【文档说明】云南省昆明市2021届高三“三诊一模”高考模拟考试（5月）文科数学试卷 含解析.doc，共(22)页，1.259 MB，由小赞的店铺上传

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2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．[﹣1，1]D．{﹣2，﹣

1，0，1，2}2．已知向量＝（0，3），＝（4，0），则cos＜，﹣＞＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．给出下列三个结论：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R）是纯虚数，则a＝1；②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数z满足|z|＝1，则z

在复平面内所对应点的轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．34．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”．其中这

6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）A．B．C．

D．5．△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知等差数列{an}的公差为d，有下列四个等式：①a1＝﹣1；②d＝1；③a1+a2＝0；④a3＝3．若其中只有一个等式不成立，则

不成立的是（）A．①B．②C．③D．④7．已知圆周率π满足等式．如图是计算π的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（）A．B．C．D．8．已知平面α截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A．4πB

．8πC．16πD．32π9．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相

等的反向波曲线可以为（）A．B．C．D．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln3≈1.09）A．9B．10C．11

D．1211．设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|＝2a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）A．y＝±xB．C．D．y＝±2x12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*）

，则a100＝（）A．414B．406C．403D．393二、填空题（共4小题）.13．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+2y的最小值为．14．已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，a2a8＝4a5，b5＝a5，则b2+b8＝．

15．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为．（只需填一组）甲124711乙12ab1016．已知函数两个不同的零点，则实数a的

取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，A＝60

°，D为BC边上一点，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面积为，求AD的长．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1

为菱形．（1）证明：B1C⊥平面ABC1；（2）若BC＝2，AB＝1，∠BCC1＝60°，求四棱锥C1﹣ABB1A1的体积．19．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家

庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i＝1，2，⋯，8）得到如表．家庭（i）1

2345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现

实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重．通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标．根据联合国粮农组织提出的标准，恩格

尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数．参考数据：，，，．附：回归方程

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．20．已知函数f（x）＝mx3+n，曲线y＝f（x）在点处的切线方程为3x﹣3y+1＝0．（1）求实数m，n的值；（2）令g（x）＝f（x）+ax2﹣3a2x，函数g（x）的极大值与极小值之差等于，求实数a的值．21．已知抛物线E

：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为T，点G在E上且GF⊥x轴，△GTF的面积为．（1）求E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a＞0），点A是E上任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接

BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的

题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的极坐标

方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|＝|AB|，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式2a+3b+4c≤|x|+|x﹣1|（x∈R）恒

成立．（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a＞﹣，b，c＞﹣，2a+3b+4c取得最大值时，证明：++≥3．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣

2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．[﹣1，1]D．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：A．2．已知向量＝（0，3），＝（

4，0），则cos＜，﹣＞＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵向量＝（0，3），＝（4，0），∴＝（﹣4，3），∴cos＜，﹣＞＝＝＝．故选：A．3．给出下列三个结论：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R）是纯虚数，则a＝1；②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数

z满足|z|＝1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①若复数z＝（a2﹣a）+ai（a∈R）是纯虚数，则，解得a＝1，故①正确；②因为复数＝＝1+i，则复数z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限，故②错误；③设

z＝x+yi（x，y∈R），因为复数z满足|z|＝＝1，所以x2+y2＝1，即z在复平面内所对应点的轨迹是圆，故③正确；综上所述，所有正确结论的个数是2个，故选：C．4．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”

“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”．其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．若某人计划在今年暑假期间从

这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）A．B．C．D．解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游

，基本事件总数n＝，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m＝＝5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P＝＝．故选：A．5．△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）A

．B．C．D．解：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，可知：△ABC是等腰直角三角形，设：BC＝2c，AC＝2c，AB＝2由椭圆的定义可知：2+2c＝2a，则椭圆的离心率：＝＝．故选：D．6．已知等差数列{an}的公差为d，有下列四个等式：①a1＝﹣1；②d＝1；

③a1+a2＝0；④a3＝3．若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）A．①B．②C．③D．④解：假设①②成立，则a1＝﹣1，d＝1，a1+a2＝﹣1+0＝﹣1≠0，③不成立，a3＝2≠3，④不成立；故①②不可能同时

成立，则③④一定同时成立，即a1+a2＝0，a3＝3，所以，解得d＝2，a1＝﹣1，所以②不成立．故选：B．7．已知圆周率π满足等式．如图是计算π的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（）A．B．C．

