【文档说明】黄金卷06（2024新题型）-（新题型地区专用）（解析版）.docx，共(15)页，1.197 MB，由小赞的店铺上传

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷06（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合要求的。1．已知数据141x+，241x+，…，1041x+的平均数和方差分别为4，10，那么数据1x，2x，…，10x的平均数和方差分别为（）A．1−，52B．1，52C．1，32D．34，58【答案】D【解析】设数据1x，2x，…，10x的平均数和方差分别为和2s，则数据141x+，2

41x+，…，1041x+的平均数为414+=，方差为22410s=，得3=4，25=8s，故选：D．2．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件

，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为AB．即(),ABxyxA=且yB．关于任意非空集合MNT，，，下列说法一定正确的是（

）A．MNNM=B．()()MNTMNT=C．()MNT()()MNMTD．()()()MNTMNMT=【答案】D【解析】对于A，若121,,MN==，则()()()()1,1,1,2,1,1,2,1,MNNMMNNM

==，A错误；对于B，若1,2,3MNT===，则()()()()1,2,1,2,3MNMNT==，而()()()()()1,2,3,MNTMNTMNT=，B错误；对于C，若1,2,3M

NT===，则()()()1,2,1,3MNT=，()1,2MN=，()1,3MT=，()()()MNTMNMT=，C错误；对于D，任取元素()(),xyMNT，则xM且yNT，则yN且yT，于是(),xyMN且(),xyMT，即()()(),xyMNM

T，反之若任取元素()()(),xyMNMT，则(),xyMN且(),xyMT，因此xMyN，且yT，即xM且yNT，所以()(),xyMNT，即()()()MNTMNMT=，D正确.故选：D3．已知圆O的半径为2，弦MN的长为23，

若2MPPN=，则MOOP=（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】如图，设MN的中点为Q，连接OQ，则OQMN⊥.由2NOMO==，23MN=，得3,1MQOQ==，所以π6OMQ=，233MP=，所

以33PQ=，所以π6POQ=，所以π23,63POMOP==，所以π233cos22632MOOPOMOPOMOP=−=−=−=−.故选：B.4．下表数据为20172021年我国生鲜零售市场规模（单位：万亿元），根据表中数据可求得市场规模y关于年份代码x的线性回归方程为0

.34yxa=+，则a=（）年份20172018201920202021年份代码x12345市场规模y4.24.44.75.15.6A．1.01B．3.68C．3.78D．4.7【答案】C【解析】由题意得，3x=，4.8y=，所以4.80.

3433.78aybx=−=−=.故选：C.5．复数izxy=+（,,ixyR为虚数单位）在复平面内对应点(,)Zxy，则下列为真命题的是（）．A．若|1||1|zz+=−，则点Z在圆上B．若|1|

|1|2zz++−=，则点Z在椭圆上C．若|1||1|2zz+−−=，则点Z在双曲线上D．若|1||1|xz+=−，则点Z在抛物线上【答案】D【解析】()2211zxy+=++表示点(),xy与()1,0−之间的距离，()2211−=−+

zxy表示点(),xy与()1,0之间的距离，记()11,0F−，()21,0F，对于A，11zz+=−，表示点(,)Zxy到1F、2F距离相等，则点Z在线段12FF的中垂线上，故A错误；或由()()2222

11++=−+xyxy，整理得0x=，所以点Z在0x=，故A错误；对于B，由|1||1|2zz++−=得12122+==ZFZFFF，这不符合椭圆定义，故B错误；对于C，若|1||1|2zz+−−=，12122−==ZFZFF

F，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若|1||1|xz+=−，则()()22211xxy+=−+，整理得24yx=，为抛物线，故D正确.故选：D.6．比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所

示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点A，若平行光与桌面夹角为30，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为（）A．()43R−B．3RC．

23RD．()23R+【答案】D【解析】解：由题意，如图所示，则30,15,15BACBAOAOB===，所以A到球与桌面切点距离的最大值为：()tan75tan3045ABRR==+，tan45tan301tan45tan30R+=−，

