【文档说明】上海市徐汇区2021-2022学年高三二模数学试题含解析.docx，共(18)页，984.490 KB，由小赞的店铺上传

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2022届徐汇区高三数学二模卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若1tan2=，则tan2=________.

【答案】43【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】22tan14tan231tan34===−.故答案为：43.【点睛】本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.2.不等式111

x−的解集为______.【答案】(1,2)【解析】【详解】因为111x−，∴11(1)210111xxxxx−−−+−==−−−，∴201xx−−，∴解集为(1,2)x.故答案为：()1,2．3.在631xx−的二项展开式中，2x项的系数为_______

_______．【答案】20−【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出含2x项时对应r的值，从而得出答案.【详解】631xx−的二项展开式的通项公式为：()466316631C1CrrrrrrrTxxx

−−+=−=−令4623r−=，解得3r=，则()3322461C20Txx=−=−所以2x项的系数为20−故答案为：20−4.已知球的体积为43，则该球的左视图所表示图形的面积为____

__________．【答案】【解析】【分析】已知球的体积43，可由球的体积公式343VR=得到球的半径R，又因为球从每个方向看都是半径为R的圆，即可求解.【详解】设球的半径为R，则由题意得，球的体积34433VR==，解得1R=；又因为该球的左视图所表示图形为半径为1的圆

，所以该球的左视图所表示图形的面积21S==.故答案为：.5.圆22:2440Cxyxy+−−+=的圆心到直线：3440xy++=的距离d=【答案】3【解析】【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线3440xy++

=的距离为22384334d++==+．考点：点到直线的距离．6.若关于x的实系数一元二次方程20xbxc−+=的一根为1i−（i为虚数单位），则bc+=____．【答案】4【解析】【分析】根据实系数一元二次方程

的根的特征，可得1i−的共轭复数也是方程的根，利用韦达定理得到方程，计算可得；【详解】解：因为1i−为实系数一元二次方程20xbxc−+=的一根，所以1i+也为方程20xbxc−+=的根，所以()()()()1i1i1i1ibc−++=−+=

，解得22bc==，所以4bc+=；故答案为：47.已知mR，若直线1l：10mxy++=与直线2l：9230xmym+++=平行，则m=______________．【答案】3【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】

解：因为直线1l：10mxy++=与直线2l：9230xmym+++=平行，所以()29101231mmm−=+，解得3m=，故答案为：3.8.已知实数x、y满足约束条件232300

xyxyxy++，则zxy=+的最小值是______________．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线zxy=+，找出使得该直线在x轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组2

32300xyxyxy++所表示的可行域如下图所示：联立2323xyxy+=+=，解得11xy==，即点()1,1A，平移直线zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线zxy=+在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即min112z=+=.故答案为

：2.9.设()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()01,xfxabab=+R，若()fx存在反函数，则b的取值范围是______________．【答案】1b−或0b.【解析】【分析】先求

出()fx的解析式，若()fx存在反函数，则()fx在每段单调且各段值域无重合，计算得解.【详解】当0x时，0x−，()xfxab−−=+，()fx是定义在R上的奇函数，所以()()xfxfxab−=−−=−−，即0x时，()xfxab−=−−，所以()0

,00,0xxabxfxabxx−+=−−=，，若()fx存在反函数，则()fx在每段单调且各段值域无重合，当()()0,,1xxfxabbb=++，()()0,1,xxfxabbb−=−−−−−，()00=f；所以0bb−或1

01bb+−−所以1b−或0b.故答案为：1b−或0b.10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是__________

____．（结果用最简分数表示）【答案】2932【解析】【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得.【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为44种，4个人恰好分配到4个学校的情况为4424A=种，所以4人中至少有2人选择到同一所学

校的情况有44-24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是4442429432−=.故答案：2932.为11.在ABC中，已知1AB=，2AC=，120A=，若点P是ABC所在平面上一点，且满足APABAC=+，1BPCP

