【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 8-6 空间直线、平面的垂直 Word版含解析.docx，共(58)页，3.667 MB，由小赞的店铺上传

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8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直例1如图8.6-3，已知正方体ABCDABCD−.（1）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？（2）求直线BA与CC所成的角的大小.（3）求直线BA与AC所成的角的大小.解：（1）棱AB，BC，CD，DA

，AB，BC，CD，DA所在直线分别与直线AA垂直.（2）因为ABCDABCD−是正方体，所以//BBCC，因此ABB为直线BA与CC所成的角.又因为45ABB=，所以直线BA与CC所成的角等于45°.（3）如图8.6-4，连接AC.因为

ABCDABCD−是正方体，所以AACC.从而四边形AACC是平行四边形，所以//ACAC.于是BAC为异面直线BA与AC所成的角.连接BC，易知ABC△是等边三角形，所以60BAC=.从而异面直线BA与AC所成的角等于60°.例2如图8

.6-5（1），在正方体1111ABCDABCD−中，1O为底面1111DCBA的中心.求证1AOBD⊥.分析：要证明1AOBD⊥，应先构造直线1AO与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得1AOBD⊥.证明：如图8.6-5（2），连接11BD.∵1111ABCDABCD−是正方体，∴11

BBDD.∴四边形11BBDD是平行四边形.∴11//BDBD.∴直线1AO与11BD所成的角即为直线1AO与BD所成的角.连接1AB，1AD，易证11ABAD=.又1O为底面1111DCBA的中心，∴1O为11BD的中点，∴111AOBD⊥，∴1AOBD⊥.练习1．判断下列命题是否正确，正

确的在括号内画“√”，错误的画“×”．1.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直．（）【答案】正确【解析】【分析】根据直线的位置关系确定正确结论.【详解】由于两条平行直线中的一条与已知直线垂直，所以另

一条也与已知直线垂直.所以判断正确.故答案为：正确2.垂直于同一条直线的两条直线平行．（）【答案】错误【解析】【分析】根据两直线的位置关系确定正确结论.【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面，所以判断

错误.故答案为：错误3.如图，在长方体ABCDABCD−的各条棱所在直线中，（1）与直线AB垂直的直线有__________条；（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；（3）与直线AB和AD都垂直的直线有______

____条；（4）与直线AB和AD都垂直且相交的直线是直线__________．【答案】①.8②.4③.4④.'AA##'AA【解析】【分析】根据线线垂直的知识确定正确结论.【详解】（1）与直线AB垂直的直线有：'''''''',,,,,,,AAADDADDBCBBCBCC，共8条.（

2）与直线AB异面且垂直的直线由'''''',,,DADDCBCC，共4条.（3）与直线AB和''AD都垂直的直线有'''',,,AABBCCDD，共4条.（4）与直线AB和AD都垂直且相交的直线是直线'AA.故答案为：8；

4；4；'AA4.如图，已知长方体ABCDABCD−中，23AB=，23AD=，2AA=.（1）BC和AC所成的角是多少度？（2）AA和BC所成的角是多少度？【答案】（1）45；（2）60【解析】【分析】（1）根据//BCBC可知所求角为ACB

，由RtABC中的长度关系可求得结果；（2）根据//AABB可知所求角为BBC，由RtBBC△中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接AC，//BCBC，异面直线BC和AC所成角即为

直线BC和AC所成角，即ACB，在RtABC中，23ABAB==，23BCAD==，tan1ACB=，45ACB=，即异面直线BC和AC所成角为45

；（2）连接BC，//AABB，异面直线AA和BC所成角即为直线BB和BC所成角，即BBC，在RtBBC△中，23BCAD==，2BBAA==，tan3BBC=，60BBC=，即异面直线AA和BC所成角为60.【点睛】本题考

查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.5.如图，在正三棱柱ABCABC−中，D为棱AC的中点，2ABBB==，求证'BDAC⊥.【答案】见解析【解析】【分析】如

图，取'CC中点、为E，连接,BEDE，BDE就是异面直线'BDAC，所成的角，利用勾股定理计算得到证明。【详解】如图，取'CC中点、为E，连接,BEDE.DQ为AC的中点，'1//2DEACBDE就是异面直线'BDAC，所成的角.∵在正三棱柱

ABCABC−中，2ABBB==，3232BD==，'22AC=，225BEBCCE=+=，2DE=222BDDEBE+=90BDE=，即BDDE⊥BDAC⊥.【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。8.6.2直线与平面垂直例3

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图8.6-12，//ab，a⊥，求证b⊥.分析：要证明直线b⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的

两条相交直线即可.证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线m，n.∵直线a⊥，∴am⊥，an⊥.∵//ba，∴bm⊥，bn⊥.又m，n，m，n是两条相交直线，∴b⊥.例4如图8.6-15，在正方体1111ABCDABCD−

