【文档说明】广东省汕头市潮南区黄冈实验学校2020-2021学年高一下学期6月第14周周测数学试题含答案.doc，共(27)页，2.656 MB，由小赞的店铺上传

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1黄冈实验学校2020－2021学年下学期高一数学第14周周测试卷姓名班级一、单选题1．已知集合()2log21Axx=−，则A=Rð（）A．4|xxB．|2xx或4xC．{2|xx或4}

xD．|4xx2．若复数z满足13iiz=+(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为（）A．311010i+B．311010i−C．311010i−−D．311010i−+3．已知非零向量,ab满足aab=−，则12abb−=（）A．1−B．0C．12D．14．已知为锐角

，1sin062mm−=，则cos26+=（）A．12m−B．221mm−C．212m−D．221mm−−5．函数()()()11sinπ,πfxxxxx=++−−的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，在三棱锥PABC−中，PC⊥平

面ABC，PAC△是等腰三角形，4PA=，ABBC⊥，CHPB⊥，垂足为H，D是PA的中点，则CDH△的面积最大时，CB的长是（）A．53B．63C．253D．2637．将函数2sin3yx=+

的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移3个单位，则所得图象对应的解析式为（）A．2sin26xy=+B．2sin23yx=−C．22sin23yx=+D．

2sin2xy=8．已知函数()sin()0,||2fxx=+，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4，且直线12x=−是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数()fx的最小正周

期为B．函数()fx在区间,612−上单调递增C．点5,024−是函数()fx图象的一个对称中心6题图2D．将函数()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6个单位长度，可得到()sin2gxx=的图象二、多选题9．

将函数()3cos(2)||2fxx=+的图像向右平移6个单位长度，得到函数()gx的图像，且()gx的图像关于直线712x=对称，则下列结论正确的是（）A．6π=B．3(0)2g=C

．函数()()()hxfxgx=+在区间,2ππ内单调递减D．方程()()fxgx=在区间[0,100]上有201个根10．已知函数()()sin202fxx=+的部分图像如图所示.对于12,[,]xxa

b，且12xx，若()()12fxfx=，都有()1232fxx+=成立，则（）A．3()2fab+=B．()sin23fxxp骣琪=+琪桫C．直线512x=−是()fx图像的一条对称轴D．()fx在3,2

上单调递增11．已知正数a、b满足1ab=，那么下列不等式中，恒成立的有（）A．2ab+B．152abab+++C．1122ab+D．1112ab+12．已知实数,,abc．满足abc且0abc，则下列不等

关系一定正确的是（）A．acbcB．ccabC．2baab+D．lnlnacbc三、填空题13．已知P是ABC的边BC上任一点，且满足APxAByAC=+，xyR+、，则14xy+的最小值为___________.14．已知1sin264+=，则cos3

cos23+=−__________．15．如图，多面体OABCD，2ABCD==，23ADBC==，10ACBD==，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：①三棱锥OABC

−的体积是定值；②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是13；③直线//OB平面ACD；④直线AD与OB所成角是60；⑤二面角AOCD−−等于30°．其中正确的结论是__．16．如图所示，在四边形ABCD中，已知BAAD⊥，10AB=，56BC=，60BAC=，135ADC

=，CD=___________．四、解答题17．已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3tan(2)tanaBcaA=−.（1）求B；（2）若4A=，23b=，求ABC的面积.18．已知平面向量,ab的夹角为60，且||1ab−=．（Ⅰ）求a

b的最大值；（Ⅱ）求()(2)abab−+的最大值19已知四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，60ABC=，1==PAAB，M为BC的中点，且三棱锥PABM−的体积为31

2.（1）求证：平面PAM⊥平面PMD；（2）设点E为四棱锥PAMCD−外接球的球心，求二面角PAME−−的大小.20．设复数11zi=−，2cosθsinθzi=+，其中为锐角.（1）若复数21zzz=在复平面内对应的点在直线2yx=上，求t

an的值；（2）求12zz+的取值范围(其中1z是1z的共轭复数)。21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本()px万元，当产量不大于90万箱时，()992911708pxxx=−−−；当产量超过

