【文档说明】高二数学期中模拟卷02（全解全析）.docx，共(15)页，1.351 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上

。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。5．难度系数：0.62。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知,,abc为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A．ab+，cb+，ac−B．2ab+，b，ac−C．2ab+，2cb+，abc++rrrD．ab+，abc++rrr，c【答案】B【详解】对于A

，设()()abxcbyac+=++−rrrrrr，即()()()abxcbyacyaxbxyc+=++−=++−rrrrrrrrr，解得1xy==，所以ab+，cb+，ac−共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设()2abxbyac+=+−rrrrr，,xy无解，所以2

,,abbac+−rrrrr不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；对于C，设()()22abxcbyabc+=++++rrrrrrr，解得12xy=−=，所以2,2,abcbabc++++rrrrrrr

共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设()abxabcyc+=+++rrrrrr，解得11xy==−，所以,,ababcc+++共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：B.2．直线1:10lx−=与直线2:320lxy−+=

的夹角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6【答案】B【详解】设两直线的倾斜角分别为,，由1:10lx−=，则π2=，由2:320lxy−+=，则3tan3=，即π6=，则两直线夹角为πππ263−=−

=.故选：B.3．设定点()10,2F−，()20,2F，动点P满足条件()1240PFPFmmm+=+，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．射线D．椭圆或线段【答案】D【详解】因为0m，所以4424mmmm+=，当且仅当2m=时等号成立，当2m=时，

124PFPF+=，而124FF=，此时点P的轨迹是线段12FF；当2m时，12124PFPFFF+=，此时点P的轨迹是以1F、2F为焦点的椭圆．综上所述，点P的轨迹是以1F、2F为焦点的椭圆或线段12FF

.故选：D.4．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，113CFCC=，则异面直线EF与11BD所成角的余弦值为（）A．23B．36C．32626D．42121【答案】C

【详解】如图，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则()()()1120,0,2,2,2,2,1,2,0,0,2,3DBEF.所以11(2,2,0)DB=，又21,0,3EF=−所以111

111·20023326cos,26||||413262212293EFDBEFDBEFDB−++=====+.故选：C.5．已知直线l：30mxy++=和直线n：()23210mxmy+−+=，则“1m=−”是“l∥n”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充

要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//ln时，()2213mmm−=，解得0m=或1m=−，当0m=时，两直线分别为13,2yy=−=，符合题意，当1m=−时，两直线分别为30,3310xyxy−++=−

+=符合题意，所以“1m=−”是“l∥n”的充分不必要条件故选：B6．已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=的左､右焦点分别为12,FF，点P在M上，Q为2PF的中点，且121,FQPFFQb⊥=，则M的离心率为（）

A．33B．13C．12D．22【答案】C【详解】如下图所示：根据题意可知1122PFFFc==，由椭圆定义122PFPFa+=可得222PFac=−，又Q为2PF的中点，可得PQac=−，因为1FQb=，由勾股定理可得22211FQPQPF+=，即()()2222bac

c+−=；结合222bca+=整理可得2220caca+−=，即2210ee+−=，解得12e=或1e=−（舍）.故选：C7．已知两个不同的圆1C，2C均过定点(,)Aab，且圆1C，2C均与x轴、y轴相切，则圆1C与圆2C的半径之积为（）A．abB．2abC．22ab+D．222ab+

【答案】C【详解】当点A在第一象限时，圆1C，2C的方程为222()()(0)xryrrr−+−=的形式，代入点(,)Aab的坐标，可得关于r的方程2222()0rabrab−+++=，圆1C，2C的半径1r，2r是该方程的两个不同实根，所以212rra=+2b，同理，当点A在第二、

三、四象限时也可得2212rrab=+．当点A在y轴上时，0a=，此时圆1C，2C的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在A点处相切，且12rrb==，满足22212rrbab==+．同理，当点A在x轴上时，0b=，同样满足22212rraab==+．故选：C.8．如图所示，四面体A

BCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点,EF分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面与棱,,ABACAD分别交于,,OPQ，设四面体AOPQ的体积为V，则VV的最小值为（）A．14B．18C．116D．127【答案】C【详解】连接AM，由题