中，求直线1AB和平面11ADCB所成的角.分析：关键是找出直线1AB在平面11ADCB上的射影.解：连接1BC，1BC，1BC与1BC相交于点O，连接1AO.设正方体的棱长为a.∵1111ABBC⊥，111ABBB

⊥，1111BCBBB=，∴11AB⊥平面11BCCB.∴111ABBC⊥.又11BCBC⊥，∴1BC⊥平面11ADCB.∴1AO为斜线1AB在平面11ADCB上的射影，1BAO为1AB和平面11ADCB所成的角.在1RtABO中，12ABa=，22BOa=，∴

112BOAB=.∴130BAO=.∴直线1AB和平面11ADCB所成的角为30°.练习6.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？【答案】不一定【解析】【分析】找出反例可以说明命题的错误性，若不是错误的，则应是可以证明得到的。【详解】解：如图，在正方体1

111ABCDABCD−中，1AB，1CB与平面ABCD所成的角均为45°，但这两条直线相交，故：不一定【点睛】本题考查了直线与平面所成角的定义，判断命题正确与否的方法是看能否证明或能否找出其反例。7.如图，四棱锥SABCD−的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB.【答

案】证明见解析【解析】【分析】要证AC⊥平面SDB，即证AC⊥平面SDB内的两条相交直线，显然ACDB⊥，再寻找一条直线垂直于AC，由SD⊥平面ABCD可得SD⊥AC，从而得证本题。【详解】证明：∵底面ABCD是正方形

，ACBD⊥.SD⊥Q平面ABCD，AC平面ABCD，SDAC⊥.又BDSDD=，BD平面SDB，SD平面SDB.AC⊥平面SDB.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。8.如图，在直四棱柱ABCDABCD−中，当底面四边

形ABCD满足什么条件时，ACBD⊥？【答案】底面四边形ABCD的两对角线垂直时【解析】【分析】欲使ACBD⊥，即使得ACBD⊥成立，即得到BD⊥平面AAC，已知BDAA⊥，再增加BDAC⊥即可得到。【详解】解：当底面四边形ABCD的两对角线垂直时，可得到ACBD⊥.证

明如下：如图，连接,ACBD.∵在直四棱柱ABCDABCD−D中，AA⊥平面ABCD，BD面ABCD，AABD⊥.若ACBD⊥，又ACAAA=，BD⊥平面AAC.AC平面AAC，ACBD⊥.而直四枝柱ABCDABCD−中，显

然//BDBD，ACBD⊥.【点睛】本题考查了线面垂的判定定理，本题主要通过开放的形式来考查，具有灵活性。9.过ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PAPBPC，，.（1）若PAPBPC==，则点O是ABC的______心.（2）若PAPBPC=

=，90=C，则点O是AB边的______.（3）若PAPB⊥，PBPC⊥，PCPA⊥，垂足都为P，则点O是ABC的_____心.【答案】①.外②.中点③.垂【解析】【分析】（1）由PO⊥可得POAO⊥，POBO⊥，根据题意可得POAPOB，可得OAOB

=，从而可得OAOBOC==，从而得到结果；（2）由（1）得到OAOBOC==，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半可得，点O为斜边AB的中点；（3）由PAPB⊥，PBPC⊥可得PB⊥平面PAC，进而可得PBAC⊥，又POAC⊥，可得AC⊥平面PBO，进而可得BOAC⊥，同

理可得COAB⊥,AOBC⊥，从而得出答案。【详解】解（1）如图，因为PO⊥所以POAO⊥，POBO⊥故90POAPOB==，又PAPB=，POPO=,所以POAPOB故可得OAOB=，同理可得：OAOC=所以点O是ABC的外心

；（2）由（1）可得点O是ABC的外心，又因为90=C，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即为AB边的中点；（3）因为PAPB⊥，PBPC⊥，且PAPCP=,PAPC平面PAC所以PB⊥平面PAC，所以PBAC⊥，因为PO⊥所以POAC⊥又PB

POP=，,PBPO平面PBO，所以AC⊥平面PBO，所以BOAC⊥，同理可得：COAB⊥,AOBC⊥故，点O是ABC的垂心。【点睛】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力。例5如图8.

