB+的最小值转化为点B到

AC的距离．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com