意知：()()111111222326ANAFADDFADDMADAMAD==+=+=+−()11111136231212ADABACADABAC=++=++；令AOxABAPyACAQzAD===

，则AOABxAPACyAQADz===，11112123ANAOAPAQxyz=++，,,,NOPQ四点共面，311111312123432xyzxyz++=（当且仅当14xyz==时取等号），116xyz；设点C

到平面BAD的距离为d，则点P到平面BAD的距离为APdydAC=，又1sin2BADSABADBAD=，1sin2AOQSAOAQBAD=，1131163AOQBADSydVAOAQyxyzVABADSd===，即VV的最

小值为116.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的

结论中，正确的是（）A．两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是()2,3,1a=−，()2,3,1b=−−，则12ll//B．两个不同的平面，的法向量分别是()2,2,1u=−，()3,4,2v=−，则⊥C．直线l的方向向量

()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥D．直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则//l【答案】AB【详解】两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是()2,3

,1a=−，()2,3,1b=−−，则ba=−，所以12ll//，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是()2,2,1u=−，()3,4,2v=−，则()2324120uv=−+−=，所以⊥，B正确；直线

l的方向向量()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则()1614210au=−+−=，所以//l或l，C错误；直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则53ua=−

，所以l⊥，D错误．故选：AB10．已知直线:0−+=lkxyk，圆()2200:650,,CxyxPxy+−+=为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）A．2200xy+的最大值为5B．00yx的最大值为255C．直线l与圆C相切时，33k=D．圆心C到直线l的距

离最大为4【答案】BC【详解】圆C的方程可化为()22232xy−+=，所以圆C的圆心为()3,0C，半径2r=.3OC=，𝑃(𝑥0,𝑦0)是圆上的点，所以2200xy+的最大值为()23225+=，A选项错误.如

图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，00yx最大，此时3,2,5OCPCOP===，且225tan55OPkPOC===，B选项正确.直线:0−+=lkxyk，即()1ykx=+，过定点()1,0−，若直线l与圆C相切，则圆心()

3,0C到直线l的距离为2，即2321kkk+=+，解得33k=，所以C选项正确.圆心()3,0C到直线l的距离223411kkkdkk+==++，当0k=时，0d=，当0k时，22444111kdkk==++，所以D选项错误.

故选：BC11．已知直线:(0)lykxk=交椭圆22221xyab+=于A，B两点，1F，2F为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F关于直线l的对称点为Q，则（）A．若1k=，则椭圆的离心率为22B

．若13MAMBkk=−，则椭圆的离心率为33C．1//lFQD．若直线BQ平行于x轴，则3k=【答案】ACD【详解】如图，直线l与2QF交于G，对于A，若1k=，则(0,)Qc，所以bc=，所以22212222ccce

abcc=====+，故A正确；对于B，设𝐴(𝑥0,𝑦0)，则()00,Bxy−−，且2200221xyab+=即()2220202baxya−=，所以()22202220002222200001·3MAM

Bbaxyyybakkxaxaxaxaa−−====−=−+−+−−，所以22222222161133bacceeaaa−==−=−==，故B错误；对于C，由题意可知OG是中位线，故1//lFQ，故C正确；对于D，设点()00,Bxy，则直线00:ylyxx=

，因为直线BQ平行于x轴，所以点()002,,QxyFQ−的中点00,22cxyG−，所以由点G在直线l上且21FGlkk=−得00000000·22·1yycxxyyxcx−==−−−，解得012xc=，22034cy=即032yc=，因此

0032312cykxc===，故D正确.故选：ACD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点P在圆22(5)(5)16xy−+−=上，点()()4,0,0,2AB

，当PBA最小时，PB=.【答案】32【详解】设圆22(5)(5)16xy−+−=的圆心为(5,5)M，半径为4，如图所示：当PBA最小时，PB与圆M相切，连接,MPBM，则PMPB⊥，22||(05)(25)34BM=−+−=，而||4MP=，由勾

股定理得22||||||32PBBMMP=−=，所以当PBA最小时，||32PB=.故答案为：32.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin20xy−+=的倾斜角可以是π2；②直线l过点()2,3−

，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10xy+−=；③过点()00,Pxy的直线0AxByC++=的直线方程还可以写成()()000AxxByy−+−=；④经过()11,Axy，()22,Bxy两点的直线方

