【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：22.不等式放缩【高考】.docx，共(10)页，553.191 KB，由小赞的店铺上传

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122.不等式放缩函数与导数中常用到的放缩有三个：（1）1xex+；（2）ln1xx−；（3）ln1xxx−.(放缩成一次函数)ln1xx−，lnxx，()ln1,xx+(放缩成双撇函数)()11ln12xxxx−，()11l

n012xxxx−，()1ln1xxxx−，()1ln01,xxxx−(放缩成二次函数)2lnxxx−，()()21ln1102xxxx+−−()()21ln10,2xx

xx+−（放缩成类反比例函数）1ln1xx−，()()21ln11xxxx−+，()()2ln101,1xxxx++第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1,,,xxxexexeex+

（放缩成类反比例函数）()()110,0,1xxexexxx−−（放缩成二次函数）()()22311110,10,226xxexxxexxxx+++++第三组：指对放缩()()ln112,xexxx−+−−=第四组：三角函数放缩()222111sintan0,sin

,1cos1sin,222xxxxxxxxxx−−−第五组：以直线1yx=−为切线的函数121ln,1,,1,ln,xyxyeyxxyyxxx−==−=−=−=2【例1】【2016·山东卷·理科】()()221lnxfxaxxx−=−

+，aR.（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，证明：()()3'2fxfx+对任意的1,2x成立.解析：（1）()fx的定义域为()0,+；()()()22332122'axxafxaxxxx−−=−−+=.当0a，

()0,1x时，()'0fx，()fx单调递增；()()1,,'0xfx+时，()fx单调递减.当0a时，()()3122'axfxxxxaa−=+−.（1），，当()0,1x或2,xa+时，(

)'0fx，()fx单调递增；当21,xa时，()'0fx，()fx单调递减；（2）2a=时，21a=，在()0,x+内，()'0fx，()fx单调递增；（3）2a时，，当20,xa或()1,

x+时，()'0fx，()fx单调递增；当2,1xa时，()'0fx，()fx单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；3当，

在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（1）知，时，()()22321122'ln1xfxfxxxxxxx−−=−+−−−+23312ln1xxxxx=−++−−，1,2x，令，.则()()()()'fxfxgx

hx−=+，由()1'0xgxx−=可得，当且仅当时取得等号.又()24326'xxhxx−−+=，设，则在x单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()hx在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以()()()()3'122f

xfxgh−+=，即()()3'2fxfx+对于任意的恒成立。【例2】已知()lnafxxxxx=−+，其中aR．（1）讨论()fx的极值点的个数；（2）当nN时，证明：2222341ln2lnlnln2324nnnn++++++．解析：（1）f(x)的定义域为(

0，＋∞)，则22()ln11lnaafxxxxx=+−−=−，令2()lnagxxx=−，x＞0，则233122()axagxxxx+=+=，…………………………………1分①当0a=时，()lnfxx=，令()0fx=，则1x=，4当0＜x＜1时，()0f

x，f(x)单调递减；当x＞1时，()0fx，f(x)单调递增所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．……………………………………………2分②当0a时，()0gx，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递

增，又(1)0ga=−，221(e)(1)0eeaaaagaa=−=−所以g(x)在(1，ea)上存在唯一零点，记为x0，列表：x(0，x0)x0(x0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．……………………………………………4分③

当0a时，令()0gx=，得2xa=−，当0＜x＜2a−时，()0gx，g(x)单调递减；当x＞2a−时，()0gx，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(2a−)＝1ln22a−+，当a≤12e−时，g(x)min≥0，

故f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上无极值点，…………………………………………………………5分当12e−＜a＜0时，g(x)min＝g(2a−)＝1ln22a−+＜0，又(1)0ga=−，0221aa−−，下面证1(2)ln(2)04gaaa

−=−−，………………………………6分令1()ln(2)4aaa=−−(12e−＜a＜0)，222212141e()02444aaaaaa−−+=+=−，所以()a在(12e−，0)上单调递增，所以11ee(2)()()ln102e

e22gaa−=−=+=−，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()，列表：x(0，α)α(α，β)β(β，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点．

……………………………………………7分综上所述，当a≤12e−时，f(x)无极值点；当12e−＜a＜0时，f(x)有两个极值点；5当a≥0时，f(x)有一个极值点．………………………………………………………………8分（2）由（1）知，当a＝0时，f(x)≥f(1)＝－1，所以ln1x

xx−≥，……………………10分即1ln1xx−≥，所以221ln(1)xx−≥，令1nxn+=得故22111111ln()11212nnnnnnn+=−+++++≥＞，222234111111111ln2lnlnln232334122224nnnnnnn++++

+−+−++−=−=++++＞．……12分【演练题组1】1、【2021·四川凉山州一诊·理科】设函数()()22ln=+−−fxxaxax(aR).（1）若1a=，求()fx的极值；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）若nN，证明：()(

)2222123ln12341nnn++++++【答案】：（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】：（1）()fx的定义域为()0,+，当1a=时，()()2111'21()xxfxxxx+−=−−=，若()'0fx，则1x；若()'0fx，则01x,

()fx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增．()()10fxf==极小值，没有极大值．（2）()()()()()21'220xaxafxxaxxx+−=−+−=，1当0a时，若()'0fx，则1x，若()'0fx，则01x

