【文档说明】广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三上学期10月第一次诊断测试 数学 Word版含解析.docx,共(10)页,651.509 KB,由管理员店铺上传
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深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学(本试卷共3页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。)2024.10一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1.已知集合2,1,0,1,2,3U=−−,1,2A=,1,0,1B
=−,则()UAB=ð()A.2,3−B.2,2,3−C.2,1,0,3−−D.2,1,0,2,3−−2.1e,2e是平面内不共线两向量,已知12ABeke=−,122CBee=+,123CDee=−,若A,B,D三点共线,则k的值是()A.2−B.2C.3−D.33.
若是第三象限角,且()()5sincoscossin13+−+=−,则tan2的值为()A.5−B.5C.513−D.5134.已知函数()fx的定义域为2,2−,则函数()()1fxFxx+=的定义域为()A.1,3−B.3,1−C.)(1,00,3−D.)
(3,00,1−5.已知函数()()22ln3fxxaxa=−−+在)1,+上单调递增,则a的取值范围是()A.(,1−−B.(),1−−C.(,2−D.()2,+6.已知平面向量1e和2e满足2122ee==,2e在1e上的投
影向量为1e−,则1e在2e上的投影向量为()A.212e−B.12−C.214e−D.2e−7.已知关于x不等式()()20xaxbxc−+−的解集为((,21,2−−,则()A.2c=B.点(),ab在第二象限C.22yaxbxa=+−的最大值为3aD
.关于x的不等式20axaxb+−的解集为2,1−8.已知0a,1x,2x分别是函数()exfxxa=−与()lnxgxax=−−的零点,则1212eaxxx−的最大值为()A.2B.22eC.24eD.28e二、多项选择题:
本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.在ABC△中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的有().A.()sinsinABC+=B.若AB,则sinsinABC.若ABC△为锐
角三角形,则222sinsinsinABC+D.若coscoscos222abcABC==,则ABC△是等边三角形10.已知复数1z,2z,下列说法正确的是()A.1212zzzz+=+B.若120zz−,则12zzC.1212z
zzz=D.若210z,则1z为纯虚数11.若定义在R上的函数()fx,()gx满足()()110fxfx++−=,()()32fxgx++=,()()12fxgx+−=,则下列结论中正确的是()A.
()fx是偶函数B.()gx是周期为4的周期函数C.()()()()12340ffff+++=D.()20130ngn==三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.函数()12xfxa−+=−(0a且1a)恒
过定点P,则点P的坐标为______.13.若曲线exay+=过坐标原点的切线与圆()()22112xy−++=相切,则实数a=______.14.已知323ab=+,则2ab−的最小值为______.四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答
应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.设函数()3sin2cos2fxxx=+,xR.(1)求函数()fx的最小正周期及对称轴方程;(2)若()85f=,求πcos23−的值.16.设()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()45xxfx=+.(1)求函数()fx在
R上的解析式;(2)解关于x的不等式()23xfx.17.已知函数()2e2xfxax=−,aR.(1)求函数()fx的单调区间;(2)若对于任意的0x,都有()1fx恒成立,求a的取值范围.18.已知在ABC△中,满足2sin3coscos3
cosaBbBCcB−=(其中a,b,c分别是角A,B,C的对边).(1)求角B的大小;(2)若角B的平分线BD长为1,且2ac=,求ABC△外接圆的面积;(3)若ABC△为锐角三角形,1c=,求ab+的取值范围.19.已知函数()()ln1afxxax=+−R,且x轴是曲线(