90万箱时，()1001002000pxxx=+−−，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（Ⅰ）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口

罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．已知函数()22xxfxa−=+(a为常数，aR).（1）讨论函数()fx的奇偶性；（2）当()fx为偶函数时，若方程((23))fxkfx−=在[0,1]x上有实根

，求实数k的取值范围.4高一数学下学期14次周测（含解析）第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合()2log21Axx=−，则A=Rð（）A．4|xxB．|2xx或4xC．{2|xx或4}xD．|4xx【

答案】B【分析】先解对数不等式()2log21x−得24Axx=，在计算补集即可.【详解】由()2log21x−得()2220log2log2xx−−，解得24x，故()2log2124Axxxx=−=所以A=Rð

|2xx或4x故选：B【点睛】本题考查对数不等式的运算，集合的补集运算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题易错点在于求解过程中忽略对数式的意义（20x−）而出错.2．若复数z满足13iiz=+(i为虚数单位)，复数z的

共轭复数为（）A．311010i+B．311010i−C．311010i−−D．311010i−+【答案】B【分析】根据复数相等，应用复数的除法求z，由共轭复数的概念写出z的共轭复数.【详解】由已知得：(13)3113(13)(13)1010iiiiiizi−===+++−，5∴复

数z的共轭复数为311010i−，故选：B.3．已知非零向量,ab满足aab=−，则12abb−=（）A．1−B．0C．12D．1【答案】B【分析】将||||aab=−两边平方化简后可得212abb=，于是推出1()02abb−=，从而得解．【详解】||||aab=−，

2222aaabb=−+，即212abb=，211()022abbabb−=−=．故选：B．4．已知为锐角，1sin062mm−=，则cos26+=（）A．12m−B．221mm−C．212m−D．221mm−−【答案】

D【分析】由二倍角余弦公式有2cos212sin36−=−−，又22632+=−+，应用诱导公式可得cos2sin(2)63+=−−，即可求值.【详

解】∵为锐角，且102m，∴066−．又22cos212sin1236m−=−−=−，6∴()22242sin211244213mmmmm−=−−=−=−，∴2cos2cos2sin(2)216323mm+=−+

=−−=−−，故选：D．5．函数()()()11sinπ,πfxxxxx=++−−的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据0,x的函数值的正负，排除选项.【详解】因为()()()()11sinfxxxxfx−=−++−−−

=−，所以()fx是奇函数，排除CD，又当0,πx时，()0fx，排除A，所以选B．故选：B【点睛】方法点睛：函数图象的识别可从以下几方面入手：（1）从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性

判断图象的对称性；（4）从函数的周期性判断图象的循环往复；（5）从函数的特殊点判断图象的相对位置．76．如图，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，PAC△是等腰三角形，4PA=，ABBC⊥，CHPB⊥，垂足为H，D是P

A的中点，则CDH△的面积最大时，CB的长是（）A．53B．63C．253D．263【答案】D【分析】由线面垂直的性质证明CHDH⊥，然后求得CDH△的面积（用BC表示），由函数知识求其最大值可得结论．【详解】PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PCAB⊥，同理PCCA⊥，又CBAB⊥，

=PCCBC，,PCCB平面PBC，所以AB⊥平面PBC，而CH平面PBC，所以ABCH⊥，又CHPB⊥，PBABB=，,PBAB平面PAB，所以CH⊥平面PAB，,DHPA平面PAB，所以CHDH⊥

