【文档说明】上海市闵行区七宝中学2021届高三上学期期中考试数学试题.docx，共(23)页，748.718 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集UR=，集合12Axx=−，则UCA=_________.2.若函数2()(4)4,(5)fxxx=−+，则1(5)f−=_________.3.()2147

32limnnn→++++−=_________.4.已知数列na为等差数列，且191,25aa==−，则5a=_________.5.设函数2()41fxxmx=−+在(,2−上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222ab+=，则ab+的取值范围是_

________.7.若函数()2sinsin2fxxx=−在区间0,a上的零点个数为3个，则实数a的取值范围是_________.8.已知两变量x、y之间的关系为lg()lglgyxyx−=−，则以x为自变量的函数y的最小值是_________.9.已知函数()xfxab=−（0

a且1,abR），()1gxx=+若对任意实数x均有()()0fxgx，则14ab+的最小值为_________.10.设函数()sin()(0,0)6fxAxA=−，0,2x若()fx恰有4个零点，则下述结论中：①0()()fxfx恒成

立，则0x的值有且仅有2个；②存在0，使得()fx在80,19上单调递增；③方程1()2fxA=一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数211()1,22fxxx=−−的图像绕着原点旋转弧度(0)，

若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I，用IM表示函数sinyx=在I上的最大值，若有且仅有一个正数a使得0,,2aaaMkM=成立，则实数k的取值范围是_________.二、选择题13.下列

各组不等式中，解集完全相同的是（）A.2611xxxx+++与26xx+B.2(2)(1)0xxxx−+与(2)(1)0xx−+C.(2)(1)01xxx+−−与20x+D.2232111x

xxxxx−+−+−+与321xx−+14.若数列na的前n项和为nS，则“na是递增数列”是“nS为递增数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,MP都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题,则下列说法

必定为真命题的是（）A.MP=B.M中至多有一个元素不属于PC.P中有不属于M的元素D.M中有不属于P的元素16.单调递增的数列na中共有N项，且对任意,,(1),ijkijkNijaa+，jkaa+和kiaa+中至少有一个是na中的项，则N的最大值为（）A.9B.8C.7D.

6三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCDABCD−中，=2AB，3BC=，16AA=.（1）求异面直线1AB与1BC所成角的大小；（2）求点C到平面1ABD的距离.18.已知在ABC中，角,,ABC的对边分

别为,,abc,且(cos2cos)(2)coscBAabC−=−.（1）求ab的值；（2）若3cos,24Cc==，求ABC的面积.19.某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p与日产量x（万枚）间的关系为：1,04,62,4,3xxpx

−=，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y（万元）表示为日常量x（万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%次品数产品总数）.20

.已知双曲线2222:1xyCab−=过点(3,2)M，且右焦点为(2,0)F.（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于,AB两点，交y轴于点P，若PAmAF=，PBnBF=，求证：mn+为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称

点，求证：三角形QAB的面积2310QABS；21.若实数列na满足条件212,1,2,nnnaaan+++=，则称na是一个“凸数列”.（1）判断数列2nann=−+和3()2nnb=是否为“凸数列”?（2）若na是一个“凸数列”，证明：

对正整数,,kmn，当1kmn时，有nmmkaaaanmmk−−−−；（3）若na是一个“凸数列”证明：对1in，有111(1)iniiaaann++−+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集UR=，集合12Axx=−，则UCA=______

___.【解析】()()12,13,Axx=−=−−+，所以1,3UCA=−.2.若函数2()(4)4,(5)fxxx=−+，则1(5)f−=_________.【解析】令2()(4)45(5)fxxx=−+=，解得5x=，所以1(5)5f−=.

3.()214732limnnn→++++−=_________.【解析】()214732limnnn→++++−=2(132)32lim2nxnn→+−=.4.已知数列na为等差数列，且191,25aa==−，则5a=_________.【解

析】由等差数列的性质，得()5191122aaa=+=−.5.设函数2()41fxxmx=−+在(,2−上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m，所以1m.6.