程可以表示为111212yyxxyyxx−−=−−.【答案】①③【详解】对于①，当sin0=时，直线方程为：2x=−，此时直线倾斜角为π2，①正确；对于②，当直线过坐标原点时，3:2lyx=−，此时其在两坐标轴上的截距相等；当直线不过坐标原点时，设:lxya+=，则231a=−+=，

:10lxy+−=；综上所述：过点()2,3−且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：32yx=−或10xy+−=，②错误；对于③，()00,Pxy在直线0AxByC++=上，000AxByC++=，则00Ax

ByCAxByC++=++，()()000AxxByy−+−=，③正确；对于④，若12xx=或12yy=，则过()()1122,,,AxyBxy两点的直线无法表示为111212yyxxyyxx−−=−−，

④错误.故答案为：①③.14．正方体1111ABCDABCD－的棱长为3，P是侧面11ADDA（包括边界）上一动点，E是棱CD上一点，若APBDPE=，且APB△的面积是DPE面积的9倍，则三棱锥PABE－

体积的最大值是．【答案】928【详解】由已知AB⊥平面11ADDA，AP平面11ADDA，所以ABAP⊥,因为DE⊥平面11ADDA，DP平面11ADDA，所以DEDP⊥，所以90BAPEDP==，又APBDPE=，所以APBDPE∽，又A

PB△的面积是DPE面积的9倍，所以3APDP=，以点D为原点，1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,0,0D，设点P的坐标为(),0,xz，则03x，03z，由已知3APPD=，所以()222233xzxz−

+=+，所以2239048xzx++−=，其中03x，03z，所以点P的轨迹为以点3,0,08−为圆心，98为半径的圆在侧面11ADDA内的一段圆弧，过点P作1//PQDD，因为1DD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD

，即PQ⊥平面ABE，所以PQ为三棱锥PABE−的高，所以三棱锥PABE−的体积133322PABEABEVSPQPQz−===，因为2239048xzx++−=，03z，所以23948zxx=−−+，03x，所以当0x=时，z取最大值，

最大值为324，所以当0x=时，三棱锥PABE－体积取最大值，最大值为33292248=.故答案为：928.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l的方程为：()()211740mxmym+++−−=.(1)求证：不论m为何值

，直线必过定点M；(2)过点M引直线1l交坐标轴正半轴于AB、两点，当AOB面积最小时，求AOB的周长.【详解】（1）证明：由()()211740+++−−=mxmym可得：()2740mxyxy+−++−=，令2703401xyxxyy+−==+−==，所以直线l过定点()3,

1M．.....................5分（2）由（1）知，直线1l恒过定点()3,1M，由题意可设直线1l的方程为()()130ykxk−=−，设直线1l与x轴，y轴正半轴交点为,AB，令𝑥=0，得13Byk=−；令0y=，得13Axk=−，.

....................7分所以AOBV面积()()11111339622Skkkk=−−=−+−+()1129662kk−−+=，当且

仅当19kk−=−，即13k=−时，AOBV面积最小，.....................11分此时()6,0A，()0,2B，2262210AB=+=，AOBV的周长为622108210++=+.所以当AOBV面积最小时，AOBV的周长为8210+..............

........13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面11,,,2ABCABACABBCABBC⊥⊥==.(1)求证：平面11ABC⊥平面1ABC；(2)设点P为1AC的中点，求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值.【详解】（1）证明1AA⊥平面,

ABCBC平面ABC，1AABC⊥.又1,ABBCAAABA⊥=，且1,AAAB平面11ABBA，BC⊥平面11ABBA.1AB平面111,ABBABCAB⊥.又111,ABACACBCC⊥=，且1,ACBC平面1ABC，1AB⊥平面1ABC.1AB平面11ABC

，平面11ABC⊥平面1ABC......................6分（2）由（1）知11ABAB⊥，所以四边形11ABBA为正方形，即12AAAB==，且有22AC=.以点A为原点，以1,ACAA

所在直线分别为,yz轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示，则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1ACBBP，所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,

0BPAPCB=−==−，设平面ABP的一个法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则0,0,BPnAPn==即20,20,xzyz−+=+=取()1,1,2n=−，同理可得平面BCP的一个法向量(