，()fx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，2当012a−，即20a−时，若()'0fx，则02ax−或1x；若()'0fx，则12ax−()fx在,12a−

上单调递减，在(0,)2a−，()1,+上单调递增63当12a−=，即2a=−时，()'0fx恒成立，()fx在()0,+上单调递增．4当12a−，即2a−时，若()'0fx，则01x或2ax−；若()

'0fx，则12ax，()fx在(1,)2a−上单调递减，在(),1,()02a−+上单调递增综上所述：1当2a−时，()fx在(1,)2a−上单调递减，在(),1,()02a−+上单调递增;2当2a=−时，()fx在()0,+上单调递增;3当20a−时，()fx在,12

a−上单调递减，在0,1,()2a−+上单调递增4当0a时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增;（3）由（1）知()2fxxxlnx=−−在()0,1上为减函数，()0,1x时，

()210xxlnxf−−=，2xxlnx−令1nxn=+，得()221nxxn−=−+，()2111nnnlnlnnnn+−=−++，即()211nnlnnn++222132432,,22334lnlnln，…,

()211nnlnnn++，将以上各式左右两边相加得：()2222341123ln2lnlnln232341nnnn++++++++++，()()222212312341nlnnn++++++.2、已知函数()()ln1fxxaxaR=

−+.（1）求函数()fx在区间1,22上的最大值；（2）证明：22212111nennn+++，nN.【答案】：7【解析】：（1）1()fxax=−，因为1,22x，所以11,22x，1分当12

a„时，()0fx…恒成立，此时max()(2)ln221fxfa==−+；······2分当2a…时，()0fx„恒成立，此时max111()ln1222fxfa==−+；·····3分当122a时，由()0fx得112xa„，由

()0fx得12xa„，所以此时max11()lnfxfaa==.·····················4分（2）证明：当1a=时，11()1xfxxx−=−=，由()0fx得01x，由()0fx得1x

，所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以()(1)0fxf=„，即ln1xx−„，当且仅当1x=时等号成立，········6分即ln(1)xx+对(0,)x+都成立.···················7分所以

2222221212ln1ln1ln1nnnnnnnn+++++++++，······8分即222212121ln1112nnnnnnnn+++++

++=.··········9分由于*nN，则111111222221nnn+=++=„.···············10分所以22212ln1111nnnn+++.········

········11分所以22212111ennnn+++.12分3、已知函数()2lnfxaxx=+，其中aR.（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，证明：()21fxxx+−；（3）试比较22222222ln2l

n3ln4ln234nn++++与()()()12121nnn−++（*nN且2n）的大小，证明你的结论.【答案】：8【解析】：（1）函数()fx的定义域为：()0,+，()22'2aaxxfxxx+=+=，①当0a时，()'0fx，所以()fx在()0,+上单调递增

，②当0a时，令()'0fx=，解得2ax=−.当02−ax时，220ax+，所以()'0fx，所以()fx在0,2a−上单调递减；当2ax−时，220ax+，所以()'0fx，所以()fx在,2

a−+上单调递增.综上，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递增；当0a时，函数()fx在0,2a−上单调递减，在,2a−+上单调递增.（2）当1a=时，()2lnfxxx=+，要证明()21fxxx+−，即证ln

1xx−，即证：ln10xx−+.设()ln1gxxx=−+，则()1'xgxx−=，令()'0gx=得，1x=.当()0,1x时，()'0gx，当()1,x+时，()'0gx，所以1x=为极大值点，且()gx在1x=处取得最大值.所以()()10

gxg=，即ln10xx−+.故()21fxxx+−.（3）证明：ln1xx−（当且仅当1x=时等号成立），即ln11xxx−，则有222222222ln2ln3ln1111112323nnn+++−+−

++−222111123nn=−−+++()111123341nnn−−++++111111123341nnn=−−−+−++−+()()()1211112

121nnnnn−+=−−−=++，故：()()()222222121ln2ln3ln2321nnnnn−++++=+.94、已知函数()lnfxxmxm=−+，mR.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若()1,x+，证明：11lnxxx

−；（Ⅲ）对于任意正整数n，2111111222nt+++，求t的最小正整数值.【答案】：【解析】：（Ⅰ）由()11mxmxxfx−==−，若m，则当()0,x+时，()0fx，函数()fx单调递增；若0m，则当10,xm

时，()0fx，函数()fx单调递增，当1,xm+时，()0fx，函数()fx单调递减，所以当0m时，函数()fx的单调递增区间为()0,+；当0m时，函数()fx的单调递增区间为10,m，单调递减区间为1,m+.（Ⅱ

）由（Ⅰ）知，当1m=时，()fx在1x=处取得最大值，最大值为()10f=，所以当1x时，ln1xx−，故当()1,,ln1xxx+−，∴11lnxx−.又11ln1xx−，即1lnxx

x−，故11lnxxx−.（Ⅲ）当1m=时，()ln10xxfx=−+，即ln1xx−，则有()ln1xx+，当且仅当0x=时等号成立，∴*11ln1,22kkk+N.一方面：221111111ln1ln1ln1112222222nnn=++

+++++++=−，即2111111e222n+++.另一方面：当3n时223111111135111111222222264n++++++=

，当3n时，2111111(2,e)222n+++.∵*2111,111222ntt+++N∴t的最小正整数值为3.10