已知222ab+=，则ab+的取值范围是_________.【解析】令2cos,2sinaθbθ==，则2cos2sin2sin2,24ab+=+=+−.7.若函数()2sinsin2fxxx=−在区间0,a上的零点个数为3个

，则实数a的取值范围是_________.【解析】令()2sinsin20fxxx=−=，得2sin2sincos0xxx−=，即sin(1cos)0xx−=，故当)0,x+时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πaπ.8.已知两变量x、

y之间的关系为lg()lglgyxyx−=−，则以x为自变量的函数y的最小值是_________.【解析】由lg()lglgyxyx−=−得00yxxyyxx−−=，所以2(1)xy

x−=，显然1x，所以201xyx=−，故1x，所以22[(1)1]1124111xxyxxxx−+===−++−−−，当且仅当2x=时取等号，故以x为自变量的函数y的最小值是4.9.已知函数()xfxab=−（0a且1,abR），

()1gxx=+若对任意实数x均有()()0fxgx，则14ab+的最小值为_________.【解析】作出(),()fxgx的图像，如图所示，则()xfxab=−过点(1,0)−，所以10ab−−=，即1ab=，因为0a，所以0b，

所以1444babb+=+，当且仅当1,22ab==时取等号，故14ab+的最小值为4.10.设函数()sin()(0,0)6fxAxA=−，0,2x，若()fx恰有4个零点，则下述结论中：①0()()fxfx恒成立，

则0x的值有且仅有2个；②存在0，使得()fx在80,19上单调递增；③方程1()2fxA=一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______.【解析】因为()fx恰有4个零点，所以160,1,2,36kππωxkπxkω

+−===，所以1134662πxπωω++，即19251212ω，①()0fxA=即0262ππωxkπ−=+，由上述知0,1k=，故0x的值有且仅有2个，正确；②当0x=时，66ππωx−=−，当819πx=时，81962πππω−，解得

1912ω，又19251212ω，故存在1912ω=，使得()fx在80,19上单调递增，正确；③11()sin262πfxAωx=−=，而2[3,4)6ππωππ−，所以6π

ωx−可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③.11.函数211()1,22fxxx=−−的图像绕着原点旋转弧度(0)，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ12.对

任意闭区间I，用IM表示函数sinyx=在I上的最大值，若有且仅有一个正数a使得0,,2aaaMkM=成立，则实数k的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa时，[0,][,2]20,,sin,sin2

2aaaπaMaMa==，由0,,2aaaMkM=，得sinsin2aka=，所以12coska=；②当,42ππa时，[0,][,2]2,,sin,12aaaπaπMaM==，由0,,2aaaMkM=，得sinka=；③当,2πa

π时，[0,][,2]2[,2],1,sinaaaaππMMa==，由0,,2aaaMkM=，得1sinka=，所以1sinka=；④当5,4πaπ时，[0,][,2]52[2,],1,sin22aaa

aππMMa==，由0,,2aaaMkM=，得1sin2ka=，所以1sin2ka=，⑤当5,+4πa时，[0,][,2]52[,3],1,12aaaaππMM==由0,,2aaaMkM=，

得1k=，所以1,0,2cos4sin,,421,,sin215,,sin2451,,4πaaππaaπkaπaπaπaπa=

+，作出图像，得实数k的取值范围是1,12.【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I，用IM表示函数sinyx=在上的最大值，若正数a满足0,,22aaaMM=，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa

时，[0,][,2]20,,sin,sin22aaaπaMaMa==，由0,,22aaaMM=，得sin2sin2aa=，所以2cos4a=，无解；②当,42ππa时，[0,][,2]2,,sin,12aaaπaπMaM==

，由0,,22aaaMM=，得sin2a=，无解；③当,2πaπ时，[0,][,2]2,2,1,sinaaaaππMMa==，由0,,22aaaMM=，得12sina=，所以2sin2a=，34πa=；④当5,4πaπ时，[0,][,

2]522,,1,sin22aaaaππMMa==，由0,,22aaaMM=，得12sin2a=，所以2sin22a=，98πa=；⑤当5,+4πa时，[0,][,2]52,3,1,12aa

aaππMM==由0,,22aaaMM=，得无解，综上，34πa=或98πa=.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用IM表示函数sinyx=在闭区间I上的最大值，若正数a满足[0,][,2]2aaaMM，则a的最大值为.【解析】①