D．解：模拟程序的运行过程知，k＝1，S＝0，满足条件k＜N；S＝1，k＝2，满足条件k＜N；S＝1﹣，k＝3，满足条件k＜N；S＝1﹣+，k＝4，满足条件k＜N；…S＝1﹣+﹣+﹣+﹣+...，k＝n，根据以上分析判断空白处应填写S＝S﹣．故选：D．8．已知平面α截球O所得截面圆

半径为，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．32π解：如图，设平面α截球O所得小圆为圆G，圆心为G，由题意可得，PG＝3，AG＝，再设球的半径为R，则，解得：R＝2．∴球O的表面积为4πR2＝4π×4＝

16π．故选：C．9．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）A．B．C．D

．解：根据曲线在上大致图象，可得Asin（0+）＝1，∴A＝2．再根据五点法作图，可得ω×+＝π，∴ω＝π，故函数的解析式为y＝2sin（πx+），故选：D．10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，

y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln3≈1.09）A．9B．10C．11D．12解：由题意可知＝8k，∴，即，∴，∴，∴≈10.9．故选：C．11．设F1，F2是双曲线的左，右焦

点，点P在C上，若，且|OP|＝2a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）A．y＝±xB．C．D．y＝±2x解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a，因为PO为△PF1F2的中线，所以2＝+，两边平方，得42＝2+2+2•，即为1

6a2＝m2+n2+2mncos＝（m﹣n）2+3mn＝4a2+3mn，解得mn＝4a2，在△PF1F2中，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝（m﹣n）2+mn＝4a2+4a2，所以c＝a，所以b＝＝a，所以双曲线的渐近线方

程为y＝±x．故选：A．12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝4n2（n≥2，n∈N*），则a100＝（）A．414B．406C．403D．393解：根据题意，数列{an}满足Sn+Sn﹣1＝4n2，（n≥2）

①则有Sn﹣1+Sn﹣2＝4（n﹣1）2，（n≥3）②①﹣②：Sn﹣Sn﹣2＝an+an﹣1＝8n﹣4，（n≥3），则有a2+a3＝20，a4+a5＝36，……a98+a99＝8×99﹣4＝788，故有（a2+a3+a4+a5……a98+a99）＝20+36+……8n﹣4+……+788＝＝1

9796，则S99＝a1+（a2+a3+a4+a5……a98+a99）＝19797，对于Sn+Sn﹣1＝4n2，当n＝100时，有S100+S99＝2S99+a100＝40000，则a100＝40000﹣2S99＝406；故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13

．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+2y的最小值为1．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由z＝﹣x+2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1+2＝1．故答案为：1．14．已知{an}是等比数列，{bn}是等

差数列，a2a8＝4a5，b5＝a5，则b2+b8＝8．解：设等比数列{an}的公比为q，由a2a8＝4a5，得，∴，即a5＝4．∴b5＝a5＝4，又{bn}是等差数列，∴b2+b8＝2b5＝2×4＝8．故答案为：8．15．甲、乙两组数据如表所示，其中a，

b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））．（只需填一组）甲124711乙12ab10解：设甲，

乙两组数据的平均数分别为x1，x2，方差分别为，因为甲，乙两组数据的平均数相等，所以1+2+4+7+11＝1+2+a+b+10，解得a+b＝12，x1＝x2＝5，因为＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2

+（11﹣5）2]，＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2+（10﹣5）2]，因为，且a，b∈N*，所以满足条件的（a，b）可以是（6，6），（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）．故答案为：（6，6）

（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））16．已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是．解：函数两个不同的零点，等价于方程在（0，+∞）上两个不同的根，axex＝lnx+x有两个不同的根，令t＝xex，则lnt＝

lnx+x，因为t＝xex在（0，+∞）上单调递增，所以t＞0，故方程变形为at＝lnt，即a＝在（0，+∞）上两个不同的根，令g（t）＝，则g'（t）＝，令g'（t）＝0，则t＝e，当0＜x＜e时，g'（t）＞0，则g（t）单调递增，当x＞e时，g'（

t）＜0，则g（t）单调递减，所以当t＝e时，g（t）取得最大值，当x→0时，g（t）→﹣∞，当t→+∞时，g（t）→0，作出g（t）的图象如图所示，由题意可知，函数y＝g（t）与y＝a的图象有两个不同的交点，由图象可知，实数a的取值范围

