【文档说明】重庆市第十八中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.675 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度重庆18中学校高2022级4月月考卷高一下数学测试题考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共12题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.平面向量(1,2)a=−，(2,)bx=−，若//ab，则x等于A.4B.4−C.1−D.2【答案】A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知1(2)(2)4x=−−=，所以4x=.考点：向量共线的坐标表示.2.已知向量a，b，c中任意

两个都不共线，但ab+与c共线，且bc+rr与a共线，则向量abc++=（）A.aB.bC.0D.0【答案】C【解析】【分析】根据共线向量的基本定理可得出abc+=，bca+=，两式作差得出()()11a

c+=+，进而可得出1==−，由此可得出结果.【详解】由于ab+与c共线，则存在R，使得abc+=，bc+rr与a共线，则存在R，使得bca+=，两式相减得acca−=−，即()()11ac+=+，由于向量a，b，c中任意两个都不共线，所以，110+=+=，得1

==−，则abc+=−，因此，0abc++=.故选：C.【点睛】本题考查利用共线向量基本定理的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量()3,4n=，向量n与m垂直，且2mn=，则m的坐标为（）A.()8,6B.()6,8C.

()8,6−D.()8,6−或()8,6−【答案】D【解析】【分析】设(),mxy=，根据垂直向量和向量模的坐标表示得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出m的坐标.【详解】设(),mxy=，()3,4n

=，nm⊥，2mn=，则2234010xyxy+=+=，解得86xy==−或86xy=−=.因此，()8,6m=−或()8,6m=−.故选：D.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及向量模和垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.4.已知O、A、B

、C为同一平面内的四个点，若20ACCB+=，则向量OC等于（）A.2133OAOB−B.1233OAOB−+C.2OAOB−D.2OAOB−−【答案】C【解析】【分析】由ACOCOA=−，CBOBOC=−代入20ACCB+=可得出OC关

于OA、OB的表达式.【详解】20ACCB+=，()20OCOAOBOC−+−=，因此，2OCOAOB=−.故选：C.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查计算能力，属于基础题.5.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3a=，3A=，si

n2sinCB=，则ABC的周长为（）A.323+B.326+C.333+D.336+【答案】C【解析】【分析】根据sin2sinCB=，得到2cb=，利用余弦定理，得到关于b的方程，从而得到,bc的值，得到

ABC的周长.【详解】在ABC中，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===因为sin2sinCB=，所以2cb=因为3a=，3A=，所以由余弦定理得2222cosabcbcA=+−即22194222bbbb=+−，解得3b=，所以223cb==所以ABC的周

长为333+.故选C.【点睛】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.6.在ABC中,内角,,ABC所对的边为,,,60,4abcBa==,其面积203S=,则c=()A.15B.16C.20D.421【答案】C【解析】【分析】由题意结合三角形面积公式

求解c的值即可.【详解】由三角形面积公式可得：11sin4sin6020322ABCSacBc===，据此可得：20c=.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.点()1,0A，()0,1B

，点C在第二象限内，已知56AOC=，2OC=uuur且OCOAOB=+，则、的值分别是（）A.1−、3B.3−、1C.1、3−D.3、1−【答案】B【解析】【分析】求出向量OC的坐标，利用向量的坐标运算可得出实数、的值.【详解】2OC=，()1,0A，56AOC

=，且点C在第二象限内，()552cos,2sin3,166OC==−，又()0,1B，()(),3,1OCOAOB=+==−，因此，3=−，1=.故选：B.【点睛】本题考查利用向量的坐标

求参数，考查计算能力，属于基础题.8.正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF=（）A.1123ABAD−B.1142ABAD+C.1132ABDA+D.1223ABAD−.【答案】D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算。【

详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴11122323EFEDDAABBFABADABADABAD=+++=−−++=−。故选：D。【点睛】本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得。9

.已知平面向量a，b的夹角为23，且()8aab−=，2a=，则b等于（）A.3B.23C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的概念展开式子进行计算即可.【详解】因为()8aab−=，所以8aaab−=，即2cos,8aabab−=，代入数值，得到：14282b+