6-19，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等.证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线1AA，1BB，垂足分别为1A，1B.∵1AA⊥，1BB⊥，∴11//AABB.设直线1AA，1

BB确定的平面为，11AB=.∵//l，∴11//lAB.∴四边形11AABB是矩形.∴11AABB=.由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等.例6推导棱台的体积公式()13VhSSSS=++棱台，其中S，S分别是棱台

的上、下底面面积，h是高.解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O，O，则PO垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而OOh=.设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥

的体积为V、高为h，则POh=.于是13VSh=，()13VShh=+.所以棱台的体积()()111333VVShhShSVhSSh−=+−=+−=棱台.由棱台上、下底面平行

，可以证明棱台的上、下底面相似，并且()22ShShh=+所以ShhSS=−.代入①，得()13ShSSSVSS+−−=棱台()13hSSSS=++.练习10.已知直线,ab和平面，若ab⊥rr，a⊥，则b与的位置关

系是______.【答案】//b或b．【解析】的【分析】根据线面位置关系即可确定．【详解】若b，a⊥，则ab⊥rr，若//b，过b作平面，=c，a⊥，c，则ac⊥，又//bc，则ab⊥rr故答案为：//b或b．【点睛】本题考查线面间的位置

关系，掌握直线与平面的位置关系是解题关键，直线与平面有三种位置关系：相交、平行、直线在平面内．11.已知AB，两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线//AB.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证直线//AB，即在平面中找

出一条直线平行于AB即可，适当构造辅助线即可得到。【详解】证明：如图，作'AA⊥，BB⊥，垂足分别为,AB，则//AABB，又AABB=，∴四边形ABBA为平行四边形//ABAB.又AB平面，AB平面.//AB.【点睛】本题考查了线面平行的问题

，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。12.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且2EADC=，F是EB的中点，求证：//DF平面ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证//DF平面ABC，即证DF平行于

平面ABC中的一条直线，取AB的中点G，证明四边形CDFG为平行四边形，即可得到//DFCG，从而得证。【详解】证明：如图，取AB的中点G，连接CGFG，.F是EB的中点，1//2FGAE.EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，//EADC.2EADC=，1//2

DCEA，//DCFG，∴四边形CDFG是行四边形，//DFCG，CG平面ABC，DF平面ABC，//DF平面ABC.【点睛】本题考查了线面平行的问题，证明线面平行就是要证线线平行，线线平行的证明常见途径是中位线、平行四边形等等。13.求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行

.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.）【答案】证明见解析【解析】【分析】先写出已知与求证，然后进行证明。欲证两个平面平行，即证一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面。通过构造平面，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可得到线线平行，进而得到线面

平行，同理得到另一个线面平行，从而得到面面平行。【详解】已知：a⊥，a⊥，求证：//.证明：如图，过直线a任作平面,，使b=，b=，c=，c=.a⊥，ab⊥，ac⊥.a⊥，ab⊥，ac

⊥，∴在平面内，//bb.又b，b，//b.同理//c.又直线bc，相交，b，c，//.【点睛】本题考查了面面平行的证明问题，解决面面平行问题常见方法是利用面面平行的判定定理。8.6.3平面与平面垂直例7如图8

.6-27所示，在正方体ABCDABCD−中，求证：平面ABD⊥平面ACCA.分析：要证平面ABD⊥平面ACCA，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面ABD经过平面ACCA的一条垂线即可.这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线.证明：

∵ABCDABCD−是正方体，∴AA⊥平面ABCD，∴AABD⊥.又BDAC⊥，∴BD⊥平面ACCA，∴平面ABD⊥平面ACCA.例8如图8.6-28，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点..求证：平面PAC

⊥平面PBC.分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知BCAC⊥，BCPA⊥，ACPAA=，从而

BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PABC⊥.∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，∴90BCA=，即BCAC⊥.又PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又BC平

面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.练习14.如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了，这是为什么？【答案】见解析【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，通过证明线面垂

直得面面垂直.【详解】当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直，同时，这边紧靠工件的一个面，可看成这条边在这个面内，故这两个面垂直.【点睛】此题考查面面垂直的实际

应用，将生活中的事例转化成纯立体几何问题，通过线面垂直关系得面面垂直.15.已知直线,ab与平面,,，能使⊥的充分条件是（）A.,⊥⊥B.,,abab=⊥C.//,//aaD.//,aa⊥【答案】D【解析】【分析】根据空间直线

与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案．【详解】选项A中，⊥,⊥，得到和还有可能平行，所以错误；选项B中，a=，ba⊥，b，不一定得到⊥，所以错误；选项C中，//,//a

a，和可能平行也可能相交，所以错误；选项D中，由//a知内必有直线//la，因为a⊥，所以l⊥，又因为l，所以得到⊥，所以正确．故选：D16.如图，AB⊥平面BCD，BCCD⊥，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？【答案】见解析【解析】【分析】根据面面垂直

的判定定理，先寻找线面垂直，再得面面垂直.【详解】平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.理由：AB⊥Q平面BCD，ABÌ平面ABC，ABÌ平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.AB⊥Q平面BCD，CD平面BCD，ABCD⊥.又B

CCD⊥，ABBCB=,CD\^平面ABC.CD平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.【点睛】此题考查面面垂直的判定，关键在于准确寻找线面垂直的关系，结合几何体中的线面关系依次证明.17.如图，在正三棱柱ABCABC−中，D为