)2,2,2m=，所以()()2,2,21,1,2221cos,2224112222mnmnmn−====++++，所以平面ABP与平面BCP夹角的余弦值为12......................15分17．（15分）已知椭圆C：()222210+=

xyabab的焦距为22，离心率为22.(1)求C的标准方程；(2)若5,02A−，直线l：()302xtyt=+交椭圆C于E，F两点，且AEF△的面积为462，求t的值.【详解】（1）由题意得，222c=，2c=，又22cea==，则2a=，

则2222bac=−=，所以C的标准方程为22142xy+=.......................5分（2）由题意设()11,Exy，()22,Fxy，如图所示：联立2232142xtyxy=++=，整理得()2272304ty

ty++−=，0，则12232tyyt+=−+，()122742yyt=−+，故()()22212121222229716144222ttyyyyyyttt+−=+−=+=+++设直线l与x轴的交点为3,02D，又5,02

A−，则35422AD=−−=，故212211614462222AEFtSADyyt+=−==+，结合0t，解得2t=.......................15分18．（

17分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，ABAD⊥，PAPD=，1AB=，2AD=，5ACCD==.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否

存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，且ABAD⊥，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD平

面PAD，∴ABPD⊥，又PDPA⊥，且PAABA=，,PAAB平面PAB，∴PD⊥平面PAB；.......................5分（2）取AD中点为O，连接,COPO，又∵PAPD=，

∴POAD⊥．则1AOPO==，∵5CDAC==，∴COAD⊥，则22512COACOA=−=−=，以O为坐标原点，分别以,,OCOAOP所在直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(0,0,1)P，(1,1,0)B，(0,1,0)D−

，(2,0,0)C，则(1,1,1)PB=−，(0,1,1)PD=−−，(2,0,1)PC=−，(2,1,0)CD=−−，设(),,nxyz=为平面PCD的一个法向量，则由00nPDnPC==，得020yzxz−−=−=，令1z=，则1,1,12n=

−．设PB与平面PCD的夹角为，则11132sincos,311134nPBnPBnPB−−====++‖；......................11分（3）假设在棱PA上存在点M点，使得//BM平面PCD.设AMAP=，0,1，由（2）知，(0,1,0)A，(1,

1,0)B，(0,0,1)P，则(0,1,1)AP=−，(1,0,0)BA=−uur，()(1,0,0)(0,,)1,,BMBAAMBAAP=+=+=−+−=−−，由（2）知平面PCD的一个法向量1,1,12n=−

．若//BM平面PCD，则112022BMn=−++=−=，解得14=，又BM平面PCD，故在棱PA上存在点M点，使得//BM平面PCD，此时14AMAP=..............

..........17分19．（17分）已知圆O的方程为224xy+=．(1)求过点()2,1−的圆O的切线方程；(2)已知两个定点(),2Aa，(),1Bm，其中Ra，0m．P为圆O上任意一点，PAnPB=（n为常数），①求常数n的

值；②过点(),Eat作直线l与圆22:Cxym+=交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【详解】（1）圆22:4Oxy+=的圆心坐标为𝑂(0,0)，半径为2，当过点()2,1−的圆O的切线斜率不存

在时，切线方程为2x=；当斜率存在时，设切线方程为()12ykx+=−，即210kxyk−−−=．由22121kk−−=+∣∣，解得34k=，则切线方程为34100xy−−=．过点()2,1−的圆O的切线方

程为2x=或34100xy−−=．......................5分（2）①设点𝑃(𝑥,𝑦)，则224xy+=，()()()()22222,1PAxayPBxmy=−+−=−+−，PAnPB=，222PAnPB

=，()()()()2222221xaynxmy−+−=−+−，又224xy+=，化简得222222248225axyamnxnymnn+−−=+−−，P为圆O上任意一点，222222224285amnnamnn==+=+，又0m，0n，解得221nam===

，常数2n=．.......................12分②由①知，2a=，1m=，点()2,Et，圆22:1Cxy+=，设00(,)Mxy，M是线段NE的中点，00(22,2)Nxyt−−，又M，N在圆C上，即关于00,xy

的方程组()()2200220012221xyxyt+=−+−=有解，化简得220020018470xyxtyt+=+−−=有解，即直线28470xtyt+−−=与圆22:1Cxy+=有交点，则圆心()0,0到直线

的距离22716416tdt+=+∣∣，化简得：()()42222215530,50ttttt−−=−+−，解得5,5t−．......................17分