=，解得4b=.故答案为D.【点睛】本题考查了向量数量积的定义，属于基础题.10.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量,ABaACb==，则AD等于()A.2a－2(1)2+bB.－2a＋2(1)2+

bC.－2a＋2(1)2−bD.2a＋2(1)2−b【答案】B【解析】【详解】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝22，∴ADuuuv＝212−a＋212+(b－a)＝－2

a＋212+b，故选B.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的

关系构造关于未知量的方程来进行求解．11.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2c=，cossinaCcA=，若当0ax=时的ABC有两解，则0x的取值范围是（）A.()1,2B.()1,3C.()2,2D.()3,2【答

案】C【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想求得4C=，根据ABC有两解可得出sinaCca，进而可求得0x的取值范围.【详解】cossinaCcA=，由正弦定理边角互化思想得sincossinsinACAC=，0A，sin0A，得sincosCC=，

则tan1C=，0C，4C=.2c=，且ABC有两解，sinaCca，即00222xx，解得022x.因此，0x的取值范围是()2,2.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了利用三角形解的个数求参数的取值范围，可计算能力，属于中等题.

12.已知集合(,)|()Mxyyfx==，若对于任意11(,)xyM，存在22(,)xyM，使得12120xxyy+=成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①2(,)|logMxyyx==；②(,)|sin1Mxyyx==+；③1(,)|Mxyyx==

；④(,)|2xMxyye==−.其中是“垂直对点集”的序号是（）A.①②B.②③C.①④D.②④【答案】D【解析】不妨设1122(,),(,)AxyBxy，12120xxyy+=成立，所以OAOB⊥，即以O

为直角顶点的AOB，对任意点A,在有边OB与曲线相交．由于①中，因为A（1,0）点的垂直对称点不存在，所以不符．②画出三角函数的图像，显然090AOB=转动时，OB与曲线都有交点，所以②对．③中，显然A（1,1），角AOB与曲线没有交点，不符．④中，画出曲线与直角AOB，也都有交点

，所以符合，综上②④对，选D.【点睛】对于新定义题型，我们需尽量转化为己学过的相关的知识点或基本处理方法，本题转化为几何意义就是OA与OB垂直，每确定一点A,就需在在曲线上找到一点B使OA与OB垂直，所以把直角AOB

绕关O点转，使得与图像有两个以上交点即可．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13.已知向量(),2axx=−，()3,4b=.若//abrr，则a=________

.【答案】10【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示计算出实数x的值，进而利用向量模的坐标表示可求得ar.【详解】(),2axx=−，()3,4b=，且//abrr，()324xx−=，解得6x=−，则()6,8a=−−.因此，()()226810a=−+−=.故答案为：10.【点睛】本题

考查利用共线向量的坐标表示求参数，同时也考查了利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.14.若ABC的面积为43，且角3B=，则ABBC=________.【答案】8−【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出ABBC的值，再利

用平面向量数量积的定义可计算出ABBC的值.【详解】ABC的面积为13sin4324ABCSABBCBABBC===，16ABBC=.因此，()1coscos1682ABBCABBCBABBCB=−=−=−=−

.故答案为：8−.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.设A是平面向量的集合,a是定向量,对xA，定义()()2fxxaxa=−，现给出如下四个向量：()22221300442222aaaa

====−①，；②，；③，；④，，那么对于任意xyA，，使()()fxfyxy=恒成立的向量a的序号是________(写出满足条件的所有向量a的序号).【答案】①③④【解析】【分析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得.【详

解】对于①，当()00a=，时，()fxx=满足()()fxfyxy=；当0arr，因为()()2fxxaxa=−，()()2fyyaya=−，所以()()24()()4()()fxfyxyayaxax

aya=−+若使得()()fxfyxy=恒成立，则只需21a=，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()(

)fxfy的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.16.在梯形ABCD中，已知//ABCD，22ABCD==，12ADABADAB=，动点E和F分布在线段CD和BC上，且BABE的最大值为72，则4ACAF的取值范围为_____