)yfx=的切线.(1)求()fx的最小值;(2)证明:()*111ln2122nnnn+++++N;(3)设()()21ln22xFxxmfmx=−−,()()()11FFnn=,证明:对任意(1,xn,(
)1ln1mxx−−.深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试答案1-8ABADBCDC9-11ABDACDABC12-14()1,1−1−33log2【详解】8.由题意可知1212lne0xxxaax−=−−=,则1212lnexxxax=−=,即121l
n1222111elnlnexxxxxx==,又20x,22ln0xax−=所以2ln0x−,则21ln0x.设()()e0xhxxx=,则()()1e0xhxx=+,所以()hx在()0,+上单
调递增,所以121lnxx=,则121exx=,所以12e1xx=,则()11112222111222eeeeeeexxaxxaaaxxxaxxx−===.设()()20exxxx=,则()22exxxx−=,当02x时
,()0x,当2x时,()0x,所以()x在()0,2上单调递增,在()2,+上单调递减,则()()2max42ex==,所以1212eaxxx−的最大值为24e.故选:C.11.因为()()12fxgx+−=,
所以()()12fxgx−+=.又因为()()32fxgx++=,所以()()31fxfx+=−.又()()110fxfx++−=,则()()130fxfx+++=,即()()2fxfx+=−,所以()()4fxfx+=,故()f
x是周期为4的周期函数.因为()()32fxgx++=,所以()gx也是周期为4的周期函数,选项B正确;因为()()110fxfx++−=,则()()2fxfx+=−−,则()()fxfx−=−−,所以()()fxfx−=,所以()
fx为偶函数,选项A正确;因为()()2fxfx+=−,令1x=,得()()31ff=−,即()()130ff+=,令2x=,得()()42ff=−,即()()240ff+=,故()()()()12340ffff+++=,选项C正确;由()()23gxfx=−+,得()()()
()()()()()123424252627ggggffff+++=−+−+−+−所以()()()()()2015123440ngngggg==+++=,选项D错误.故选:ABC.14.法一:令323abt==+,2t,则3logat=,()
3log2bt=−,∴()233322loglog2log2tabttt−=−−=−,∴22tmt=−,2t,则()()()()2242444242248222ttmttttt−+−+==−++−+=−
−−,当且仅当422tt−=−,即4t=时等号成立,∴233loglog82tt−,即332log83log2ab−=.法二:2234343abb=++,所以2343348abbb−−=++,因此323log2ab−
=.15.(1)πT=,()fx的对称轴ππ62kx=+,kZ(2)45【详解】(1)()π3sin2cos22sin26fxxxx=+=+,则()fx的最小正周期2ππ2T==,ππ2π62xk+=+,kZ,解得π
π62kx=+,kZ,即()fx的对称轴ππ62kx=+,kZ.(2)()π82sin265f=+=,解得π4sin265+=.ππππ4cos2cos2sin232665−=−+=
+=.16.(1)()()45,00,045,0xxxxxfxxx−−+==−+(2)()0,+【详解】(1)当0x时,()45xxfx=+,当0x时,0x−,所以(
)45xxfx−−−=+,因为()fx是定义在R上的奇函数,所以()()fxfx−=−,所以()()45xxfx−−=−+,当0x=时,有()()00ff−=−,从而()00f=,所以()()45,00,045,0xxxxxfxxx−−+==−+.(2)由(1)知,当0x
时,因为40x−,50x−,所以()450xx−−−+,当0x=,()00f=,所以当0x时,()0fx,而当0x时,230x,所以不等式()323fx在(,0−上无解;当0x时,不等式()323fx为45
23xxx+,所以45233xx+.记函数()4533xxgx=+,0x,因为43,()51,3+,所以函数43xy=,53xy=
均为R上的单调增函数,所以函数()4533xgx=+为R上的单调增函数.又()0045011233g=+=+=,所以当0x时,不等式45233xx+的解集为()0,+.从而关于x的
不等式()323fx的解集为()0,+.17.(1)当0a时,()fx的单调递增区间为R,无单调递减区间;当0a时,()fx的单调递减区间为1,ln2a−,单调递增区间为1ln,2a