当0,4πa时，[0,][,2]20,,sin,sin22aaaπaMaMa==，由[0,][,2]2aaaMM，得sin2sin2aa，所以1cos4a，无解；②当,42ππa时，[0,][,2]

2,,sin,12aaaπaπMaM==，由[0,][,2]2aaaMM，得sin2a，无解；③当,2πaπ时，[0,][,2]2,2,1,sinaaaaππMMa==，由[0,][,2]2aaaMM，得12sina，所以

1sin2a，5,6πaπ；④当5,4πaπ时，[0,][,2]522,,1,sin22aaaaππMMa==，由[0,][,2]2aaaMM，得12sin2a，所以1sin22a，13,

12πaπ；⑤当5,+4πa时，[0,][,2]52,3,1,12aaaaππMM==由[0,][,2]2aaaMM，得无解，综上，513,612ππa，故a的最

大值为1312π.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（D）A.2611xxxx+++与26xx+B.2(2)(1)0xxxx−+与(2)(1)0xx−+C.(2)(1)01xxx+−−与20x+D.2232111xxxxxx−+−+−+与321

xx−+14.若数列na的前n项和为nS，则“na是递增数列”是“nS为递增数列”的（D）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,MP都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（D）A.M

P=B.M中至多有一个元素不属于PC.P中有不属于M的元素D.M中有不属于P的元素16.单调递增的数列na中共有N项，且对任意,,(1),ijkijkNijaa+，jkaa+和kiaa+中至少有一个是na中的项，则N的最大值为

（）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0abcd是na中大于0的最大的4项，对于,,bcd来说，因为,bddcdd++，所以bd+和cd+都不是na中的

项，又由题意得,bcbd++和cd+中至少有一个是na中的项，所以bc+是na中的项，且bcc+，所以bcd+=，对于,,acd来说，因为,addcdd++，所以ad+和cd+都不是na中的项，又由题意得,bcbd++和cd+中至少有一个是

na中的项，所以ac+是na中的项，且acc+，所以acd+=，所以ad=，矛盾，所以na中大于0的最多有3项，同理，na中小于0的最多有3项，加上0，故N的最大值为7，此时存在数列:3,2,1,0,1,2,3na−−−满足题意，故

选C.法二：假设存在三项1,,mNNaaa−为正，则1,NNmNaaaa−++都不是na中的项，所以1mNaa−+是na中的项，且11mNNaaa−−+，所以1mNNaaa−=−，所以数列na中最多有3个正项，同理数列na中最多有3个负项，加上0，故N的最大值为7，此时

存在数列:3,2,1,0,1,2,3na−−−满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCDABCD−中，=2AB，3BC=，16AA=.（1）求异面直线1AB与1BC所成角的大小；（2）求点C到平面1ABD的距离.【解析】（1）连接111,ADBD，则11ADB

C∥，所以11BAD即为所求角，或其补角，()()2212622AB=+=，()()221363AD=+=，()()2211235BD=+=，B1D1A1DC1CBA在11BAD中，由余弦定理得222111

111112cos22ABADBDBADABAD+−==，所以114πBAD=，即异面直线1AB与1BC所成角的大小为4π；（2）11113223222ABDSABAD===，11623222ABCSABBC===，16DD=，设

点C到平面1ABD的距离为h，由等体积法，得11CABDDABCVV−−=，即111133ABDABCSShDD=，所以2h=，所以点C到平面1ABD的距离为2.18.已知在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且(cos2cos)

(2)coscBAabC−=−.（1）求ab的值；（2）若3cos,24Cc==，求ABC的面积.【解析】（1）由已知及正弦定理得sin(cos2cos)(2sinsin)cosCBAABC−=−，得sin()2sin()BCAC+=+，因为ABCπ++=，所以sin2sinAB

=，由正弦定理得2ab=；（2）因为3cos,2,24aCcb===，由余弦定理得222324abcab+−=，即222(2)4344bbb+−=，解得2b=，所以222ab==，又27sin1cos4CC=−=，所以1177sin2222242ABCSabC===.20.某供应商为华

