【文档说明】北京市密云区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 【精准解析】.doc，共(20)页，2.171 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）如图所示，全集UR=，{|0}Mxx=，{|11}Nxx=−剟，则图中阴影

部分表示的集合为()A．(−，1]−B．[1−，0)C．(0，1]D．[1−，0]2．（4分）下列选项不正确的是()A．(sin)cosxx=B．(cos)sinxx=C．211()xx=−D．1()2xx=3．（4分）命题“对任意的0x

，3210xx−+„”的否定是()A．00x，3210xx−+B．00x„，3210xx−+C．00x，3210xx−+D．00x„，3210xx−+4．（4分）导函数()yfx=的图象如图所示，在1x，2x，3x，4x中，使得函数()fx取到极大值

的是()A．1xB．2xC．3xD．4x5．（4分）51()xx−的展开式中3x项的系数为()A．5B．5−C．10D．10−6．（4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号

中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为()A．3256B．3255C．3256AD．3255A7．（4分）若随机变量~(1,4)XN，(0)PXm=„，则(02)(PX=)A．122m−B．12m−C．12m−D．1m−8．（4分）设a，bR，则“2(

)0aba−”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．（4分）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是()A．1234rrrrB．4321rrrrC．1342

rrrrD．1243rrrr10．（4分）已知可导函数()fx的导函数为()fx，(0)2021f=，若对任意的xR，都有()()fxfx，则不等式()2021xfxe的解集为()A．(0,)+B．22021(,)e+C．22021(,)e−D．(,0)−

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知(2)nx+的展开式的二项式系数之和为16，则n=；展开式的常数项是．12．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，

设事件A为“三个人去的景点各不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率(|)PAB等于．13．（5分）能说明“若1a，1b，则1ab”是假命题的一组a，b的值依次为．14．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生

的概率是．15．（5分）已知a，b为正实数，直线2yxa=−与曲线(2)ylnxb=+相切，则a与b满足的关系式为，23ab+的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证

明过程.16．（14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（Ⅳ

）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？17．（14分）已知关于x的不等式2560axx−+的解集为{|2}Axxb=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数25()()()(2)fxabxxAabx=+−−的最小值．18．（14分）已知函数

()1fxxlnx=−．（Ⅰ）求()fx在1x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在1[,1]3上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出函数()fx的零点个数．19．（13分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小

于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为27．（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错

误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”？参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．20()PKk…0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.63520．（15分）智能

体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能

体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为Cx和Cy，得到数据如下：序号0102030405060708x36.636.636.536.536.536.436.236.3y3

6.636.536.736.536.436.436.236.4序号0910111213141516x36.636.336.336.536.436.436.336.3y36.636.436.236.536.436.436.436

.3序号1718192021222324x37.236.836.636.536.436.436.736.3y37.036.836.636.536.436.436.736.3（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）从

该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C且不高于38C时处于“低热”状态．

该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．21．（15分）已知函数()1xfxaex=−+，2()3gxxax

=−+，aR．（Ⅰ）证明：函数()fx在(0，(0))f处的切线恒过定点；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意实数b，当1a=时，都有(1cos)(()())0bxfxgx+−…．2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共1

0小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）如图所示，全集UR=，{|0}Mxx=，{|11}Nxx=−剟，则图中阴影部分表示的集合为()A．(−，1]−B．[1−，0)C．(

0，1]D．[1−，0]【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】先确定阴影部分对应的集合为MNMð，再根据集合运算的定义运算即可．【解答】解：阴影部分表示的集合为MNMð，又{|0}Mxx=，{|11}Nxx=

−剟，{|1}MNxx=−…，[1MNM=−ð，0]．故选：D．【点评】本题集合的表示与运算，考查venn图的应用，属于基础题．2．（4分）下列选项不正确的是()A．(sin)cosxx=B．(cos)sinxx

=C．211()xx=−D．1()2xx=【考点】导数的运算【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可．【解答】解：211(sin)cos,(cos)sin,()xxxxxx==−=−，1()2xx=．故选：B．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了

计算能力，属于基础题．3．（4分）命题“对任意的0x，3210xx−+„”的否定是()A．00x，3210xx−+B．00x„，3210xx−+C．00x，3210xx−+D．00x„，3210xx−

+【考点】命题的否定【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题“对任意的0x，3210xx−+„”的否定是”00x，3210xx−+“．故

选：A．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4．（4分）导函数()yfx=的图象如图所示，在1x，2x，3x，4x中，使得函数()fx取到极大