___.【答案】7,10【解析】【分析】设()01CECD=，根据平面向量的数量积的运算律可知当点E在D处时，BABE最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N，则BABE取最大值72时，以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设()01CFkCBk=，利用向量的坐标运算可

求得4ACAF的取值范围.【详解】由于1cos2ADABBADADAB==，且0BAD，3BAD=，设()01CECD=，则BEBCCEBCCD=+=+，()()BABEBABCCEBABCCDBABCBACD=+=+=+，当1=时，即当点

E在D处时，BABE最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N，则BABE的最大值为()72BABDBABMMDBABMBABM=+===，74BM=，14AM=，34BN=，以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标

系，如图，则()0,0A、()2,0B、53,44C、13,44D，设3333,,4444CFkCBkkk==−=−，53335333,,,44444444AFACCFkkkk=+=+−=+−

，()533345,3,377,104444ACAFkkk=+−=+.因此，4ACAF的取值范围为7,10.故答案为：7,10.【点睛】本题考查向量平面向量数量积取值范围的计算，考查运算求解能力

，考查函数与方程思想，是中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设向量12,ee的夹角为060且121,ee==如果()121212,28,3.ABeeBCeeCDee=+=+=−（1）证明：,,ABD三点共线.（2）试确定实数k的值，使

k的取值满足向量122ee+与向量12eke+垂直.【答案】（1）见解析（2）54k=−【解析】试题分析：（1）利用向量的加法求出BD，据此，结合12ABee=+，可以得到AB与BD的关系；（2）根据题意可得()()12122?0eeeke++=，再结合12ee，的夹角为60，且12==

1ee，即可得到关于k的方程，求解即可.试题解析：（1）1212,55ABeeBDBCCDee=+=+=+5BDAB=即,ABBD共线，,ABBD有公共点B,,ABD三点共线.（2）()()1212

2eeeke+⊥+()()121220eeeke++=22112122220ekeeeeke+++=121,ee==且012121cos602eeee==1202kk+++=解得54k=−18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4ab−=，8c=，s

in2sinAB=.（1）求ABC的面积S；（2）求()sinAB−的值.【答案】（1）415S=；（2）()315sin16AB−=.【解析】【分析】（1）求出a、b，利用余弦定理求得cosB，进而可得出s

inB，再利用三角形的面积公式可求得ABC的面积S；（2）利用余弦定理求出cosA，可求出sinA，然后利用两角差的正弦公式可求得()sinAB−的值.【详解】（1）sin2sinAB=，2ab=，4

ab−=，8a=，4b=，8c=，由余弦定理得2227cos28acbBac+−==，则B为锐角，215sin1cos8BB=−=，21115sin8415228SacB===；（2）由余弦定理得2221cos24bcaAbc+

−==，则A为锐角，215sin1cos4AA=−=.因此，()157115315sinsincoscossin484816ABABAB−=−=−=.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用两角差的正弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.19.在平面

直角坐标系中，设向量()cos,sina=，sin,cos66b=++，其中02.（1）若//abrr，求的值；（2）若1tan26=−，求ab的值.【答案】（1）6=；（2）1

1163774ab−=.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式得出cos206+=，结合角的取值范围计算出26+的取值范围，进而可求得的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出s

in2和cos2的值，再利用平面向量数量积的坐标表示和两角和的正弦公式可计算出ab的值.【详解】（1）()cos,sina=，sin,cos66b=++，且//abrr

，则coscossinsincos20666+−+=+=，02Q，72666+，262+=，因此，6=；（2）02Q，则02，1tan26=−，则22，则c

os20，由同角三角函数的基本关系得22sin21tan2cos26sin2cos21cos20==−+=，解得37sin237637cos237==−，因此，cossinsincossi

n2666ab=+++=+313371637111637sin2cos22223723774−=+=+−=.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数以及平

面向量数量积的坐标运算，涉及两角和的正弦公式和余弦公式以及同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知ABC中，内角,,ABC所对边分别为,,abc，若()20accosBbcosC−−=.(1)求角B的大小；(2