棱AC的中点，求证：平面'BDC⊥平面ACCA.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据定理先证明BDAC⊥，AABD⊥得BD⊥平面'ACCA，即可得证面面垂直.【详解】证明：∵在正三棱柱ABCABC−中，D为AC的中点，ABC为正三角形，BDAC⊥.又在正三棱柱

'ABCABC−中，AA⊥平面ABC，BD平面ABC，AABD⊥.ACAAA=，AC平面ACCA，AA平面ACCA.BD⊥平面'ACCA.BDQ平面'BDC，∴平面'BDC⊥平面ACCA.【点睛】此题考查面面垂直的证明，

关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直.例9如图8.6-32，已知平面⊥平面，直线a⊥，a，判断a与的位置关系.解：在内作垂直于与交线的直线b.∵⊥，∴b

⊥.又a⊥，∴//ab.又a，∴//a直线a与平面.例10如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.由已知

条件易得BCPA⊥.再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BCAE⊥.证明：如图8.6-34，过点A作AEPB⊥，垂足为E.∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBCPB=，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC，.∴AEBC⊥.∵P

A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PABC⊥.又PAAEA=，∴BC⊥平面PAB.练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．18.如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．（）【答

案】【解析】【分析】根据面面垂直的性质可以判断命题的真假﹒【详解】若平面⊥平面，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a，但直线a与平面不垂直，故此命题不正确.故答案为：19.如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．（）【答案】√【解析】【

分析】根据线面平行的性质可知此命题正确.【详解】平面⊥平面，若它们的交线记为直线l，因此直线l平面.在平面内一定有直线//ml，则直线//m平面.故此命题正确.故答案为：√20.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直

线垂直于平面．（）【答案】√【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理可以判断命题的真假﹒【详解】若平面内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．故答案为：√21.若平面α⊥平

面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（）①平面α内的任一条直线必垂直于平面β；②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β；A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【

解析】【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.【详解】①平面内取与l平行的直线，不垂直于平面，故①错误；②当平面内取平行于交线的直线时，该直线与平面平行，故②错误；③取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故③正确；④若

内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定垂直于平面，故④错误.故选：B22.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“m⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当α⊥β时

，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．视频23.已知平面,，直线a，且⊥，AB=，//a，aAB⊥，判断直线a与平面的位置关系

，并说明理由.【答案】a⊥，理由见解析【解析】【分析】在平面内找出直线a的平行线b，根据面面垂直的性质证明线面垂直．【详解】a⊥，理由如下：如图，过直线a作平面，使b=.//a，//ab.又aAB⊥，bAB⊥.又a⊥，b，b⊥，a⊥.【点睛】此题考查根据线面平行的

性质证明线线平行，根据面面垂直的性质证明线面垂直．习题8.6复习巩固1．选择题24.若空间中四条不同的直线1l，2l，3l，4l满足12ll⊥，23ll⊥，34ll⊥，则下面结论正确的是（）A.14ll⊥B.14//llC.1l，4l既不垂直也不平行D.1l，4l的位

置关系不确定【答案】D【解析】【分析】在长方体中举例说明1l，4l可能的位置关系，由排除法可得正确选项.【详解】如图：在长方体1111ABCDABCD−中，记1DD为1l，DC为2l，DA为3l，满足题中条件12ll⊥，23ll⊥，若1AA为4l，满足34ll⊥，此时

14//ll；若1CD为4l，满足34ll⊥，此时1l与4l相交；若AB为4l，满足34ll⊥，此时1l与4l异面垂直；若11CD为4l，满足34ll⊥，此时1l与4l相交垂直；因此1l，4l的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，故选：D.25.设l,m,n均为直线，其中m,n在

平面内，“l”是“lm且ln”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l

”，∴“l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．26.直线1l，2l互相平行的一个充分条件是A.1l，2l都平行于同一个平面B.1l，2l与同一个平面所成的角相等C.1l平行于2l所在的平面D.1l，2l都垂直于同一个平面【答案】D【解析】【详解】由

题意下列哪个选项可以推出直线1l，2l互相平行即可，选项A中1l与2l不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中1l与2l不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中1l与2l不仅可以平行还可能异面直线；故选D2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内内写正确，错误的写错误．27.过平面外一点，

有且只有一条直线与这个平面垂直．（）【答案】正确【解析】【分析】根据线面垂直的知识确定正确结论.【详解】根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条.所以判断正确.故答案为：正确28.过平面外一

点，有且只有一条直线与这个平面平行．（）【答案】×【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，即可得出结果.【详解】根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这个直线与平面平行；因此，过平面外一点能作出无数条直线与这个

平面平行.故答案为：×29.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直．（）【答案】√【解析】【分析】根据直线和平面垂直的性质即可判断﹒【详解】根据直线和平面垂直的性质可知，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故

答案为：√30.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．（）【答案】×【解析】【分析】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒【详解】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒故答案为：×31.