值的是()A．1xB．2xC．3xD．4x【考点】利用导数研究函数的极值【分析】利用函数的图象，结合函数的导数判断函数的极大值即可．【解答】解：由函数的极大值的条件可知，在1x，2x，3x，4x中，1(xx，2)x时，()0fx，函数是增函数，

2(xx，4)x，()0fx，函数是减函数，所以函数在2xx=时，函数取得极大值，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．5．（4分）51()xx−的展开式中3x项的系数为()A．5B．5−C．1

0D．10−【考点】二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中3x项的系数．【解答】解：51()xx−的展开式的通项公式为5215(1)rrrrTCx−+=−，令523r−=，求得1r=，可得展开中3x项的系

数为155C−=−，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．6．（4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色

的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为()A．3256B．3255C．3256AD．3255A【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，分析可得每种颜色有256种色

号，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有0~255种色号，即每种颜色有256种色号，从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成3256256256256=种颜

色，故选：A．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的区别，属于基础题．7．（4分）若随机变量~(1,4)XN，(0)PXm=„，则(02)(PX=)A．122m−B．12m−C．12m−D．1m−【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．【解答】解：因为随机变量~(1,4)XN，所以正态曲线的对称轴为1X=，所以(0)(2)PXPXm==剠，则(02)12PXm=−．故选：C．【点评】本题考查了正态分布的理解和

应用，正态分布曲线的对称性的运用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．8．（4分）设a，bR，则“2()0aba−”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由2()0aba−，得0ab−，即ab，由ab，得0ab−，则2()0aba−„，“2()0aba−”是“ab”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．9．（4分

）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是()A．1234rrrrB．4321rrrrC．1342rrrrD．1243rrrr【考点】相关系数【分析】利用散点图，然后由相关系数的正负以及

散点的集中程度进行分析，即可判断得到答案．【解答】解：由散点图的特征可知，（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，所以10r，30r，20r，40r，又（1）（2）中的散点更为集中，更接近于一条直线，故13rr，24rr，所

以24310rrrr．故选：C．【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，当0r时，表明两个变量正相关；当0r时，表明两个变量负相关；||1r„，且||r越接近于1，相关程度越大；||r越接近于0，相关程度越小．属于基础题．10．（4分）

已知可导函数()fx的导函数为()fx，(0)2021f=，若对任意的xR，都有()()fxfx，则不等式()2021xfxe的解集为()A．(0,)+B．22021(,)e+C．22021(,)e−D．(,0)−【

考点】利用导数研究函数的单调性【分析】依题意，构造函数()()xfxgxe=，可得(0)2021g=，利用导数可得()gx在R上单调递增，再由()2021()(0)xfxegxg解不等式即可．【解答】解：令()()xfxgx

e=，对任意的xR，都有()()fxfx，()()()0xfxfxgxe−=，()gx在R上单调递增，又(0)2021f=，(0)2021g=，()2021()(0)xfxegxg，0x，不等式()2021xfxe

的解集{|0}xx．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知(2)nx+的展开式的二项式系数之和为16

，则n=4；展开式的常数项是．【考点】二项式定理【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n，再利用通项公式，求出展开式的常数项．【解答】解：(2)nx+的展开式的二项式系数之和为216n=，则4n=．根据它的通项公式4142rrrrTCx−+=，令0

r=，可得展开式的常数项是16，故答案为：4；16．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．12．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，B为“甲独自去一个景点”

，则概率(|)PAB等于12．【考点】条件概率与独立事件【分析】利用分步计数原理以及条件概率的计算公式求解即可．【解答】解：甲独自去一个景点，可有3个景点选择，乙和丙只能在剩下的两个景点中选择，所以甲独自去一个景点有32212=种，因为三

个人去的景点不同，则有3216=种，所以概率61(|)122PAB==．故答案为：12．【点评】本题考查了条件概率的求解，分步计数原理的应用，解题的关键是掌握条件概率的计算公式，属于基础题．13．（5分）能说明“若1a，1b，则

1ab”是假命题的一组a，b的值依次为2a=−，2b=−．【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：当2a=−，2b=−时，4ab=，与“若1a，1b，则1ab”是假命题矛盾，故2a=−，2b=−，故答案为：2a=−，2b=−．

【点评】本题考查的知识要点：赋值法的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是0.8．【考点】等可能事件和等可能事件的概率【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生

包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，用组合数写出事件数，得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有3620C=种结果，满足