，PCAV是等腰三角形，D是PA中点，PCCA⊥，所以CDPA⊥，设BCx=，由4PA=得22PCAC==，2228PCCBxCHPBx==+，122CDPA==，222222884288xxDHCDCHxx−=−=−=++，所以2222221228(8)2228(8)CDH

xxxxSCHDHxx−−===++△，8令28xm+=，则2222222(8)(8)(16)24128(8)xxmmmmyxmm−−−−+−===+211128241mm=−+−，所以当1242212832m==时，max18y=，即()

max12218CDHS==△．23283x+=，又0x，所以263x=．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查三角形面积的最值问题，解题关键是掌握线面垂直的判定与性质，特别注意在证明线面垂直时，判定

定理的条件需要一一列举出来，缺一不可．否则证明过程不完整．7．将函数2sin3yx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移3个单位，则所得图象对应的解析式为（）A．2sin26xy=+B．2sin23yx=−

C．22sin23yx=+D．2sin2xy=【答案】A【分析】根据正弦型函数图象的变换规律，直接进行伸缩变换和平移变换，即得结果.【详解】先将函数2sin3yx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到12s

in23yx=+，再向右平移3个单位，得到112sin2sin23326yxx=−+=+.故选：A.8．已知函数()sin()0,||2fxx=+，其

图像相邻两条对称轴之间的距离为4，且直线12x=−是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）9A．函数()fx的最小正周期为B．函数()fx在区间,612−上单调递增C．点5,024−是函数()fx图象的一个对称中心D．将函数()fx图象上所有点的横

坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6个单位长度，可得到()sin2gxx=的图象【答案】C【分析】先求出()sin(4)6fxx=−，对四个选项一一验证：对于A：利用周期公式验证；

对于B：直接讨论单调性验证；对于C：代入法验证；对于D：利用图像变换验证.【详解】∵函数()sin()0,||2fxx=+，其图像相邻两条对称轴之间的距离为12=24，∴=4，即()sin(4)fxx=+.∵直线12

x=−是其中一条对称轴，∴4=|12|22k++−，解得：=6−.所以()sin(4)6fxx=−.对于A：函数()fx的最小正周期为2T=，故A错误；对于B：当,612x−时，54,666x

−−，所以()fx不单调，故B错误；对于C：当5=24x−时，55()sin(4)=sin()=012246f−=−−−，所以点5,024−是函数

()fx图象的一个对称中心，故C正确；10对于D：将函数()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6yx=−的图像，再向左平移6个单位长度，得到sin(2)6yx=+，故D错误.故选：C【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，

借助于sinyx=或cosyx=的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．二、多选题9．将函数()3cos(2)||2fxx=+的图像向右平移6个单位长度，得到函数()g

x的图像，且()gx的图像关于直线712x=对称，则下列结论正确的是（）A．6π=B．3(0)2g=C．函数()()()hxfxgx=+在区间,2ππ内单调递减D．方程()()fxgx=在区间[0,100]上有201个根【答案】AD【分

析】根据平移得出()gx，结合对称轴即可求出，判断A；再计算出()0g可判断B；化简求出()hx即可判断C；根据()()fxgx=求解即可判断D.【详解】由题得()3cos263gxfxx=−=−+，由题意知72123k−+=，k

Z，解得56k=−，kZ，因为2，所以6π=，A项正确；11()3cos26gxx=−，则()302g=，B项错误；()3cos23cos23cos266hxxxx=++−=，显然()hx在区间,2ππ

内单调递增，C项错误；由()()fxgx=，得3cos23cos266xx+=−，整理得sin20x=，则2xk=，kZ，又0100πx，则0,1,2,3,,200k=，故方程()()fxgx=在区间0,1

00π上有201个根，D项正确．故选：AD．10．已知函数()()sin202fxx=+的部分图像如图所示.对于12,[,]xxab，且12xx，若()()12fxfx=，都有()1232

fxx+=成立，则（）A．3()2fab+=B．()sin23fxxp骣琪=+琪桫C．直线512x=−是()fx图像的一条对称轴D．()fx在3,2上单调递增【答案】ABC【分析】12由已知正弦函数的性质及其部分图象，A在[],ab上的对称轴为2

abx+=，易得12xxab+=+即可判断正误；B设2abt+=有()1=ft，有()322ft=，即可求值；C、D：利用正弦函数的性质求对称轴方程、增区间，即可判断正误.【详解】A：函数()()sin202fxx=+的图像在[],ab上的对称轴为2abx+=

