【文档说明】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高二上学期1月数学周测（15）含答案.docx，共(10)页，700.036 KB，由小赞的店铺上传

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东华高级中学高二（上）数学周测（15）一、单选题1．下列结论正确的是（）A．若ab，cb，则acB．若ab，cd，则acbd++C．若ab，cd，则acbdD．若ab，则22ab2．已知等差数列na的前n项和为nS，11a=，24217a

a+=，则10S的值为（）A．70B．80C．90D．1003．在ABC中，6AC=，cos45B=，4C=，则AB的长为（）A．52B．32C．2D．54．已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若3AFBF=，则椭圆C的离心率为（）A．13B．22

C．12D．325．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时釆用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭

子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……

依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.A．3B．4C．5D．66．已知命题p：xR，240xxa−+，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）A．(4,8)aB．[4,8]aC．4aD．[2,10]a

7．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1160BADBAADAA===，则1AC的长为（）A．3B．3C．6D．68．已知1F，2F是椭圆22

12516xy+=的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过1F引12FPF的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．1B．2C．4D．5二、多选题9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关

系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是()2,3,1a=−，()2,3,1b=−−，则12//llB．直线l的方向向量()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥C．两个不同的平面，

的法向量分别是()2,2,1u=−，()3,4,2v=−，则⊥D．直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则//l10．下列表述正确的是：（）A．“76x=”是“1si

n2x=−”的充分不必要条件B．设向量(1,2)=−a，(2,)bx=−，若//abrr，则4x=−C．已知(2,1)ax=−，(1,4)by=−，满足ab⊥，则6xy+=D．“xR，20x”的否

定是“0xR，020x”11．已知等差数列na，其前n项的和为nS，则下列结论正确的是（）A．数列|nSn为等差数列B．数列2na为等比数列C．若,()mnanammn==，则0

mna+=D．若,()mnSnSmmn==，则0mnS+=12．如图，12,FF是双曲线221:13yCx−=与椭圆2C的公共焦点，点A是12,CC在第一象限的公共点，设2C方程为22221xyab+=，则有（）A．

224ab+=B．12AFF△的内切圆与轴相切于点(1,0)C．若121FFFA=，则2C的离心率为23D．若12AFAF⊥，则椭圆方程为22173xy+=三、填空题13．平面的一个法向量()0,1,1n=−r，如果直线l⊥平面

，则直线l的单位方向向量是s=________14．已知圆22:16480Cxyy+−+=与双曲线()2222:10,0yxEabab−=的渐近线相切，则E的离心率为______.15．若正实数x，y满足1xyxy++=，则xy+的最小值是_____．16．如图，半圆O的

直径为2，A为直径延长线上的一点，3OA=，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边ABC.则四边形OACB的面积最大值为_____．四、解答题17．（本题10分）在①23S=，②6bc+=，③3sinsin14BC=这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且27a=，23A=，____________？18．（本

题12分）已知{}na是等差数列，243,7aa==，数列{}nb的前n项和为nS，22=−nnSb.（1）分别求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）记数列nnab的前n项和为nT，求nT.19．（本题12分）如图，在正方体1111ABCDABCD−

中，E为1BB的中点，正方体棱长为2．（1）求证：1//BC平面1ADE；（2）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值；（3）求点C到平面1ADE的距离．20．（本题12分）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设

备后前()*nnN年的支出成本为()2105nn−万元，每年的销售收入95万元．（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈

利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．21．（本题12分）如图1，在MBC△中，24BMBC==，BMBC⊥，,AD别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到PAD△的位置，使90PAB=o，

如图2，连结PB，PC（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；（3）线段PC上是否存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010？若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明

理由.22．（本题12分）已知椭圆22221(0)xyabab+=的一个顶点为(0,3)A−，右焦点为F，且||||OAOF=，其中O为原点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点C满足3OCOF=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求

直线AB的方程．东华高级中学高二（上）数学周测（15）参考答案1-8．BDACCADA9.AC10．ACD11．ABC12．BCD13．220,,22s=−或220,,22s=−14．23315．

222−+16．2317．解：方案一：选条件①.在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，故2228bcbc++=......3分由①23S=和23A=可得1sin232bcA=，从而8bc

=......6分由此可得4220640bb−+=，解得2b=或4.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时2b=或4......10分方案二：选条件②.在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，故2228bcbc++=......3分由②6bc+=可得2680bb−+=，解

得2b=或4......10分因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时2b=或4.方案三：选条件③.在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，故2228bcbc++=......3分由正弦定理

和27a=，23A=得421sinsin3bcBC==，.....6分从而112sinsin83bcBC==，由此可得4220640bb−+=，解得2b=或4.因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时2b=或4......10分18．（1）{}na是等差数列，21

413,37aadaad=+==+=，得1a1,d2==.故21nan=−......3分22=−nnSb，当1n=时，1122Sb=−，故12b=；.....4分当2n时，1122−−=−nnSb，两式相减得到：12nnbb−=，故{}nb为等比数列