()31323313RR+==+−，故选：D7．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为()0rr的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（）A．(0,2]B．1,22

C．10,2D．10,4【答案】C【解析】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为2(xy+()22)0rrr−=．因为抛物线的

通径长为1，则抛物线的方程为2yx=，代入圆的方程消元得：22(12)0xxr+−=，所以原题等价于方程22(12)0xxr+−=在[,]rr−上只有实数解0x=．因为由22(12)0xxr+−=，得0

x=或221xr=−，所以需210r−或221rr−，即12r或2(1)0r−．因为0r，所以102r，故选：C．8．如图，圆锥的高3SO=，底面直径2,ABC=是圆O上一点，且1AC=，若SA与BC所成角为，则22sincos22−=（）A．134B．34−C．58D．

134−【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：()()0,1,0,0,1,0AB−，()310,0,3,,,022SC−，而,ASBC的夹角为π,02又()330,1,3,,,022ASBC

==−，则3cos4ASBCASBC==，由于223sincoscos224−=−=−，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分．9．已知复数113iz=−，()222iz=−，3810i1iz+=+，则（）A．1247izz+=+B．123,,zzz的实部依次成等比数列C．21102zz=D．123,,zzz的虚部依次成等差数列【答案】ABC【解析】因为()2234i

2iz−==−，()()()()3810i1i810i9i1i1i1iz+−+===+++−，所以1247izz+=−，所以1247izz+=+，故A正确；因为1z，2z，3z的实部分别为1，3，9，所以1z，2z，3z的实部依次成

等比数列，故B正确；因为1z，2z，3z的虚部分别为3−，4−，1，所以1z，2z，3z的虚部依次不成等差数列，故D错误；1210101922510zz=+===，故C正确.故选：ABC.10．函数()sin

2πfxx=与函数()gx的图象关于点1,012对称，()()()Fxfxgx=+，则（）A．函数()gx的图象可由函数cos2πyx=向右平移56个单位长度得到B．函数()gx的图象向右平移112个单位长度为偶函数的图象C．函数()Fx的图象关于直线43x=对称D．()

()3315Fxx=−−的所有实根之和为2【答案】BCD【解析】由题意知()1ππsin2πsin2π633gxfxxx=−−=−−=−，又函数cos2πyx=向右平移56个单位长度得到5πππcos2πcos2πsin

2π333yxxx=−=+−，所以A错误；函数()gx的图象向右平移112个单位长度得到πsin2πcos2π2yxx=−=−，由于cos2πyx=−是偶函

数，所以B正确；()()()()ππsin2πsin2π3sin2π36Fxfxgxxxx=+=+−=−，令ππ2ππ,Z62xkk−=+，解得Z1,23kkx=+，当2k=时，43x=，所以C正确；当0k=时，可得()Fx的图象关于13x=对称，曲

线()3315yx=−−也关于13x=对称，()Fx与曲线()3315yx=−−的简图如下，733F=,7331533y=−−=,当13x时，()Fx的图象与曲线()3315yx=−−有三个交点，所以方程()()331

5Fxx=−−的所有实根之和为2323=，所以D正确．故选：BCD．11．已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且24CACBAB===.设E为空间内任一点，且,,,,ABCDE五点在同一个球面上，则（）A．ABCD⊥B．四面体A

BCD的体积为214C．当AE23=时，点E的轨迹长度为4πD．当三棱锥EABC−的体积为146时，点E的轨迹长度为32π【答案】AC【解析】对于A，依题意，可知4,2DACBDBACDCAB======，设F为AB的中点，连接,CFDF，则,CFABD

FAB⊥⊥，而,,CFDFFCFDF=平面CFD，故AB⊥平面CFD，CD平面CFD，故ABCD⊥，A正确；对于B，将四面体ABCD放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为,,xyz，则22222

24,16,16xyxzyz+=+=+=，解得2,14xyz===，由于14z=，即异面直线AB和CD的距离为14，且AB⊥平面CFD，，所以四面体ABCD的体积为11121421423323DCFSAB