=−，则实数的值为______________．【答案】1或14【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BPCP，用ABAC，表示出来，再用1BPCP=−建立方程，解出的值.【详解】由APABAC=+，得APABAC−

=，即BPAC=，(1)CPAPACABAC=−=+−，在ABC中，已知1AB=，2AC=，120A=，所以2((1))(1))BPCPACABACACABAC=+−=+−22co

s1204(1)451=+−=−=−，即24510−+=，解得1=或14=所以实数的值为1或14.故答案为：1或14.12.已知定义在R上的函数()fx满足()()121fxfx+=+，当)0,1x时，()3fxx=

．设()fx在区间)()*,1Nnnn+上的最小值为na．若存在*nN，使得()127nan+−有解，则实数的取值范围是______________．【答案】3(,)32−【解析】【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当)1,2x，)2,3x，),,1xnn+时，()fx

的解析式，进而求出21nna=−，然后，得到存在*nN，使得()127nan+−有解，则有272nn−有解，进而必有max272nn−，进而求出max272nn−,即可求解.【详解】当)0,1x时，()3fxx=，因为定义在

R上的函数()fx满足()()121fxfx+=+，()()312121fxfxx+=+=+，令11tx=+，则11xt=−，所以，当)11,2t时，有311()2(1)1ftt=−+，所以，当)1,2x时，3()2(1)1fxx

=−+，()()31214(1)3fxfxx+=+=−+，令21tx=+，则21xt=−，)22,3t，有322()4(2)3ftt=−+，所以，当)2,3x时，3()4(2)3fxx=−+，同理可得，)3,4x时，3()8(3)7fxx=−+，根据规律，

明显可见当),1xnn+，()2()21nnnfxxn=−+−，且此时的()fx必为增函数，又因为na为()fx在区间)()*,1Nnnn+上的最小值，所以，1231,3,7,21nnaaaa

====−，所以，若存在*nN，使得()127nan+−有解，则有272nn−有解，进而必有max272nn−，根据该函数的特性，明显可见，当5n=时，有max273232nn−=，所以，此时有

332故答案为：3(,)32−二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．．13.下列以t为参数的方程所表示的曲线中，与曲线1xy=完全一致的是（）A.1212x

tyt−==B.1xtyt==C.cossecxtyt==D.tancotxtyt==【答案】D【解析】【分析】根据x范围依次排除ABC得到答案.【详解】A.1212xtyt−==，120xt=排除；B

.1xtyt==，0xt=排除；C.cossecxtyt==1cos1xt−=，排除；故选：D【点睛】本题考查了参数方程，意在考查学生对于参数方程的理解和掌握情况.14.已知函数()sin2fxx=，,xab，则“2ba

−≥”是“()fx的值域为1,1−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取0a

=，2b=，则2ba−≥成立，此时0,2x，则20,x，可得()sin20,1fxx=，充分性不成立；必要性：函数()sin2fxx=的最小正周期为22T==，因为函数()fx在,ab上的值域为1,1−，当函数()fx在,ab上单调

时，ba−取得最小值，且有22Tba−=，必要性成立.因此，“2ba−≥”是“()fx的值域为1,1−”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.15.某高校举行科普知识竞赛，

所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（）A.60B.70C.80D.100【答案】A【解析】【分析】因为方差()50022110.82500iisxx==−=，

平均数82x=，利用数字特征，通过计算各个选项排除求解.【详解】设所有参赛的500名选手成绩为：1x，2x，L，500x；则平均数5001182500iixx===；方差()50022110.82500ii

sxx==−=，即()500215000.82410iixx=−==；对于A选项，若存在60ix=，则有()()()50022216082484410iiixxxx=−=−=−=，所以60ix=不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在70ix=，则有()()()50022217082

144410iiixxxx=−=−=−=，所以70ix=有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在80ix=，则有()()()500222180824410iiixxxx=−=−=−=，所以80ix

=有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在100ix=，则有()()()500222110082324410iiixxxx=−=−=−=，所以100ix=有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故选：A.16.设数列na，若存在常