，对于12,[,]xxab，且12xx，()()12fxfx=，所以1222xxab++=，即12xxab+=+，又()1232fxx+=，所以()123()2fabfxx+=+=，正确；B：设2abt+=，则

()1=ft，即()sin21t+=，则222tk+=+，Zk，即222tk=+−且Zk，又()()()2sin22fabftt+==+()()sin42sink=+−+=−3sin2==，其中

Zk，又02，所以3=，所以()sin23fxx=+，正确；C：令232xk+=+，Zk，得122kx=+，Zk，当1k=−时，512x=−，所以直线512x=−是

()fx图像的一条对称轴，正确；D：令222232kxk−+++，Zk，得51212kxk−++，Zk，当1k=时，7131212x，所以()fx在713,1212

上单调递增，而3713,,21212Ú，错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：根据题设已知的函数性质及部分图象，结合正弦型函数的对称性、最值、单调区间判断各选项的正误.11．已知正数a、b满足1ab=，那么下列不等式中，恒成立的有（）A．2ab+B．15

2abab+++13C．1122ab+D．1112ab+【答案】AB【分析】本题首先可根据22abab+得出2ab+，A正确，然后可令()2abtt+=，设()12yttt=+，根据求导得出函数1ytt=+在)2,+上单调递增，52y，B正确，再然后根据1

1abababab+=+即可得出D错误，最后根据211112abab+=++得出C错误.【详解】A项：因为正数a、b满足1ab=，所以212abab+=，即2ab+，当且仅当1ab==时取等

号，A正确；B项：令()2abtt+=，设1yabab=+++，则()12yttt=+，因为222111tytt−=−=，当2t时0y，所以函数1ytt=+在)2,+上单调递增，15222y+=，即152

abab+++，当且仅当1ab==时取等号，B正确；D项：112ababbaabab+=+=+，当且仅当1ab==时取等号，D错误；C项：因为2111124abab+=++，所以112ab+，当且仅当1ab==时取等号，C错误，故选：AB.【点睛】易错

点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；14（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式

的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知实数,,abc．满足abc且0abc，则下列不等关系一定正确的是（）A．acbcB．ccabC．2ba

ab+D．lnlnacbc【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合比较法、基本不等式进行求解即可.【详解】由已知得0abc或0cba，所以acbc，A项错误；()cbaccabab−−=，因为0ab，0ba−，0c，所以ccab，B项正确；由题意知0ab

，则22babaabab+=，C项正确；当2a=，1b=，1c=−时，显然D项错误．故选：BC第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知P是ABC的边BC上任一点，且满足APxAByAC

=+，xyR+、，则14xy+的最小值为___________.【答案】9【分析】由条件可得1xy+=，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为P是ABC的边BC上任一点，且满足APxAByAC=+，xyR+、，所以1xy+=，15所以()141444552

9yxyxxyxyxxxyyy+=+=++++=，当且仅当4yxxy=，即12,33xy==时等号成立.故答案为：9.14．已知1sin264+=，则cos3cos23+=−__________．【答案】

72【分析】利用二倍角公式求得coscos2326+=+，利用诱导公式求解cossinsin2322326−=+−=+，再代入计算即

得结果.【详解】因为1sin264+=，所以2217coscos212sin123226468+=+=−+=−=，1cossinsin23223264−=+−=+=

，故7cos73812cos423+==−.故答案为：72.【点睛】思路点睛：给角求值问题，一般寻找所求角和已知角之间的关系，结合三角恒等变换或诱导公式转化求值.1615．如图，多面体OABCD，2ABCD==，23ADBC==，10ACBD