过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（）【答案】正确【解析】【分析】结合平面的知识确定正确结论.【详解】直线与直线外一点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，所以过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.所以判断正确.

故答案为：正确32.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；（2）如果平面//平面1，平面//平面1，那么平面与平面所

成的二面角和平面1与平面1所成的二面角相等或互补；（3）如果平面⊥平面，平面⊥平面，那么平面⊥平面.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析；（3）错误，见解析.【解析】【分析】（1）根据线面垂

直的性质分析，平面内存在直线与第一条直线平行，该平面的垂线与之垂直；（2）借助法向量求二面角的方法即可分析；（3）垂直于同一平面的两个平面不一定垂直.【详解】解：（1）正确，设直线//a平面，直线b⊥平面，则存在直线c.且//,acbcba⊥⊥.（2）正确，两个平面平行，则其法向

量也平行，两个二面角的两个半平面的法向量所成角相等或互补；.（3）错误，如长方体中两底面都与同一侧面垂直，但两底面不垂直.【点睛】此题考查垂直关系的辨析，关键在于根据公理定理进行分析推导和证明，可以结合具体物体中的反例推翻命题.3

3.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，CACB=，P为1AB的中点，Q为棱1CC的中点，求证：（1）PQAB⊥；（2）1PQCC⊥；（3）1PQAB⊥.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分

析】（1）通过证明//CDPQ，CDAB⊥，即可得证；（2）通过平行关系转化证明1//,CDPQCDCC⊥即可得证；（3）通过证明PQ⊥平面11AABB，证明1PQAB⊥.【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、D

P，∵P为1AB的中点，11//2PDAA.又∵Q为1CC的中点，11//2CQAA，//PDCQ.∴四边形CDPQ为平行四边形，//CDPQ.又CACB=，D为AB的中点，,CDABPQAB⊥⊥.（2）∵在直三棱柱111ABCABC−中，1

AA⊥平面ABC，CD平面ABC.1AACD⊥，由（1）知1//,CDPQPQAA⊥.又11//AACC，1PQCC⊥.（3）由（1）（2）知，1,PQABPQAA⊥⊥，而1ABAAA=.PQ⊥平面11AABB.1AB平面11AABB，1PQAB⊥.【点睛】此题考查线线垂直和线面垂

直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.34.如图，在三棱锥P-ABC中，CDAB⊥，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：ABPC⊥.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过线面垂直证得POAB⊥，结合CDAB⊥得AB⊥

平面POC，即可得证.【详解】证明：PO⊥底面ABC，ABÌ底面ABC，POAB⊥.∵O在CD上,POCDO=.又CDAB⊥，AB⊥平面POC.PC平面POC，ABPC⊥.【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用

，利用线面垂直得线线垂直.35.如图，在正方体ABCDABCD−中，平面ABCD与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？【答案】平面ABCD与平面ABCD，平面ABCD，平面ABBA，平面''CCDD都成45°，平面''ABCD

与平面ADDA，平面''BCCB成的角为90°【解析】【分析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小.【详解】解：在正方体ABCDABCD−中，考虑平面ABCD与平面ABCD，AB⊥平面BCC

B，,BCBC平面BCCB，所以平面BBC就是平面ABCD与平面ABCD所成角，即平面ABCD与平面ABCD成角45CBC=，同理平面ABCD与平面ABCD，平面ABCD，平面ABBA，平面''CCDD都成45°角，

又因为AB⊥平面ADDA，平面''ABCD与平面ADDA垂直，即所成的角为90°，同理可得平面''ABCD与平面ADDA，平面''BCCB都垂直，即与它们所成的角为90°.所以平面ABCD与平面ABCD，平面ABCD

，平面ABBA，平面''CCDD都成45°角，平面''ABCD与平面ADDA，平面''BCCB都垂直，即与它们所成的角为90°.【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论.36.如图，在三V-ABC中，已知90VABVAC

ABC===，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.【答案】平面VBA和平面VBC垂直，理由见解析【解析】【分析】通过直角关系证明线面垂直得面面垂直，即可得出结论.【详解】解：平面VBA和平面VBC垂直.因为90,VABVACABACA==

=，所以VA⊥平面ABC，所以VABC⊥.因为90ABC=.所以BCBA⊥.因为VABAA=，所以BC⊥平面VAB.又BC平面VBC，所以平面VBA⊥平面VBC.【点睛】此题考查线面垂直的证明，根

据垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.37.求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得

出结论.【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直.证明：如答图所示，,,VAVBVAVCVBVCV⊥⊥=,VA⊥平面VBC.∵VA平面VC，∴平面VAC⊥平面VBC.同理可得，平面V

AC⊥平面VAB，平面VAB⊥平面VBC.【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.38.已知平面,,，且,//⊥，求证：⊥.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据面面垂