==，B错误；对于C，由以上分析可知，四面体ABCD的外接球半径为2223222xyz++=，由AE23=，知点E的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为r，则2222932(23)22rr+−+=，解得2r=，所以E的轨迹长度为2

π4πr=，C正确；对于D，由题意可得2154115,sin4CFABC=−==,故ABC的外接圆半径为515421418=，所以球心到ABC所在平面的距离为22328721530−=，设三棱锥EABC−的高为h，

由三棱锥EABC−的体积为146时，可得2111142232641ABCShh−==，故730h=，又由3272230，故E点轨迹为外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距离为730的两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，所以点E的轨迹长度大于322π

32π2=，D错误，故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设非空集合QM，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合1,2,3,4,5,6,7=M，则其

偶子集Q的个数为.【答案】63【解析】集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：1,3、1,5、1,7、3,5、3,7、5,7，共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合1

,3,5,7Q=，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为2,4、2,6、4,6，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合2,4,6Q=，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满

足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6318=种；若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6318=种；若集合Q中的元素为

2个奇数3个偶数，共616=种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共133=种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共133=种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7718186331

63+++++++=.故答案为：63.13．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有种（用数字作答）.【答案】105【解析】由题意可得恰有两名女生人选的选法

有2254CC60=种，恰有3名女生人选的选法有3154CC40=种，恰有4名女生人选的选法有4054CC5=种，所以至少有两名女生人选的选法有60405105++=（种），故答案为：10514．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形

图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，ABC为锐角三角形，面积为π1,6ACB=，以ABC的三边为边长的正方形中心分别为123,,MMM，则222122331MMMMMM++的最小值为.【答案】2243−【解析】由题意知，π1,6ABCSA

CB==，又1sin2ABCSabACB=，即11122ab=，得4ab=，由余弦定理，得222222cos43cababACBab=+−=−+，在23MAM中，232322π,,222AMbAMcMAMBAC===+，由余弦定理可得

22222231122π2cossin222222bcMMcbcbBACbcBAC+=+−+=+，又1sin12ABCSbcBAC==，所以sin2bcBAC=，则223MM2222bc+=+.同理22

222212312,222abacMMMM++=+=+，故()2222222212233162643MMMMMMabcab++=+++=++−.因为2228abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，故2221223312

243MMMMMM++−.故答案为：2243−.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数32()fxxaxbxc=+++在=1x−和3x=处取得极值.(1)求,ab的值及()fx的单调区间；(2)若对任意[1

,5]x，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围.【解析】（1）()232fxxaxb=++，函数32()fxxaxbxc=+++在=1x−和3x=处取得极值．(3)2760fab=++=，()1320fab−=−+=，联立解得：3a=−，9b=−．()236

93(3)(1)fxxxxx=−−−=+，令()0fx=，解得3x=和=1x−，(,1)x−−时，()0fx¢>，函数()fx单调递增；(1,3)x−时，()0fx，函数()fx单调递减；(3,)x+时，()0fx¢>，函数()fx单调递增．故=1x−和3x=是

()fx的极值点，故函数()fx单调递增区间为(,1)−−，(3,)+；函数()fx单调递减区间为(1,3)−．（2）由（1）知32()39fxxxxc=−−+在()1,3单调递减，在()3,5单调递增，要使得对任意[1,5]x，不等式2()fxc恒成

立，则需2(1)fc且2(5)fc，故2(1)11fcc=−+且2(5)5fcc=+，解得1212c+，或1212c−，c的取值范围是(−,121121)(22−+,)+．16．某个足球俱乐部

为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为23，罚不进的概率为13，每次罚球相互独立．(1)若该队员罚点球4次，记积分为X，求X的分布列与数学期望；(2)记点球积n分的概率为np．（ⅰ）求1

23,,ppp的值；（ⅱ）求np．【解析】（1）由题意得，X的所有可能取值为4，5，6，7，8，()()()43221244112182184,5C,6C38133813327PXPXPX=========