==，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：①三棱锥OABC−的体积是定值；②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是13；③直线//OB平面ACD；④直线AD与OB所成角是60；⑤二面角AOCD−−等于30°．其中正确

的结论是__．【答案】①②④【分析】由题意，构造长方体，设OAx=，OBy=，OCz=，由已知解得1x=，3y=，3z=，对于①，根据三棱锥的体积公式可判断；对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，由此可判断；对于③，由//OBAE可判断；对于④，由已知

得DAE即为直线AD与OB所成的角，解三角形可判断；对于⑤，由已知得异面直线CD与OA所成的角大小为二面角AOCD−−的二面角大小，解三角形可判断；【详解】由题意，构造长方体，如下图所示，设OAx=，OBy=，OCz=，则224xy+=，2210xz+=，22

12yz+=，解得，1x=，3y=，3z=，对于①，三棱锥OABC−的体积为113322OCOAOB=，故①对；对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为22213(3)13++=，

17故②对；对于③，由于//OBAE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．对于④，由于//OBAE，则DAE即为直线AD与OB所成的角，由tan3DEDAEAE==，则60DAE=，故④对；对于⑤，

因为AOOC⊥，DCOC⊥，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角AOCD−−的二面角大小，连接OE，则AOE为所求，tan3AEAOEOA==，所以60AOE=∠；⑤错误；故答案为：①②④【点睛】方法点睛：解决几何体相关的外接球等问题时，补全几何体是常用的一

种方法，利用补全的几何体的性质研究原几何体的性质.16．如图所示，在四边形ABCD中，已知BAAD⊥，10AB=，56BC=，60BAC=，135ADC=，CD=___________．【答案】52562+【分析】在ABC中，利用余弦定

理得到2222cosBCABACABACBAC=+−，求出AC；在ADC中，18利用正弦定理，由sinsinCDACDACADC=，即可求出CD.【详解】在ABC中，10AB=，56BC=，60BAC=，由余弦定理可得：2222cosBCABAC

ABACBAC=+−，即215010010ACAC=+−，解得553AC=+或5530AC=−（舍）；又BAAD⊥，所以906030DAC=−=；在ADC中，30DAC=，135ADC=，553AC=+，由正弦定理可得sinsinCDACDACADC

=，所以()155352562222CD++==.故答案为：52562+.四、解答题17．已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan(2)tanaBcaA=−.（1）求B；（2）若4A

=，23b=，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）33+.【分析】根据同角三角函数基本关系及正弦定理化简tan(2)tanaBcaA=−求B；由题意结合正弦定理求得a边，余弦定理求得c边，最后根据面积公式求解即可.【详解】（1）因为tan(2)tana

BcaA=−，所以()sinsinsin2sinsincoscosBAACABA=−.又sin0A，所以sincos2sincossincosBACBAB=−，19即sincossincos2sincosBAAB

CB+=，即sin()sin2sincosABCCB+==.又sin0C，所以1cos2B=，则由0πB，得3B=.（2）由正弦定理sinsinabAB=，得223sin222sin32bAaB===，则由余弦定理得22228121cos22222acbcBacc+−+

−===，解得26c=+(负值舍去)，所以()113sin222633222ABCSacB==+=+△.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要

方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．已知平面向量,ab的夹角为60，且||1ab−=．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求()(2)abab−+的最大值．【答案

】（Ⅰ）12；（Ⅱ）132−.【分析】对等式||1ab−=进行平方，根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合基本不等式进行求解即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）把()(2)abab−+进行化简并构造成关于,ab的双齐次式，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】20（Ⅰ）222