)若2b=，求ac+的取值范围.【答案】（1）3B=；（2）(2,4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简()20accosBbcosC−−=得：()2sinAsinCcosBsinBcosC−=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosBsinBcos

CcosBsinCsinBC=+=+，再由()sinBCsinA+=得出cosB的值即可；（2）由43sin3bB=得出43sin3aA=，43sin3cC=，得到4343sinsin33acAC+=+，进而得到sin6acA+=+，再根据角的范

围得到sin6A+的范围即可.【详解】(1)由()20accosBbcosC−−=，可得：()2sinAsinCcosBsinBcosC−=，2sinAcosBsinBcosCcosBsinC=+，可得：()2sinAcosBsinBCsinA=+=，(0,)A，0sinA

，可得12cosB=，又由(0,)B得：3B=，(2)43sin3bB=，43sin3aA=，43sin3cC=，23AC+=，434343sinsinsinsin()333acACAAB+=+=++434313si

nsin()sinsincos33322AAAAA=++=++314sincos4sin()226AAA=+=+，203A，5666A+，可得：1sin,162A+

，ac+的取值范围(2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.21.已知函数()()231sin2cos22fxxxxR=−+，ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c

，且()1fA=.（1）求角A；（2）若4a=，求ABC的面积的最大值.【答案】（1）3A=；（2）43.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()yfx=的解析式为()sin26fxx=−，利用()1fA=，并结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）

利用正弦定理结合三角恒等变换思想得出ABC的面积为8343sin2363ABCSB=−+，求出角B的取值范围，求出26B−的取值范围，进而利用正弦函数的基本性质可求得ABC面积的最大值.【详解】（1）()23131sin2cossin2

cos2sin222226fxxxxxx=−+=−=−，()sin216fAA=−=，0A，则112666A−−，262A−=，解得3A=；（2）由正弦定理得83si

nsinsin3bcaBCA===，则83sin3bB=，83sin3cC=，ABC的面积为13364163sinsinsinsinsin24433ABCSbcAbcBCBC====16316313sinsinsinsincos33322BBBBB=+=+

()283833113sincossinsin2cos233222BBBBB=+=−+=8343sin2363B=−+，3A=，则203B，72666B−−，所以，当262B−=时，即当3B=

时，ABC的面积取最大值43.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角形的综合问题，同时也考查了三角形面积最值的求解，涉及正弦定理和三角函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.22.墙上有一壁画，最高点A处离地面4米，最低点B处离地面2米，距离墙1.2米处设有防护栏，观察者从离地面

高()02aa米的C处观赏它.（1）当1.5a=时，观察者离墙多远时，视角最大？（2）若12a，视角的正切值恒为12，观察者离墙的距离应在什么范围内？【答案】（1）当观察者离墙52米处时，视角最大；（2）()3,4

.【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线，垂足为D，设观察者离墙x米，则1.2x，求出tanACD和tanBCD，利用两角差的正切公式可得出tan关于x的表达式，利用基本不等式可求得tan的最大值，进而得解；（2）求得()()21tan242a

axx==−−+，可得出22684aaxx−+=−+，由12a可得出2043xx−+，结合1.2x可得出x的取值范围，进而得解.【详解】（1）当1.5a=时，过C作AB的垂线，垂足为D，则0.5BD=，且ACDBCD=−，设观察者离墙x米，则1.2x，且2.5tanACDx

=，0.5tanBCDx=，所以，()22.50.5tantantantan2.50.51tantan1ACDBCDxxACDBCDACDBCDx−−=−==++222251.25555244xxxxxx===++，当且仅当54xx=，即当5

2x=时，tan取最大值255，此时视角最大；（2）由（1）得4tanaACDx−=，2tanaBCDx−=，()()()242tantantantan241tantan1aaACDBCDxxACDBCDaaACDBCDx−−−−=−==−−++()(

)21242aaxx==−−+，即22684aaxx−+=−+，当12a时，()()2268310,3aaa−+=−−，则2043xx−+，解得01x或34x.1.2x，所以，34x.

因此，观察者离墙的距离应在3至4米范围内.【点睛】本题考查的知识要点：解直角三角形的应用，不等式组的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．