，故2nnb=......6分（2）()2112122nnnnannb−==−，.....7分，故()211113...21222nnTn=+++−，.....8分()23111111

3...212222nnTn+=+++−，相减得到：()231111111122...221222222nnnTn+=++++−−......10分整理化简得到：(

)111322122nnnTn−=−−−......12分19．（1）证明：11//ABCD，且11ABCD=，四边形11ABCD为平行四边形，11//BCAD，1BC平面1ADE，1AD平面1ADE，1//BC平面1AD

E．.....3分（2）解：以A为原点，AD、AB、1AA所在的直线分别为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则(0A，0，0)，1(0A，0，2)，1(2D，0，2)，(0E，2，1)，.....5分1(0AA=，0，2)，1(2AD=，0，

2)，(0AE=，2，1)，设平面1ADE的法向量为(nx=，y，)z，则1·220{·20nADxznAEyz=+==+=，令2z=，则2x=−，1y=−，(2n=−，1−，2)，.....8分设直线1AA与平面1ADE所成角为，则sin|

cosn=，111·42|32414·nAAAAnAA===++，故直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值为23．.....10分（3）解：(2C，2，0)，(2AC=，2，0)，平面1ADE所的法向量为(2n=−，1−，2)，点C到平面1

ADE的距离·4223nACdn−−===．.....12分20．（1）设()fn为前n年的总盈利额，单位：万元；由题意可得()()()()22951059010100901019nnnfnnnnn+−=

−−=−−=−−−，.....3分由()0fn得19n，又*nN，所以该设备从第2年开始实现总盈利；.....4分（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221009010

516010fnnnn+−=−−+=−，当5n=时，()fn取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元；.....7分方案二：由（1）可得，平均盈利额为()2100909910100100204010nnnn

fnnnnn+−=−++−−==，....9分当且仅当9nn=，即3n=时，等号成立；即3n=时，平均盈利额最大，此时()120fn=，....10分此时处理掉设备，总利润为12060180+=万元；综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方

案二更合适.....12分21．（1）证：因为A，D分别为MB，MC中点，所以AD//BC．因为BMBC⊥，所以BMAD⊥．所以PAAD⊥．....1分因为90PAB=，所以PAAB⊥．又因为ABAD=A，所以PA⊥平面

ABCD．....2分又因为PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．....3分（2）解：因为PAAB⊥，PAAD⊥，90PAB=，所以AP，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，依题意有()0,0,0A，(

)2,0,0B，()2,2,0C，()0,1,0D，()002P,,，()1,1,1E．则()2,2,2PC=−，()1,0,1DE=，()2,1,0BD=−，()2,0,2BP=−，()2,2,0AC=，()2,0,0AB=．....5分设平

面PBD的一个法向量()111,,nxyz=，则有00BDnBPn==，即111120220xyxz−+=−+=，令12y=得11x=，11z=．所以()1,2,1n=．....7分设直线DE与平面PBD所成角为，则113sincos,326DEn

+===．故直线DE与平面PBD所成角的正弦值为33．....8分（3）解：假设线段PC上存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010．设()000,,Gxyz，()01PGPC=，则()01PGPC=，即()()000,,22,2,2PGx

yzPC=−==−．所以()2,2,22G−，()0,1,0AD=uuur，()2,2,22AG=−.....9分易得平面PAD的一个法向量为()11,0,0n=ur．设平面ADG的一个法向量()2222,,nxyz=，则有2200ADnAGn==，即(

)2222022220yxyz=++−=，令2z=，则()21,0,n=−．若二面角GADP−−的余弦值为31010，则有121212310cos,10nnnnnn==，即()221310101−=−+，....11分解得，112

=−，214=．又因为01≤≤，所以14=．故线段PC上存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010，且14PGPC=．....12分22．（1）椭圆()222210xyabab+=的一个顶点为()0,3A−，3b=，由OAOF=，得3cb==，又由222abc=+，得2228

313a=+=，所以，椭圆的方程为221189xy+=；....4分（Ⅱ）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB⊥，根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，....5分设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为3ykx+=，即3ykx=−，..

..6分2231189ykxxy=−+=，消去y，可得()2221120kxkx+−=，解得0x=或21221kxk=+.....7分将21221kxk=+代入3ykx=−，得222126321213kykkkk=−−=++，点B的坐标为2221263,2121kkkk−

++，点A的坐标为()0,3−，点P的坐标为2263,2121kkk−++9分由3OCOF=，得点C的坐标为()1,0，直线CP的斜率为222303216261121CPkkkkkk−−+=−+−+=，10分又因为CPAB⊥，所以231261kkk=−−+，整理得22

310kk−+=，解得12k=或1k=.....11分所以，直线AB的方程为132yx=−或3yx=−.....12分