数t，对任意小的正数s，总存在正整数0n，当0nn时，nats−，则数列na为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（）A.若等比数列na是收敛数列，则公比()0,1qB.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列na的前n项和为()0nnSS，则数列1n

S一定是收敛数列D.设数列na的前n项和为nS，满足11a=，11nnSa+=+，则数列na是收敛数列【答案】C【解析】【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因

此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB不正确；选项C：设等差数列na的公差为()dd0，所以1111(1)2nSnannd=+−，当0d时，当n→+时，10nS→，所以数列1n

S一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D：因为11a=，11nnSa+=+，所以可得21a=，当2,Nnn时，由1111nnnnSaSa+−=+=+，两式相减，得11nnnaaa+−=−，所以345670,1,1,0,1aaaaa==−=−

==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤．17.如图，已知AB为圆柱1OO的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，2OA=，60BOP=，圆柱1OO的表面积为24．（1）求三棱锥1AAPB−的体积；（2）求直线AP与平面1APB所成的角的大小．【答案】（1）833（2）27sin7arc【解析】【分析】（1）

根据表面积为24，求得14AA=，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；（2）根据题意证得BP⊥平面1AAP，得到平面1APB⊥平面1AAP，过点A作1AMAP⊥，证得AM⊥平面1APB，得到APM为直线AP与平面1APB所成的角，再直角1AAP中，求得12

7sin7APA=，即27sin7APM=，即可求解.【小问1详解】解：由题意，AB是圆柱1OO的底面圆O的一条直径，且2OA=，其表面积为24，可得21222224AA+=，解得14AA=，在

AOP中，由60BOP=且2OAOP==，可得120AOP=o，所以23AP=，在BOP△中，2OBOP==且60BOP=，可得2BP=，所以三棱锥1AAPB−的体积1111183234332

3AAPBAPBVSAA−===.【小问2详解】解：由AB为圆柱1OO的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，可得BPAP⊥，又由1AA⊥平面ABP，BP平面ABP，所以1BPAA⊥，因为1APAAA=且1,APAA平面1AAP，所以BP⊥平面1AA

P，又因为BP平面1APB，所以平面1APB⊥平面1AAP，过点A作1AMAP⊥，垂足为M，如图所示，因为平面1APB⊥平面1AAP，平面1APB平面11AAPAP=，且AM平面1AAP，所以AM⊥平面1AP

B，所以APM为直线AP与平面1APB所成的角，又由2OA=，60BOP=，可得2PB=，在直角ABP△中，可得2223APABPB=−=，在直角1AAP中，可得221127APAAAP=+=，

所以111427sin727AAAPAAP===，即27sin7APM=，所以直线AP与平面1APB所成的角的大小27sin7arc.18.已知a为实数，函数()fxxxaa=−−，Rx．（1）当2a=时，求函数()fx的单调递增区间；（2）若对任意()0,1x，()

0fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）(,1−和)2,+（2）1,2+【解析】【分析】（1）当2a=时，化简函数()fx的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数()fx的增区间；（2）由已知可得axax−，推导出0a，可得出aaaxx

x−−，利用参变量分离法可求得实数a的取值范围.【小问1详解】解：当2a=时，()2222,22222,2xxxfxxxxxx−−=−−=−+−，当2x时，()()213fxx=−−，此时函数()fx的单调递增区间为)2,+；当2x时，()()211

fxx=−−−，此时函数()fx的单调递增区间为(,1−.综上所述，当2a=时，函数()fx的增区间为(,1−和)2,+.【小问2详解】解：当()0,1x时，由()0fx可得xxaa−，即axax−，所以，0a，所以，aaaxxx−−，整理得2111x

axaxx+−对任意的()0,1x恒成立，因为()0,1x，则1110xxx−−=，所以，不等式11axx−对任意的()0,1x恒成立，只需考虑不等式21xa

x+对任意的()0,1x恒成立，当()0,1x时，()2211112111xxxxxx+−==++−+++，令()11,2tx=+，()12gttt=+−，由双勾函数的单调性可知，函数()12gttt=+−在()1,2上单调递增，当()1,2t时，()1120,2gttt=+−