+.(2)(,1a−【详解】(1)对()2e2xfxax=−求导,可得()22e2xfxa=−,令()0fx=,即22e20xa−=,即2exa=,当0a时,()0fx恒成立,()fx在R上单调递增;当0a
时,2exa=,2lnxa=,1ln2xa=,当1ln2xa时,()0fx,()fx在1,ln2a−上单调递减;当1ln2xa时,()0fx,()fx在1ln,2a+上单调
递增;综上,当0a时,()fx的单调递增区间为R,无单调递减区间;当0a时,()fx的单调递减区间为1,ln2a−,单调递增区间为1ln,2a+.(2)因为对于任意的0x,都有()1fx恒成立,对()2e2xfxax=−求导,可得()22e2xfxa
=−,()0fx=,即22e20xa−=,即2exa=,①当0a时,()0fx,则()fx在()0,+单调递增,()()01fxf=,符合题意;②当01a时,2exa=,则1ln02xa=,则()0fx
,()fx在()0,+单调递增,()()01fxf=,符合题意;③当1a时,2exa=,则1ln02xa=,当10,ln2xa时,()0fx,则()fx在10,ln2a单调递减,当1ln,2xa+时,()0fx,则()fx在1ln,
2a+单调递增,所以()ln11lne2lnln22afxfaaaaaa=−=−,令()lngaaaa=−,1a,则()ln0gaa=−,所以()ga在()1,+上单调递减,所以()()11
gag=,不合题意;综上所述,(,1a−.18.(1)π3(2)2π(3)31,322++【详解】(1)因为2sin3coscos3cosaBbBCcB−=,由正弦定理得2sinsin3sincoscos3sincosABBBCCB−=2sinsin3sinco
s3sincoscosABCBBBC=+()()3cossincossincos3cossinBCBBCBBC=+=+,所以sinsin3sincosABAB=,又sin0A,即tan3B=,且()0,πB,即π3B=.(2)由等面积法:111sin
30sin30sin60222aBDcBDkac+=,即()1344acac+=,即323acac+==,由余弦定理得,()2222222cos3bacacBacacacac=+−=+−=+−()223326=−=,则6b=
,设ABC外接圆半径为R,则6222sin32bRB===,2R=,则ABC外接圆的面积为2π2πR=.(3)由ABC为锐角三角形可得ππ00222πππ00322CCCA−,得ππ62C
,则π3sinsinsin131cos1332sinsinsin22sin22tan2CABCabccCCCCC++++=+==+=+,由ππ62C,得ππ1224C,又ππtantanπππ
34tantan23ππ12341tantan34−=−==−+,所以23tan12C−,则31322ab+++.19.(1)()fx的最小值为()10f=(2)(3)证明如下【详解】
(1)由()()ln1afxxax=+−R得()21afxxx−=,因切线方程为0y=,令()210afxxx=−=,得xa=,故可知切点为(),0a,所以()ln10afaaa=+−=,得1a=,故()1ln1fxxx=+−,()22111xfxxxx=−=−,当()0,1x时
,()0fx,()fx在区间()0,1上单调递减,当()1,x+时,()0fx,()fx在区间()1,+上单调递增,故()fx的最小值为()10f=.(2)由(1)可知()1ln10fxxx=+−,故1lnxx
x−,故()ln11xxx++,1xn=,*nN,则111ln1111nnnn+=++,即11ln1nnn++,即()1ln1ln1nnn+−+,故()()()()()111ln1lnln2ln1lnln1122nnnnnnnn
nnn++++−++−++++−+−++,即()111ln2lnln2122nnnnn+++−=++,即证.(3)由题意()()2lnln12xFxxmxx=−−−−,由()()1
FFn=得()21lnln122nnmnn=−−−−①,要证明对任意(1,xn,()1ln1mxx−−,只需要(1,xn,()11lnxmx−−,令()1lnxGxx−=,()()21ln1ln
xxGxx+=−,(1,xn,令()1ln1Axxx=−+,()221110xAxxxx−=−=,()Ax在区间(1,n上单调递增,故()()10AxA=,故()0Gx,故()Gx在(1,n上递增,故只需证明(1,xn,()11lnnmn−−,由①可知()()()2
11ln12nmnn−=−−−,由(1)可知ln10nn−−,故()()2112ln1nmnn−−=−−,只需证明()()21112ln1lnnnmnnn−−−=−−,化简为1ln201nnn−−+成立即可,令()1ln21xBxxx−=−+
,则()()()22101xBxxx+−=,()Bx在区间(1,n上单调递增,故()()10BxB=,所以1ln201nnn−−+得证.