为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p与日产量x（万枚）间的关系为：1,04,62,4,3xxpx−=，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y（万元）表示为日常量

x（万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%次品数产品总数）.【解析】（1）当4x时，23p=，所以123015033yxx=−=，当04x时，16px=−，所以21115(921301566)6xxyxxxxx−=−−

=−−−，所以()21592,04(6)0,4xxxyxx−=−；（2）当04x时，22)15(96xxyx−=−，令)62,6tx=−，则()215962(6)1815(152)ttyttt−−−==−−，所以1815(1

52245ytt−=万元，当且仅当182tt=，即3,3tx==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1xyCab−=过点(3,2)M，且右焦点为(2,0)F.（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线l与双曲线

C的右支交于,AB两点，交y轴于点P，若PAmAF=，PBnBF=，求证：mn+为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证：三角形QAB的面积2310QABS；【解析】（1）由题意得22921,2cab−=

=，又222cab=+，解得223,1ab==，所以双曲线C的方程为2213xy−=；（2）法一：设()()1122,,,,(0,)AxyBxyPt，由PAmAF=得11211mxmtym=+=+，又点A在双曲线上，所以2221131mtmm+−=+，整

理得226330mmt−−−=，同理，由PBnBF=，得226330nnt−−−=，因为,AB两点不重合，所以mn，所以,mn是方程226330xxt−−−=的两根，所以6mn+=，为定值；法二：设()()1122,,,A

xyBxy，由题意得直线l的斜率存在，所以设直线:(2)lykx=−，所以(0,2)Pk−，由2213(2)xyykx−==−，得2222(31)121230kxkxk−−++=，所以221

2122212123,3131kkxxxxkk++==−−，由PAmAF=，PBnBF=得1122(2),(2)xmxxnx=−=−，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)xxxxxxmnxxxx−+−+=+=−−−−22121222212

122()2242(123)6642()4(31)241231xxxxkxxxxkkk+−−+−====−++−−++−，所以6mn+=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Qk，1212122QABQPBQPASSSPQxxkxx=−=−=−，所以()()222

221212124()44QABSkxxkxxxx=−=+−()22242222222212123144(4812)(31)444313131kkkkkkkkkk+−+−=−=−

−−()()222222221212(1)4483131kkkkkk++==−−，因为直线l与双曲线C的右支交于,AB两点，所以22121222121230,03131kkxxxxkk++==−−＞＞，所以2310tk=−＞，

所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABttkkttSttk++++++===−22224854484519215139998tttttt++==++=+−

，因为0t＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABSt=+−−=＞，所以43232.31310QABS，证毕.21.若实数列na满足条件212,1,2,nnnaaan+++=，则称

na是一个“凸数列”.（1）判断数列2nann=−+和3()2nnb=是否为“凸数列”?（2）若na是一个“凸数列”，证明：对正整数,,kmn，当1kmn时，有nmmkaaaanmmk−−−−；（

3）若na是一个“凸数列”证明：对1in，有111(1)iniiaaann++−+.【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)nnnaaannnnnn+++−=−+−+++++−+20=−＜，所以数列2nann=−+不为“凸数列”，因为+21233339221322

224nnnnnnnbbb+++−=+−=+−13042n=，所以数列3()2nnb=为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)kkkaaak−++=，所以11kkkkaaaa+−−−，而()()()()11211

()nmnnnnmmmmaaaaaaaanmaa−−−++−=−++++−−−，所以1mmmnaaaanm+−−−，又()()()()11211()kmkmmmmkmmaaaaaaaamkaa−−−+−−=−++++−−−，所以1mkmmaaaamk

−−−−，故nmmkaaaanmmk−−−−，证毕；（3）①当1i=时，111(1)iniiaaann++−+即21111(1)naaann+−+，由（2）得()1221(1)naanaa+−−−，所以211(1)nnanaa+−+，故21111(

1)naaann+−+，成立；②当in=时，111(1)iniiaaann++−+即11nnaa++，显然成立，③当1in＜＜时，由（2）得1111niiaaaanii+++−−−，所以111

1()()niiiaianiania+++−−−−，所以111()innaiania+++−，故111(1)iniiaaann++−+成立，综上所述，对1in，有111(1)iniiaaann++−+.