，因此，12a.19.某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC=，20ABAC==（单位：米），E、F为BC上的两点，且45EAF=，AEF区域为休息区，ABE△和ACF区域均为活动区．设()045EAB=

．（1）求AE、AF的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）20sincosAE

=+米，102cosAF=米；（2）当为8时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为()20022−平方米.【解析】【分析】（1）由角的关系易得：135AEB=−，90AFC=+；在ABE△中，由正弦定理得：si

nsinAEABABEAEB=，可解得AE，同理在ACF中得：sinsinAFACACFAFC=，解得AF.（2）活动区的面积最大即休息区AEF尽可能小，又（1）可得：1sin2AEFSAFAEEAF=△利用三角恒等变换及计算得到2002si

n214AEFS=++△，根据三角函数的值域可知8=时，得到休息区AEF的最小值，从而得到活动区最大值.【小问1详解】由题意得，20ABAC==米，90BAC=，则45ABCACB==，又由()045EAB=，180135AEBEABABE

=−−=−，9045CAFEAFEAB=−−=−，所以18090AFCCAFACF=−−=+；在ABE△中，由正弦定理得：sinsinAEABABEAEB=，即()2020sin45sin135sincosAEAE=

=−+米；同理，在ACF中，sinsinAFACACFAFC=，即()20102sin45sin90cosAFAF==+米；综上所述：20sincosAE=+米，102cosAF=米.【小问2详解】由（1）知，综20sincosAE=+米，102cosAF=米，所

以小老虎休息区AEF面积为:1120102sinsin4522sincoscosAEFSAFAEEAF==+△化简得：210010020011cos2sincoscossin22sin21224AEFS===+++++

△又()045EAB=，32444+，则当242+=，即8=时，AEFS取得最小值()200200212sin2184=−++；此时小老虎活动区面积

S取得最大值，即()()1202020021200222ABCAEFSSS=−=−−=−△△平方米.综上所述：当为8时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为()20022−平方米.20.在平面直角坐标系中，已知点()0,2A、()0,2B−，动点(),Cxy关于直线yx=

的对称点为D，且212ADBDx=，动点C的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）已知动点P在曲线E上，点Q在直线22y=上，且0OPOQ=，求线段PQ长的最小值；（3）过点()2,0−且不垂直于x轴的直线交曲线E于M、N两点，点M关于x轴的对称点

为M，试问：在x轴上是否存在一定点T，使得M、N、T三点共线？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22142xy+=（2）23（3）在x轴上存在一定点()22,0T−，使得M、N、T三点共线,理由见解析.【解析】【分析

】(1)先得出点(),Dyx，由向量的数量积的坐标运算可得答案.(2)设()(),22Pxyx−，(),22Qm,则22mxy=−，则可得到2222228PQOPOQxym=+=+++，然后利用条件消元，从而可得答案.(3)设直线MN的方程为()2ykx=+与曲线E的方程联立，得出韦

达定理，由点的坐标得出直线MN的方程，令0y=，将韦达定理代入，可得出答案.小问1详解】【由点(),Cxy关于直线yx=的对称点为D，则(),Dyx则(),2ADyx=−uuur，(),2BDyx=+uuur

所以222122ADBDyxx=+−=uuuruuur，即2222xy+=所以曲线E的方程为：22142xy+=【小问2详解】由点P在曲线E上，设()(),22Pxyx−，点Q在直线22y=上，设()

,22Qm由220OPOQmxy=+=uuuruuur，即22mxy=−，由0OPOQ=uuuruuur，则OPOQ⊥所以2222228PQOPOQxym=+=+++当0x=时，2y=，此时不满足22mxy=−，即不满足0OPOQ=uuuruuur.

