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第十章概率10.2事件的相互独立性课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13答案A解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=

23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23,则两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23=49.2.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和23,两人是否获得一等奖相互独立,则

这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A.35B.215C.1315D.815答案C解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-35×1-23=215,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-215=1315.故选C.3.在某

道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为()A.21192B.25192C.35192D.35576答案C解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为512,7

12,34.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为512×712×34=35192.4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是()A.

A与B,A与C均相互独立B.A与B相互独立,A与C互斥C.A与B,A与C均互斥D.A与B互斥,A与C相互独立答案A解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.5.台风在

危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.答案

0.902解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件𝐴,𝐵,𝐶,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(𝐴)=0.2,P(𝐵)=0.3,P(𝐶)=0.1,至少两

颗预报准确的事件有AB𝐶,A𝐵C,𝐴BC,ABC,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(AB𝐶)+P(A𝐵C)+P(𝐴BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7

×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是12,乙能解决的概率是13,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为,问

题得到解决的概率为.答案1323解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-121-13=12×23=13.问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-13=23.7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为

25,34,13,且各自能否被选中相互之间没有影响.(1)求三人都被选中的概率;(2)求只有两人被选中的概率.解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13.(1)∵A,B,C是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P

(C)=25×34×13=110.(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(𝐴BC)=P(𝐴)P(B)P(C)=(1-25)×34×13=320.②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(A𝐵C)

=P(A)P(𝐵)P(C)=25×(1-34)×13=130.③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB𝐶)=P(A)P(B)P(𝐶)=25×34×(1-13)=15.以上三种情况是互斥的.因此,只有两

人被选中的概率为P2=320+130+15=2360.关键能力提升练8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之

间没有影响)()A.1320B.15C.14D.25答案D解析这两项都不合格的概率是(1-15)×(1-14)=35,则至少有一项合格的概率是1-35=25.9.人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对

的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA,aA或Aa”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显

性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,基因对中两个基因分别来自父本和母本,且是随机组合的.若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为()A.

116B.316C.716D.916答案D解析父母决定眼皮单双的基因均为Aa,遗传给孩子的基因可能为AA,Aa,aA,aa,所以孩子为双眼皮的概率为P1=34.同理孩子卷舌的概率为P2=34.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为P=34×34=916.10.设

两个相互独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于()A.29B.118C.13D.23答案D解析由题意知,P(𝐴)P(𝐵)=19,P(𝐴)

P(B)=P(A)P(𝐵).设P(A)=x,P(B)=y,则{(1-𝑥)(1-𝑦)=19,(1-𝑥)𝑦=𝑥(1-𝑦),即{1-𝑥-𝑦+𝑥𝑦=19,𝑥=𝑦.∴x2-2x+1=19,∴x-1=-13,或x-1=13(舍去),∴x=23,即

事件A发生的概率P(A)等于23.11.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有()A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同

,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4”D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反

面”答案CD解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相

互独立事件.12.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该学生在上学路上到第3个路口首

次遇到红灯的概率为427B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为15,13,14,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为25C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概

率为12D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是29答案AC解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-132×13=427,故A正确;对于B,用A,B,

C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1-25=35,故B不正确;对于C,设“从甲

袋中取到白球”为事件A,则P(A)=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=612=12,故取到同色球的概率为23×12+13×12=12,故C正确;对于D,易得P(A𝐵)=P(B𝐴),即P(A)P(𝐵)=P(B)P

(𝐴),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P(𝐴𝐵)=19,所以P(𝐴)=P(𝐵)=13,所以P(A)=23,故D错误.13.(多选题)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5

个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是()A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为13B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为130C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为56D.当开

关合上时,整个电路畅通的概率为2936答案ACD解析由题意知,P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,P(D)=15,P(E)=16,所以A,B两个盒子畅通的概率为1-12×1-13=12×23=13,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为

1-15×16=1-130=2930,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-23×14=1-16=56,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为2930×56=2936,D正确.14.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生

的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为.答案14解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=12时,最大值为14.15.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=16,P(𝐵C)=1

8,P(AB𝐶)=18,则P(B)=,P(𝐴B)=.答案1213解析∵P(AB𝐶)=P(AB)P(𝐶)=16P(𝐶)=18,∴P(𝐶)=34,即P(C)=14.又P(𝐵C)=P(𝐵)P(C)=18,∴P(𝐵)=12,P(B)=12.又P(AB

)=16,则P(A)=13,∴P(𝐴B)=P(𝐴)P(B)=(1-13)×12=13.16.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是12,从按钮第二次被按下起,若前一次出现

红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为13,23;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为35,25.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.(1)求P2的值;(2)当n

∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.解(1)P2=12×13+12×35=715.(2)Pn=Pn-1×13+(1-Pn-1)×35=-415Pn-1+35(n∈N,n≥2).学科素养创新练17.(2021江苏淮安期末)某企业生产两

种如图所示的电路子模块R,Q:要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正

常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.(1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率;(2)若备选电子元件A,B,

C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由.解假设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C正常工作,(1)电路子模块R不能正常

工作的概率为P(𝐴𝐵),由于事件A,B互相独立,所以P(𝐴𝐵)=P(𝐴)P(𝐵)=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02,因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.(2)由于当

1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块Q才能正常工作,①若1号位元件为电子元件A,则电路子模块Q正常工作的概率为P(A)[1-P(𝐵𝐶)]=0.7×(1-0.

2×0.1)=0.686;②若1号位元件为电子元件B,则电路子模块Q正常工作的概率为P(B)[1-P(𝐴𝐶)]=0.8×(1-0.3×0.1)=0.776;③若1号位元件为电子元件C,则电路子模块Q正常工作的概率为P(C)[1-P(𝐴𝐵)]=0.9×(1-0

.3×0.2)=0.846.