直的性质和线面平行的性质，证明线面垂直，得证面面垂直.【详解】证明：如图，设l=.在平面内作直线al⊥.因为⊥，根据面面垂直的性质，所以a⊥.过a作一个平面与平面相交于直线b，由//，得//ba,所以b⊥.又b，所以⊥.【点睛】此题考查根据面面垂直的性质得线面垂

直，根据线面平行的性质得线线平行，根据线面垂直证明面面垂直.39.如图：已知平面,,.满足,,l⊥⊥=求证：l⊥【答案】证明见解析.【解析】【分析】设,ab==，在平面内取一点A，过A作ABa⊥于B，过A作ACb⊥于C，则可

证得AB⊥，AC⊥，从而可证得ABl⊥，ACl⊥，进而可证得l⊥【详解】证明：设,ab==，在平面内取一点A，过A作ABa⊥于B，过A作ACb⊥于C.,ABAC且ABACA=，又,a,ABa⊥=⊥，AB⊥，又l，ABl

⊥，同理可证ACl⊥，又,ABAC且ABACA=，l⊥综合运用40.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P，Q分别为棱AD，1CC的中点，求证：1APBQ⊥.【答案】证明见解析【解析】【分析】取1DD的中点R，连接QR，AR,通过证明1APAR⊥证得结论.【详

解】证明：取1DD的中点R，连接QR，AR,如图：1ARAPO=.∵Q是1CC的中点，//QRCD.而//,//ABCDQRAB.∴四边形ABQR是平行四边形，//BQAR.在正方形11AADD中，∵P，R分别是1,ADDD的中点，11RtRt,AAPDAR

AAPDAR=.190DARAAR+=1190AAPAAR+=190AOA=，即11APARAPBQ⊥⊥，.【点睛】此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面几

何的知识进行证明.41.如图：m，n是两条相交直线，12,ll是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与12,ll都相交，求证：12=.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据垂直于同一平面的两直线平行得12ll//，结合平面几何知识即可得证.【

详解】证明：因为m,n是相交直线，所以它们可以确定一个平面记为，则,mn，111,,lmlnl⊥⊥⊥同理212//lll⊥，直线l与12,ll都相交，12=【点睛】此题考查线面垂直的判定，根据垂直于同一平面的两条直线平行，结合平面几何知识证明同位角相

等.42.求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等.【详解】已知：1112//,,,,abaAbB==分别是a，b与所成的角.求证：12=.证明：如图，在a，b上分别取点

A，B，这两点在平面的同侧，且11AABB=，连接AB和11AB，因为1111//,AABBAABB=，所以四边形11AABB是平行四边形.所以11//ABAB，又11,ABAB，所以//AB.设22,AB分别是平面的垂线22,AABB的垂足，连接1122,AA

BB，则22AABB=，在21RtAAA和12RtBBB中，因为2211,AABBAABB==.所以2112RtAAARtBBB，所以121212,AAABBB==.【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等.43.如图，在V

-ABC中，VO⊥平面ABC，,,OCDVAVBADBD==，你能判定CDAB⊥，以及ACBC=吗？【答案】能，理由见解析【解析】【分析】通过,VAVBADBD==得VDAB⊥，由VO⊥平面ABC得VOAB⊥，即可证明AB⊥平面VDO，结合等腰三角形三线合一即可得证.【详解】解：能

判定CDAB⊥以及AC=BC.理由如下：VO⊥平面ABC，ABÌ平面ABC.VOAB⊥.,,VAVBADBDVDAB==⊥.VOVDV=，AB⊥平面VDO.CD平面VDO，CDAB⊥.又,ADDBACBC==.【点睛】此题考查线面垂直的判定和性质，通过线面垂

直得线线垂直，结合平面几何知识进行相关判定.44.如图，在正方形123SGGG中，E，F分别是1223GGGG,的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使123,,GGG三点重合，重合后的点记

为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？【答案】SG⊥平面GEF，FG⊥平面GSE，EG⊥平面GSF.【解析】【分析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后,,SGEGSGFGEGFG⊥⊥⊥，根据线面垂直的判定定理即可判定.【详解】解：折前113322,,SGEGSGFG

EGFG⊥⊥⊥∴折后,,SGEGSGFGEGFG⊥⊥⊥.又SG，EG，FG交于一点G.根据EG，FG交于一点G，可得SG⊥平面GEF，同理可证：FG⊥平面GSE，EG⊥平面GSF.【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不

变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直.45.求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，在平面内寻找两条相交直线与已知直线垂直即可得证.【详解】已知：//,a⊥，求证：a⊥.证明：如图、过直线a作两平面,，使,,,bb

cc====.//,根据面面平行的性质，//,//'bbcc,,,,abcabac⊥⊥⊥.,abac⊥⊥.又b与c都在内且相交，a⊥.【点睛】此题考查根据面面

平行的性质得线线平行，根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直.46.求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线垂直，结合线面垂直关系证明线线垂直.【详解】已知：平

