【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练42 基本立体图形及几何体的表面积与体积.docx，共(10)页，197.975 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。四十二基本立体图形及几何体的表面积与体积(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知正三角形ABC的边长为a,建立如

图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是()A.√62a2B.√64a2C.√68a2D.√616a2【解析】选D.因为正三角形ABC的边长为a,所以其面积S=√34a2,又因为直观图面积S'与原图形面积之比为√24,即

𝑆'𝑆=√24,所以S'=√24×√34a2=√616a2.2.(5分)(2023·太原模拟)碌碡(liùzhou)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如图,近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆

盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,当人推动木柄时,碌碡在圆盘上滚动.若人推动木柄绕圆盘转动1周,碌碡恰好滚动了3圈,则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为()A.3∶1B.3∶2C.1∶3D.2∶3【解析】选B.由题意可设圆柱形碌碡的高为h,其底面圆的直径为d,则有2π

h=πd×3,所以h∶d=3∶2.3.(5分)某圆锥的侧面积为1,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台,若圆台上底面和下底面半径之比为12,则该圆台的侧面积为()A.12B.√22C.34D.78【解析】选C.设圆台的上底面半径为r,下底面半径为2r,设圆台的母线为l

,则圆锥的底面半径为2r,圆锥的母线为2l,圆锥的侧面积记为S1=12·2π·2r·2l=4πrl=1⇒πrl=14,截去的小圆锥的侧面积记为S2=12·2πr·l=πrl=14,故圆台的侧面积为S1-S2=1-14=34.【加练备选】若一个圆台的高为√3,母线长为2,侧面积

为6π,则该圆台的体积为()A.5√3π3B.7√3π3C.5√3πD.7√3π【解析】选B.设圆台的上底面半径为r',下底面半径为r,母线为l,则圆台的侧面积S=π(𝑟'+𝑟)l=6π,可得r'+r=3,又因为圆台的高h为√3,可知r-r'=√22-(√3)2=

1,故有r'=1,r=2,圆台的体积V圆台=13πh(𝑟'2+𝑟'𝑟+𝑟2)=13π×√3×(1+2+4)=7√3π3.4.(5分)已知长方体所有棱的长度之和为28,一条体对角线的长度为√17,则该长方体的表面积为()A.32B

.20C.16D.12【解析】选A.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,因为长方体所有棱的长度之和为28,所以4(𝑎+𝑏+𝑐)=28,即a+b+c=7,因为一条体对角线的长度为√17,所以a2+b2+c

2=17,因(𝑎+𝑏+𝑐)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=49,解得ab+ac+bc=16,所以该长方体的表面积为2ab+2ac+2bc=32.5.(5分)等体积的球和正方体的表面积分别为S1与S2,则S1与S2的大小关系是()A.S2>S1B.S2<S1C

.S2=S1D.无法确定【解析】选A.若球体的半径为r,则S1=4πr2,若正方体的棱长为a,则S2=6a2,因为球和正方体的体积相等,所以43πr3=a3,则a=r√4π33,故S2=6r2√16π293,所以𝑆1𝑆2=2π3√16π293=√8π327×16π293=√π63<1,

即S2>S1.6.(5分)(多选题)如图所示,圆锥SO的底面半径r=√3,高SO=1,AB是底面圆的一条直径,M为底面圆周上与B不重合的一点,则下列命题正确的是()A.圆锥SO的体积为πB.圆锥SO的表面积为(2√3+3)πC.△SBM的面积的最大

值是√3D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为√3π【解析】选AB.圆锥SO的底面半径r=√3,高SO=1,所以母线长为2;对于A选项,圆锥SO的体积为V=13×π×(√3)2×1=π,所以A正确;对于B选项,圆锥SO的表面积为

S=π×(√3)2+π×√3×2=(2√3+3)π,所以B正确;对于C选项,由轴截面为等腰三角形SAB,且顶角为∠ASB=2∠BSO=2×60°=120°,当等腰△SBM的顶角为90°时,△SBM的面积取得最大值为:S△MSB=12×2×2×s

in90°=2,所以C错误;对于D选项,圆锥的底面圆周长为2√3π,所以侧面展开图的圆心角为α=√3π,所以圆锥侧面展开图中𝐴𝐵⏜的长𝑙𝐴𝐵⏜=√3π2×2=√3π,蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为线段AB,且AB<𝑙

𝐴𝐵⏜=√3π,所以D错误.7.(5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.【解析】正六棱柱体积为6×√34×

22×2=12√3(cm3),圆柱体积为π(12)2·2=π2(cm3),所求几何体体积为(12√3-π2)cm3.答案:12√3-π28.(5分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,点E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1交棱AA1于点F