221||1()121212abababababab−=−=+−=+−=rrrrrrrrrrrr221abab+−=rrrr，因为222abab+，所以121ababab+rrrrrr，而1122abab=，所以

ab的最大值12；（Ⅱ）2222()(2)222abababaabbab−+=+−=+−，设,ambn==rr，由（Ⅰ）可知：221abab+−=，即221mnmn+−=，显然0,0mn，因此22222222()2222()(2)22()1

mmmnmnmnnnababmnmmmnmnnn+−+−−+=+−==+−−+，令(0)mttn=，则2222332(2)(2)2221111(2)3(2)3tttttttttt+−−−=+=+−+−+−+−+，设2(2)tkk−=−，则233221133

33kkkkk+=+++++，因此要想()(2)abab−+有最大值，一定有0k，因为33323233kkkk+++=+（当且仅当3kk=时取等号，即3k=时取等号），所以331121133223233kk++=−+++，因此

()(2)abab−+的最大值为132−.【点睛】关键点睛：对于第2问构造关于,ab的双齐次式，通过换元法、基本不等式是求解的关键.19．已知四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，60ABC=，1

==PAAB，M为BC的中点，且三棱锥PABM−的体积为312.21（1）求证：平面PAM⊥平面PMD；（2）设点E为四棱锥PAMCD−外接球的球心，求二面角PAME−−的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°.【分析】（

1）设BCADx==，结合三棱锥PABM−的体积公式，求得2x=，再利用勾股定理，得到AMMD⊥，又由PA⊥底面ABCD，得到PAMD⊥，证得MD⊥平面PAM，进而证得平面PAM⊥平面PMD.（2）连接AC，分别证得

ABAC⊥和AGAD⊥，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PAM和平面PAM的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，设BCADx==，由三棱锥PABM−的体积为312,可得11sin32ABBMABCPA

=332412x=，解得2x=，即2BCAD==，所以ABM为正三角形，所以1AM=，又由四边形ABCD为平行四边形，所以120BCD=，因为1CMCD==，在MCD△中，由余弦定理可得3MD=，则222+=AMMDAD

，所以AMMD⊥，又因为PA⊥底面ABCD，所以PAMD⊥，又由PAAMA=，所以MD⊥平面PAM，因为MD平面PMD，所以平面PAM⊥平面PMD.（2）如图所示，连接AC，在ABC中，由1AB=，2

BC=，由余弦定理得2222212cos601221232ACABBCABBC=+−=+−=，即3AC=，则222ABACBC+=，所以ABAC⊥，22又因为PA⊥底面ABCD，所以22132PCPAAC=+=+=，因此22222125PCCDPD+=+==，则PCD为直

角三角形，由题意知PAD△为直角三角形，且由（1）知，PMD△为直角三角形，于是，取棱PD的中点F，连接FA，FM，FC，则有FPFDFAFMFC====，即四棱锥PAMCD−的外接球的球心E即为棱PD的中点F，取BM的中点G，连接AG，则AGAD⊥，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为

x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,2,0)D，(0,0,1)P，31,,022M，由E为棱PD的中点，可得10,1,2E，设平面PAM的法向量为,,

mxyz=（），则031022mAPzmAMxy===+=，取3y=−，得1x=，所以平面PAM的一个法向量为()1,3,0m=−，设平面AME的法向量为(),,nabc=，则10231

022nAEbcnAMab=+==+=，取1c=，得36a=，12b=−，所以平面AME的一个法向量为31,,162n=−，则33162cos,22323mnmnmn+===，由二面角PAME−−为锐二面角，故

二面角PAME−−的大小为60°.23【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与

棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20．设复数11zi=−，2cosθsinθzi=+，其中为锐角.（1）若复数21zzz=在复平面内对应的点在直线2yx=上，求tan的值；（2）求12zz+的取值范围(其中1z是1z的共轭复数).【答案】

（1）13；（2）(5,21+.【分析】（1）本题首先可根据复数的除法运算得出cosθsinθcosθsinθ22zi-+=+，然后根据复数z在复平面内对应的点在直线2yx=上得出cosθsinθcosθsinθ2+