是．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，A＝60°，

D为BC边上一点，BD＝2CD．（1）若CD＝1，求sinC；（2）若△ABC的面积为，求AD的长．解：（1）依题意得BD＝2，则BC＝3，在△ABC中，由正弦定理得：，即，所以．（2）因为，所以b＝4，由BD＝2CD可得，，则＝+，＝＝，所以．18．如图，在三棱柱ABC

﹣A1B1C1中，AB⊥BC，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为菱形．（1）证明：B1C⊥平面ABC1；（2）若BC＝2，AB＝1，∠BCC1＝60°，求四棱锥C1﹣ABB1A1的体积．【解答】（1）证明：因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC

，又AB⊥BC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面BCC1B1，又B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，而AB∩BC1＝B，且AB、BC1⊂平面AB

C1，所以B1C⊥平面ABC1．（2）解：过C1作C1D⊥BC，垂足为D，四边形BCC1B1为菱形，∠BCC1＝60°，所以△BCC1是正三角形，所以D为BC中点，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，又C1D⊥BC，C

1D⊂平面BCC1B1，所以C1D⊥平面ABC，因为BC＝2，∠BCC1＝60°，所以，由AB＝1，BC＝2，，∠ABC1＝90°，所以＝．19．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫

，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i＝1，2，⋯

，8）得到如表．家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），

并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重．通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平

的有效指标．根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户

数．参考数据：，，，．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．解：（1）由题意可知，，，所以，故，所以y关于x的回归方程为，的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元；（2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩

格尔系数如下表所示：家庭（i）12345678恩格尔系数33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.2%所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为（

户）．20．已知函数f（x）＝mx3+n，曲线y＝f（x）在点处的切线方程为3x﹣3y+1＝0．（1）求实数m，n的值；（2）令g（x）＝f（x）+ax2﹣3a2x，函数g（x）的极大值与极小值之差等于，求实数a的值

．解：（1）f'（x）＝3mx2，由题意得即解得（2）由（1）得，所以，g'（x）＝x2+2ax﹣3a2＝（x+3a）（x﹣a），①当a＝0时，g'（x）≥0，则g（x）无极值，与题设矛盾，所以a≠0．②当a＞0时，g（x）在（﹣∞，﹣3

a），（a，+∞）上单调递增，在（﹣3a，a）单调递减．所以g（x）极大值为g（﹣3a）＝9a3+1，极小值为，所以，解得．③当a＜0时，g（x）在（﹣∞，a），（﹣3a，+∞）上单调递增，在（a，﹣3a）单调递减．所以g（x）极大值为，极小值为g（﹣3

a）＝9a3+1，所以，解得．综上所述，实数a的值为．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为T，点G在E上且GF⊥x轴，△GTF的面积为．（1）求E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R

（4a，0）（a＞0），点A是E上任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值．解：（1）

由题意得|TF|＝p，因为点G在E上且GF⊥x轴，所以|GF|＝p，则，解得，所以E的方程为y2＝x．（2）证明：设A（m2，m）（m≠0），直线AB的方程为x＝ty+a，代入E的方程，得y2﹣ty﹣a＝0，所以myB＝﹣a，所以，所以，同理

可得C（4m2，2m），，所以，，则，所以直线AB与CD的斜率之比为定值2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在

平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O

），若|OM|＝|AB|，求a．解：（1）已知曲线C1：（t为参数），转换为直角坐标方程为：，根据转换为曲线C1的极坐标方程为：；曲线C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．根据转换为曲线C2的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2＝a2．（2）将代入，得

，即，解得ρ1＝1，，所以．又，而|OM|＝|AB|，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式2a+3b+4c≤|x|+|x﹣1|（x∈R）恒成立．（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a＞﹣，b，c＞﹣，2a+3b

+4c取得最大值时，证明：++≥3．【解答】（1）解：∵|x|+|x﹣1|＝，作出函数f（x）＝|x|+|x﹣1|的图象如图：由图可知，f（x）的最小值为1，∵不等式2a+3b+4c≤|x|+|x﹣1|（x∈R）恒成立，∴2a+3b

+4c的最大值为1；（2）证明：∵a＞﹣，b，c＞﹣，∴++＝（++）[（2a+1）+（3b﹣1）+（4c+2）]×＝（）×≥×＝9×．当且仅当a＝0，b＝，c＝时等号成立．