面,,,,,abc⊥⊥⊥===.求证：,,abacbc⊥⊥⊥.证明：如图所示，因为,,a⊥⊥=，在平面内作异于a的直线mb⊥，⊥，b=，所以m⊥

，因为⊥，所以//m，,ma=，所以//ma所以a⊥，又,bc==所以,bc，所以,abac⊥⊥，同理可得bc⊥.【点睛】此题考查线面平行的性质，面面垂直的性质，考查对线面平行、线面垂直、面面垂直性质的综合应用.47.如图，在三V-ABC中，2,1VAVBABACB

CVC======，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.【答案】作图见解析；56.【解析】【分析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明VMC为二面角V-AB-C

的平面角，在三角形中进行计算即可.【详解】解：如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.,VAVBACBC==,VMABCMAB⊥⊥VMC为二面角V-AB-C的平面角根据已知条件可得1,3,3,1AMCMVMVC====.在VMC中，由余弦定理2225cos26VMMC

VCVMCVMMC+−==∴二面角V-AB-C的余弦值等于56.【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则.拓广探索48.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，190,ABCAAAB==，求证：11ACA

B⊥.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据90ABC=，在直三棱柱中，证得BC⊥平面11ABBA，得1BCAB⊥，连接1AB，则11ABAB⊥，即可证明1AB⊥平面1ABC，命题得证.【详解】证明

：∵直三棱柱111ABCABC−中，1AAAB=.∴四边形11ABBA为正方形.连接1AB，则11ABAB⊥.∵直棱柱中，1AA⊥底面ABC，BC底面ABC，1AABC⊥.90ABC=，即ABBC⊥.又1AAABA=.BC⊥平面11ABB

A.1AB平面111,ABBABCAB⊥.又1ABBCB=I，1AB⊥平面1ABC.1AC平面111,ABCACAB⊥.【点睛】此题考查线面垂直的证明，对线面垂直的判定和性质的综合使用，最终证明线面垂直.49.如图，AB是O的直径，点C是O上的动点，

过动点C的直线VC垂直于O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析【解析】【分析】先证明平面VAC⊥平面VBC，再根据面面垂直的

性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证.【详解】解：直线DE与平面VBC垂直理由：由VC垂直于O所在平面，知,VCACVCBC⊥⊥，即ACB是二面角A-VC-B的平面角.由AB是O的直径，知90ACB=.因此，平面VAC⊥平面V

BC.由两个平面垂直的性质定理，平面VAC⊥平面VBC，交线为VC，ACVC⊥，AC平面VAC，可知直线AC与平面VBC垂直，由D，E分别是VA，VC的中点，知//DEAC，所以直线DE与平面VBC垂直.【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂

直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系.50.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PAAB=，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.【答案】垂直，证明见解析【解析】【

分析】根据图形特征证明AE⊥平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直.【详解】解：垂直，证明如下：PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，PABC⊥又底面ABCD为正方形，ABBC⊥，而PAABA=.BC⊥平面PABAE平面PAB，BCAE⊥.PAPB=，E为PB的

中点，AEPB⊥.而PBBCB=,AE⊥平面PBC.AE平面AEP，∴平面AEF⊥平面PBC.【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用.变式练习题51.如图，在正

方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角．【答案】（1）45°（2）30°【解析】【分析】（1）判断出BE与CG所成角，并求得其大小.（2）作出FO与BD

所成角，并求得其大小.【小问1详解】因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．【小问2详解】连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所

以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．

52.直线l⊥平面，直线m，则l与m不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质可以得到lm⊥，从而可得正确的选项.【详解】因为l⊥平面，直线m，由线面垂直的性质可以知

道lm⊥，故选：A．【点睛】本题考查线面垂直的性质，注意空间中线面垂直与线线垂直的相互转化，本题属于容易题．53.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若lm⊥，m，则l⊥B.若l⊥，//lm，则m⊥C.若//l，m，则//lmD.若//l，//m

，则//lm【答案】B【解析】【分析】利用,l可能平行判断A，利用线面平行的性质判断B，利用//lm或l与m异面判断C，l与m可能平行、相交、异面，判断D.【详解】lm⊥，m，则,l可能平行，A错；l

⊥，//lm，由线面平行的性质可得m⊥，B正确；//l，m，则//lm，l与m异面；C错，//l，//m，l与m可能平行、相交、异面，D错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的

真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.54.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点

E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由ABCD为矩形，得BCAB⊥，又PA⊥平面ABCD，可知BC

⊥平面PAB，从而AEBC⊥，可证AEPC⊥，由AFPC⊥，AEAFA=，从而证明PC⊥面AEF；(2)由ABCD为矩形，可证CD⊥平面PAD，得CDAG⊥，可知PCAG⊥，从而AG⊥平面PCD，可证AGPD⊥