，()()343421322167C,83381381PXPX======，X的分布列为X45678P18188182732811681()1883216204567881812781813EX=

++++=．（2）（ⅰ）由题意得，23123121721113,,2333933327ppp==+==+=．（ⅱ）由题意得，要得n分，必须满足以下情形：先得1n−分，再点1个球不进，此时概率为113np−，或先得2n−分，再点1个球进球，此时概率为

223np−，这两种情况互斥，()12112122,333nnnnnnnppppppp−−−−−=+−=−−，1nnpp+−是首项为21714939pp−=−=，公比为23−的等比数列，114293nnnp

p−+−=−，()()()112211nnnnnpppppppp−−−=−+−++−+23424241322939393553nnn−−=−+−+++=+−，322553nnp=+−．17．如图，AB，

CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，过CD的平面与PB交于点E，若45BOE=，点F在圆O上，PAPB⊥.(1)求证：PB⊥平面CDE；(2)若30ABF=，2PA=，求三棱锥FBOE−的体积.【解析】（

1）连接PO，则PO⊥圆O所在平面，而CD在圆O所在平面内，∴POCD⊥，又CDAB⊥，ABPOO=，AB，PO平面PAB，∴CD⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴PBCD⊥，由PAPB⊥，且PAPB=可得PAB45=，又45BOE=

，∴//OEPA，∴E为PB的中点，且BEOE⊥，又OECDO=，OE，CD平面CDE，∴PB⊥平面CDE；（2）由题意得，2PAPB==，22AB=，由30ABF=可得2AF=，6BF=，∴12632ABF

S==△，1322BOFABFSS==△△，点E到底面的距离等于点P到底面距离的一半，即为22，∴三棱锥FBOE−的体积132632212FBOEEBOFVV−−===.18．已知椭圆C：2214xy+=的左、右顶点分别为M，N，点()00,Pxy（00y）在椭圆C上，若点

()6,EEy−，()6,FFy−分别在直线MP，NP上.(1)求MPMFkk的值；(2)连接FM并延长交椭圆C于点Q，求证：E，N，Q三点共线.【解析】（1）∵点()00,Pxy在椭圆C上，∴220014xy+=.又直线MP的斜率为002yx+，直线

NP的斜率为002yx−，∴直线NP的方程为()0022yyxx=−−，令6x=−，则0082yyx−=−，∴点F的坐标为0086,2yx−−−，∴直线MF的斜率为0000822622yxyx−−=−+−，∴2020002200002142212244

2MPMFxyyykkxxxx−====−+−−−.（2）设直线MP的斜率为k，则()2ykx=+，令6x=−，则4yk=−，可得()6,4Ek−−.而直线MF的斜率为12k−，∴直线MF的方

程为()122yxk=−+.联立2244022xyxky+−==−−，可得()22120kyky++=，易得Q点的纵坐标为221kk−+，将其代入回直线22xky=−−，可得221kyk−=+，∴222222

,11kkQkk−−++，∴直线NQ的斜率为22220122221kkkkk−−+=−−+，直线NE的斜率为40622kk−−=−−，∴NQNEkk=，∴E，N，Q三点共线.19．欧拉函数()*()Nnn的函数值等于所有不

超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：(1)1=，(4)2=.(1)求()25，()35，()5n；(2)若数列na满足()155nnnaa−−=，且15a=，求数列na的通项公式和前n项和nS.【解析】（1）()225552

0=−=，()332555100=−=，()1155545nnnn−−=−=.（2）∵11545nnnaa−−−=，∴114555nnnnaa−−−=∵115a=，∴数列na是以1为首项，以45为公差的等

差数列.∴4411(1)555nnann+=+−=，∴1(41)5nnan−=+，01215595135(41)5nnSn−=+++++，12155595(43)5(41)5nnnSnn−=+++−++，∴1214

5454545(41)5nnnSn−−=++++−+45455(41)515nnn−=+−+−555(41)5nnn=−+−+45nn=−∴5nnSn=.