,则四棱锥B1-BED1F的体积为________,截面四边形BED1F的周长的最小值为________.【解析】由题意可得D1F∥BE,利用切割法可得𝑉𝐵1-𝐵𝐸𝐷1𝐹=𝑉𝐵1-𝐵𝐸𝐷1+𝑉𝐵1-𝐵𝐹𝐷1=𝑉𝐷1-𝐵𝐸𝐵1+𝑉

𝐷1-𝐵𝐹𝐵1=13(12·BB1·BC·AB+12BB1·D1A1·AB)=13×12(5×4×3+5×4×3)=20;将长方体侧面展开,如图所示,当点E为BD1与CC1的交点、点F为BD1与AA1的交点时,截面

周长最小,此时截面的周长为2BD1,而在△BDD1中,BD1=√52+(3+4)2=√74,所以截面的周长的最小值为2√74.答案:202√749.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+√2

,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体:(1)求该几何体中间空心球的表面积S的大小;【解析】(1)连接OM,则OM⊥AB,设OM=r,OB=2

+√2-r,在△BMO中,sin∠ABC=𝑟2+√2-𝑟=√22⇒r=√2,S=4πr2=8π;9.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2+√2,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线B

C旋转一周得到一个旋转体:(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积V.【解析】(2)由已知AC=BC=2+√2,设圆锥的体积为V1,球的体积为V2,所以V=V1-V2=13π(2+√2)3-43π(√2)

3=(203+2√2)π.【能力提升练】10.(5分)(2023·青岛模拟)中国古代数学著作《九章算术》中,记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图所示的曲池,它的高

为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为180°,则该几何体的表面积为()A.15π2+2B.15π2+4C.7π+2D.9π+4【解析】选D.此几何体为一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱,

S表=12×2π(22-12)+12(2π×2+2π×1)×2+1×2×2=9π+4.11.(5分)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,一为

阳马,一为鳖臑.”即一个长方体沿对角面斜解(图1).得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V,由该长方

体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1,V2,V3,则下列选项正确的是()A.V1+V2+V3=32VB.V1=2V2C.V2=3V3D.V3=16V【解析】选D.设长方体的长宽高分别为a,b,c,V=abc,则V1=𝑉2=12abc,V2=13×abc=13abc,V3=13×1

2×abc=16abc,故V1+V2+V3=abc=V,V1=32V2,V2=2V3,V3=16V,则ABC错误,D正确.12.(5分)已知直平行六面体的底面是菱形,若过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是3和4,则这个平行六面体的侧面积是________.【解析】如图,因为六

面体A'B'C'D'-ABCD是直平行六面体,则截面A'ACC',B'BDD'均为矩形,设侧棱A'A=B'B=h,因为截面A'ACC',B'BDD'的面积分别是4和3,则AC=4ℎ,BD=3ℎ.设AC与B

D相交于点O,则由底面ABCD是菱形得AC⊥BD,AO=12AC=2ℎ,BO=12BD=32ℎ,则在Rt△AOB中,有AB=√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=√(2ℎ)2+(32ℎ)2=52ℎ,所以直平行六面体A'B'C'D'-ABCD的侧面积为4×52ℎ×h=10.答案:1013

.(5分)已知一个正方体与一个圆柱的高度均为1,且正方体的表面积与圆柱的侧面积相等,则圆柱的体积为________.【解析】设圆柱底面圆半径为r,由正方体的表面积与圆柱的侧面积相等得2πr=6,故r=3π,故圆柱的体积为π×(3π)2×1=9π.答案:9π14.(10分)如图,半球内有一内接正

方体(即正方体的一个面在半球的底面圆上,其余顶点在半球上).若正方体的棱长为√6,求半球的表面积和体积.【解析】因正方体的棱长为√6,则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径r=12×√6×√2=√3,而半球球心到此

截面小圆距离d=√6,因此半球半径R=√𝑑2+𝑟2=3,所以半球的表面积S=2πR2+πR2=27π,体积V=23πR3=18π.【素养创新练】15.(5分)某餐厅为了追求时间效率,推出一种液体“沙漏”

免单方案(即点单完成后,开始倒转“沙漏”,“沙漏”漏完前,客人所点的菜需全部上桌,否则该桌免费用餐).“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图(1)所示,已知圆锥体底面半径是6cm,高是6c

m;圆柱体底面半径是3cm,液体高是7cm.计时结束后如图(2)所示,此时“沙漏”中液体的高度为()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【解析】选B.如图,圆锥的底面半径是6cm,高是6cm,所以△ABC,△CDE是等腰直角三角形,所以CD=DE,由已知可得:液体的体积为π×32×7=

63π(cm3),圆锥的体积为13π×62×6=72π(cm3),计时结束后,圆锥中没有液体的部分体积为72π-63π=9π(cm3),设计时结束后,“沙漏”中液体的高度AD为xcm,则CD=DE=(6-x)cm,所以13π·(6-x)2·(6-x)=9π,所以(

6-x)3=27,所以x=3,所以计时结束后,“沙漏”中液体的高度为3cm.