．【小问1详解】ABCD为矩形，BCAB⊥PA⊥平面ABCD，BC平面ABCDBCPA⊥，又∵PA∩AB＝A，PA与AB平面PAB，BC⊥平面PAB又∵AE平面PABAEBC⊥又AEPB⊥，PB∩BC＝B，PB与BC平面PBC，AE⊥平面PBC，∵PC

平面PBCAEPC⊥又AFPC⊥，AEAFA=∩，AE与AF平面AEFPC⊥平面AEF；【小问2详解】ABCD为矩形CDAD⊥PA⊥平面ABCDCDPA⊥CD\^平面PADCDAG⊥PC⊥平面AEFPCAG⊥AG⊥平面PCD

AGPD⊥55.在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱1DD的中点，求直线BE与平面11ABBA所成的角的正弦值．【答案】23.【解析】【分析】取1AA的中点M，连接EM，BM，推理判断EBM为直线BE与平面11ABBA所成的角

即可计算作答.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，取1AA的中点M，连接EM，BM，如图，因E是1DD的中点，四边形11ADDA为正方形，即有//EMAD，而AD⊥平面11ABBA，则EM⊥平面11ABBA，从而B

M为直线BE在平面11ABBA内的射影，EBM为直线BE与平面11ABBA所成的角，设正方体的棱长为2，则2EMAD==，在RtBEM中，2222215BMABAM=+=+=，2222(5)23BEBMEM=+=+=，于是得2sin3EMEBMBE==

，所以直线BE与平面11ABBA所成的角的正弦值为23.56.如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【答案】（1）

证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.【小问1详解】如下图，连接A1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1

，所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．【小问2详解】如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1=AD，B1C1∥AD所以四边

形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故

答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.57.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见

解析（2）31313【解析】【分析】(1)线面平行的证明，面外的直线与面内的直线平行，PB与平面AEC中的OE平行，利用中位线即可.(2)点到面的距离法一是直接法，法二是等体积法.【小问1详解】证明：如图，设B

D与AC的交点为O，连接EO．因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．又点E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．【小问2详解】作AH⊥PB于点H．P

A⊥平面ABCD,,PABCPAAB⊥⊥又ABCD为矩形，ADAB⊥,AP＝1，AD＝3,1366VAPABADAB==由34V=，可得AB＝32．由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平

面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为22132PBAPAB=+=，所以31313APABAHPB==.58.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32B.22C.2D.3【答案】C【解析】【详解】如图，在正方体

A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA为二面角的平面角．在1RtAOA中，112AAtanAOAAO==.即

截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于2．选C．点睛：求二面角时要体现“一找二证三计算”的解题思路，其中作出二面角的平面角是解题的关键．作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的

垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．59.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【答案】D【

解析】【分析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案.【详解】如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，二面角1DAAF−−与二面角1DDCA−−的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补.例如：开门的过程中，门所在平面及

门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90，所以这两个二面角不一定相等或互补.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，以及二面角的概念及应用，其中解答中熟记二面角的概念，合理举例是解答的关键，着重考查了

推理与论证能力，属于基础题.60.如图，在四面体ABCD中，2BDa=，ABADCBCDACa=====．求证：平面ABD⊥平面BCD．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理证得AE⊥平面BCD，再利用面面垂直的判定定理即可证得结果.【详解】由题设知，ABD△与BCD△是全等的

等腰三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD⊥，CEBD⊥．在ABD△中，ABa=，1222BEBDa==，所以2222AEABBEa=−=，同理22CEa=，在AEC△中，22AECEa==，ACa=．由于222ACAECE=

+，所以AECE⊥，又BDCEE=，AE⊥平面BCD．又AE平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．61.已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【答案】证明见解析【解析】【分析】分别根据面面垂直、

线面垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，再证明线线垂直.【详解】证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又B

C⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为ADPA＝A，所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．62.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是

EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）见证明；【解析】【分析】(1)取EC的的中点F的，连接DF的，证明RtEFDRtDBA的，即可得结果；(2)取

CA的的中点N的，连接,MNBN的，可得//MNBD的，由EC⊥的平面ABC的，可得ECBN⊥的，又CABN⊥的，从而可得BN⊥平面ECA的，进而可得结果；(3)利用三角形中位线定理证明MNBD的，可得四边形MNBD的为平行四边形，//DMBN的，

由(2)知BN⊥的平面ECA的，则DM⊥平面ECA，从而可得结果.【详解】(1)取EC的中点F，连接DF.∵FCBD，∴四边形BDFC为平行四边形．∴DF∥BC，又EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt

△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN12EC，∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，

∴BN⊥平面ECA.∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD12EC，MN12EC，∴MNBD.∴四边形MNBD为平行四边形，∴DM∥BN，由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又

DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间

的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直.