所以0x，由0OPOQ=uuuruuur，则2228ymx=222222228228281022xxyxPQxxx−=+−++=++221662xx=++由22x−，则设(20,4tx=由勾型函数的单调性，可知函数161326622tyttt=++

=++在(0,4上单调递减.此时当24x=时，2min24612PQ=++=所以线段PQ长的最小值为23【小问3详解】在x轴上存在一定点T，使得M、N、T三点共线.设()()1122,,,,MxyNxy则()11,Mxy−由题意设直

线MN的方程为()2ykx=+由()222142ykxxy=++=，可得()22221242440kxkxk+++−=所以221212224244,1212kkxxxxkk−−+==++直线MN的方程为()211121yyyy

xxxx++=−−令0y=，得()()()()1211212211112112122222222kxxxxxxxxxxyxxyyxxkxx+−++−=+=+=+++++22222244422281212224222

2212kkkkkk−−+−++===−−++所以直线MN：()211121yyyyxxxx++=−−恒过点()22,0−所以在x轴上存在一定点()22,0T−，使得M、N、T三点共线.【点睛】关键点睛：本题考查利用向量的坐标运算求

轨迹方程，利用函数思想求两点间距离的最大值，以及求直线过定点问题，解答本题的关键是联立方程得出韦达定理，得出直线MN的方程为()211121yyyyxxxx++=−−，令0y=将韦达定理代入得出定点，运算比较

复杂，属于难题.21.对于数列na，记()()*213211,nnVnaaaaaann−=−+−++−N．（1）若数列na通项公式为：()()*112nnan+−=N，求()5V；（2）若数列na满足：1aa=，nab=，且ab，求证：()Vna

b=−的充分必要条件是()11,2,,1iiaain+=−；（3）已知()20222022V=，若()121ttyaaat=+++，1,2,,2022t=．求213220222021y

yyyyy−+−++−的最大值．【答案】（1）4（2）证明见解析（3）2021.【解析】分析】（1）直接求出123450,1,0,1,0aaaaa=====，即可求()5V；（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；（3）先计算出()1213211121kkkkyyaaa

akaakk++−−−−−++++，利用放缩法和裂项求和法求出()2022S的最大值.【小问1详解】由通项公式()()*112nnan+−=N得：123450,1,0,1,0aaaaa=====.所以

()21324354511114aaaaaaVaa=−+−+−+−=+++=小问2详解】充分性:若数列na的前n项单调不增,即21naaa.此时有：()()()()()11122334111niinnninaaaaaaaaaaaaabV−+−==−

=−+−+−++−=−=−.必要性：用反证法.若数列na不满足()11,2,,1iiaain+=−,则存在k(11kn−),使得1kkaa+,那么()1111111111nkniiiikiiiiikkVnaaaaaaaa−−−++++===+=−=

−+−+−()111kkknkaaaaaa++−+−+−()111nkkkkaaaaaa++−+−+−()11kkkkabaaaa++−+−+−由于1,kkaaab+所以()11kkkkabaa

aaab++−+−+−−.与已知()Vnab=−矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述：()Vnab=−的充分必要条件是()11,2,,1iiaain+=−【小问3详解】由()121,1,2,,2022ttyaaatt=+++=，令()121,1,2,,2021kky

aaakk=+++=，则【【,()211111kkyaaak++=++++.所以()()()()121321121kkkkyyaaaakaakk++−+−−=−−−−−()()21321121k

kaaaakaakk+++−−−++()213211121kkaaaakaakk+=−−−−++++所以202121322022202111kkkyyyyyyyy+=−+−++−=

−()212132111(1)||()||2||223aaaaaa−−+−−+−+21322022202111()(||2||2021||)20212022aaaaaa+−−+−++−213220

222021213220222021111||2||2021||(||2||2021|)22021202|2aaaaaaaaaaaa=−+−++−−−+−++−12022|2022|20212022−=

.（因为213220222021213220222021|2|||2|2||2021|||||02aaaaaaaaaaaa−+−++−−+−−=++）当且仅当21232022||2022,0aaaaa===−==时,2132202220

21yyyyyy−+−++−取得最大值2021.【点睛】(1)数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.(2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减

法．