-=，最后通过计算即可得出结果；（2）首先可求出()121cosθ1sinθzzi+=+++，即可求出212π322sinθ4zz骣琪+=++琪桫，然后根据是锐角得出2sin,142+，最后根据(21

25,322zzù++?úû即可得出结果.【详解】24（1）()()221cosθsinθ1cosθsinθcosθsinθcosθsinθ1122iizizizii+++-+====+--，因为复数21zzz=在复平

面内对应的点在直线2yx=上，所以cosθsinθcosθsinθ2+-=，即cos3sin=，1tan3=.（2）因为11zi=−，所以11zi=+，则()121cosθsinθ1cosθ1sin

θzziii+=+++=+++，()()()22212π1cosθ1sinθ32sinθcosθ322sinθ4zz骣琪+=+++=++=++琪桫，因为是锐角，所以3,444+，2sin,142+，故(2125,322zzù++?ú

û，12zz+的取值范围为(5,21+.【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算法则、两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查共轭复数以及复数在复平面内对应的点，考查复数的模的相关计算，考查运算能力，体现了化归与转化思想，是中档题.21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不

应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本()px万元，当产量不大于90万箱时，()992911708pxxx=−−−；当产量超过90万箱时，()1001002000pxxx=+−−，若每箱口罩售价100元，通过市

场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（Ⅰ）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）2911508,0901700,901001900,1

00xxxyxxxx+−+=+−+；（2）100【分析】（1）分别讨论090x，90100x和100x的情况求出利润即可得出；（2）利用导数求出函数单调性即可得出最值.【详解

】25（1）当090x时，()992911708pxxx=−−−，()9929117100200291150808yxxxxx=−−=+−+−−−，当90x时，()1001002000pxxx=+−−，则当90100x

时，()10010010020002001700yxxxx=−+−−−=+，当100x时，()10010010020002001900yxxxx=−+−−−=−+，综上，2911508,0901700,901001900,100xxxyxxxx+−+=+−+

；（2）（2）当090x时，2911508yxx=+−+，令91tx=−，则191t，则291xt=−，故22912150821599ytttt=−++=−++，则当1t=时，max1600y=，当901

00x时，函数单调递增，当100x=时，max1800y=，当100x时，函数单调递减，综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大.22．已知函数()22xxfxa−=+(a为常数，

aR).（1）讨论函数()fx的奇偶性；（2）当()fx为偶函数时，若方程((23))fxkfx−=在[0,1]x上有实根，求实数k的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1122k−.【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数(

)fx为偶函数时，1a=，列出方程((23))fxkfx−=，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数k的取值范围．【详解】（1）∵函数()22xxfxa−=+的定义域为xR，26又∵()22xxfxa−−=+∴①

当()()fxfx−=时，即2222xxxxaa−−+=+时，可得1a=即当1a=时，函数()fx为偶函数；②当()()fxfx−=−时，即2222()22xxxxxxaaa−−−+=−+=−−

时，可得1a=−即当1a=−时，函数()fx为奇函数.（2）由（1）可得，当函数()fx为偶函数时，1a=，即()22xxfx−=+时，222()(222)222xxxxfx−−=+=+−由题可得，22()()2222

()2(32)22250xxxxxxxxkk−−−−+−−+=+−+−=令22xxt−=+，则有2220502kktktt+−−==∵[0,1]x∴2[1,2]x，12,12x−又∵122222xxxx−+=

+，当且仅当1202xxx==时，等号成立根据对勾函数的性质可知，5222,2xx−+，即52,2t①222220122042081622kkkkkkkk−++−+−+−22222051205201025222kkkkkkkk−++−+−

+此时k的取值不存在；②222220122042081622kkkkkkkk+++−+−+−22222051205201025222kkkkkkkk+++−+−+此时，可得

k的取值为1122k−27综上可得1122k−【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令22xxt−=+，则方程化简为250tkt−−=，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨

论思想和计算能力，属于中档题．