条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，共有1221424216CCCC+=种结果，根据等可能事件的概率公式得到160.820P==．故答案为：0.8【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，在解题时，注意题目中所说的至少有一名女生的说

法，女生总数是2个，至少有一个就包含两种情况，做到不重不漏．15．（5分）已知a，b为正实数，直线2yxa=−与曲线(2)ylnxb=+相切，则a与b满足的关系式为1ab+=，23ab+的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，结合在切点处的斜率值是

2求出切点，得到切线方程，求得1ab+=，然后利用基本不等式求23ab+的最小值．【解答】解：由(2)ylnxb=+，得22yxb=+，因此曲线(2)ylnxb=+在切点处的切线的斜率等于2，222xb=+，即12bx−=，此时0y=．则切点为1(2b−，0)，相

应的切线方程为12()212byxxb−=−=−+，则1ab−=−+，1ab+=．又0a，0b，23232323()()552526babaababababab+=++=+++=+…．当且仅当23baab=时上式等号成立．故答案为：1ab+=；5

26+．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：（Ⅰ）某内科医生

甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得在剩下的7人中再选3人即可，由

组合数公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得在剩下的7人中选5人即可，由组合数公式计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，用间接法分析：先计算“在9人中选出5人”的选法，排除其中“甲、乙均不能参加”的选法，计算可得答案；（Ⅳ）根据题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科

医生，②队中有3名内科医生和2名外科医生，③队中有4名内科医生和1名外科医生，由加法原理计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有3735C=种选法；（Ⅱ）甲

、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有5721C=种选法；（Ⅲ）在9人中选出5人，有59126C=种选法，甲、乙均不能参加的选法有21种，则甲、乙两人至少有一人参加的选法有12621105−=种；（Ⅳ）分

3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生，有235440CC=种选法，②队中有3名内科医生和2名外科医生，有325460CC=种选法，③队中有4名内科医生和1名外科医生，有415420CC=种选法，则有406020120++=种不同的选法．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及

分步、分类计数原理的应用，属于基础题．17．（14分）已知关于x的不等式2560axx−+的解集为{|2}Axxb=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数25()()()(2)fxabxxAabx=+−−的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等

式及其应用【分析】（Ⅰ）由方程与不等式的关系知2，b是方程2560axx−+=的解，从而由韦达定理求解．（Ⅱ）化简25()4fxxx=+，从而利用基本不等式求解．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式2560axx−+的解集

为{|2}Axxb=，52ba+=，62ba=，解得1a=，3b=，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，25()4242520fxxx=+=…，（当且仅当254xx=，即52x=时，等号成立），故()fx的最小

值为20．【点评】本题考查了方程与不等式的关系，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．18．（14分）已知函数()1fxxlnx=−．（Ⅰ）求()fx在1x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在1[,1]3上的最大值和

最小值；（Ⅲ）写出函数()fx的零点个数．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，结合区间端点的函数值，比较即可得到最值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的单调性

，结合零点的存在性定理进行分析求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数()1(0)fxxlnxx=−，则()1fxlnx=+，所以f（1）1=−，f（1）1=，故切点为(1,1)−，切线的斜率为1，所以()fx在1x=处的切线方程为2yx=

−；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1fxlnx=+，令()0fx=，解得1xe=，当113xe„时，()0fx，则()fx单调递减，当11xe„时，()0fx，则()fx单调递增，又11()213

3fln=−−，11()1fee=−−，f（1）1=−，故()fx在1[,1]3上的最大值为1−和最小值为11e−−；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()fx在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+上单调递增，因为11()10fee=−−，

又当10xe时，0x，1lnx−，即10xlnx−，所以0lim()0xfx→，故函数()fx的零点个数为1个．【点评】本题考查了导数几何意义的应用，利用导数求解函数的最值，函数零点问题的研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19．（13分）有甲、乙两个班级进

行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为27．（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据

列联表的数据，能否在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系”？参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．20()PKk…0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验【分析】

（Ⅰ）由题中的条件，计算列联表中的数据即可；（Ⅱ）由列联表中的数据，计算卡方的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意，两班优秀人数为2105307=人，所以列联表如下：分类优秀非优秀总计甲班104555乙班2

03050总计3075105（Ⅱ）由列联表中的数据可得，22105(10302045)6.1093.84155503075K−=，所以在犯错误的概率不超5%的前提下认为“成绩与班级有关系

”．【点评】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．20．（15分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常

体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温

失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为Cx和Cy，得到数据如下：序号0102030405060708x36.636.636.536.536.53

6.436.236.3y36.636.536.736.536.436.436.236.4序号0910111213141516x36.636.336.336.536.436.436.336.3y36.636.436.236.536.436.436.436

.3序号1718192021222324x37.236.836.636.536.436.436.736.3y37.036.836.636.536.436.436.736.3（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）从该社区中任意抽查

3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C且不高于38C时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是3

7.3C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（Ⅰ）先找到用智能体温计与水银体温计测量结果相同的个数，然后由古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量X

的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅲ）用古典概型的概率公式求出从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率，然后用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式，求解这3个人中至少有1人处于“低热”状态的概率，由计算结果分析即可．【

解答】解：（Ⅰ）表中24人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测量结果相同的序号是：01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，21，22，23，24，共有16中情况，所以所求概率为162243=；（Ⅱ）随机变量X的可能

取值为0x=，1，2，3，由（1）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为23，则2~(3,)3XB，所以0033211(0)()()3327PXC===，1123212(1)()()339PXC===，2213214(2)()()339PXC−==，3303218

(3)()()3327PXC===，所以X的分布列为：X0123P1272949827则2()323EX==；（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N，表中24人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为

02，05，11，17，共4种情况，所以从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为41246=，故这三人中至少有1人处于“低热”状态的概率为：111215()1()666216PN=−=，结论1：因为215()216PN=，接近于

1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态．结论2：因为215()1216PN=，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，相互独立事件的概率乘法公式以及对立事

件的概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（15分）已知函数()1xfxaex=−+，2()3gxxax=−+，aR．（Ⅰ）证明：函数()fx在(0，(0))f处的切线

恒过定点；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意实数b，当1a=时，都有(1cos)(()())0bxfxgx+−…．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（Ⅰ）先求出切点的坐标，再利用导数的几

何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线的方程，由此可以证明切线恒过定点；（Ⅱ）分0a„和0a两种情况进行讨论，利用导函数的正负研究函数()fx的单调性即可；（Ⅲ）构造函数()()()hxfxgx=−，利用导数以及零点的存在性定理可得，在(0,1)上存在0x，使得0()0hx=，即

可得到()hx的单调性，由此确定()hx的最小值0()0hx，即可证明()()0fxgx−，再利用余弦函数的有界性，证明1cos[0bx+，2]，从而证明结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为函数()1xfxaex=−+，则0(0)011faea=−+=+，故切

点为(0,1)a+，又()1xfxae=−，则0(0)11faea=−=−，故切线方程为(1)(1)(0)yaax−+=−−，即(1)1(1)10yaxaxaxy=−+++−−+=，所以函数()fx在(0，(0))f处的切线

恒过定点(1,2)−；（Ⅱ）解：因为()1xfxae=−，①当0a„时，()0fx，故函数()fx单调递减，所以()fx的单调递减区间为R；②当0a时，令()0fx=，解得xlna=−，当xlna−时

，()0fx，则()fx单调递减，当xlna−时，()0fx，则()fx单调递增，所以()fx的单调递增区间为(,)lna−+，单调递减区间为(,)lna−−．综上所述，当0a„时，()fx的单调递减区间为R；当0a时，()fx的单调递增区间为(,)lna−+，单调递

减区间为(,)lna−−．（Ⅲ）证明：当1a=时，()1xfxex=−+，2()3gxxx=−+，令2()()()41xhxfxgxexx=−=+−+，则()24xhxex=+−，则()20xhxe=+对于xR恒成立，所以()hx在R上单调递增，又(0)30h

=−，h（1）20e=−，故在(0,1)上存在0x，使得0()0hx=，即00240xex+−=①，故当0xx时，()0hx，则()hx单调递减，当0xx时，()0hx，则()hx单调递增，所以当0xx=

时，函数()hx取得最小值0()hx，则02000()41xhxexx=+−+②，由①可知，0024xex=−+，代入②中可得，000()(1)(5)hxxx=−−，0(0,1)x，所以0()hx在(0,1)上单调递减，则h（1）0()(0)hxh，即002()2ehx−，

所以()hx的最小值0()0hx，则()0hx，即()()0fxgx−恒成立，又bR，则cos[1bx−，1]，所以1cos[0bx+，2]，故对任意实数b，当1a=时，都有(1cos)(()())0bxfxgx+−…．【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导

数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/619:35:11；用户：1

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