【文档说明】江苏省南通市通州区2020届高三下学期第一次模拟测试数学试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.425 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市通州区2020届高三第二学期第一次测试数学试题一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1.已知集合|2,AxxxR=，集合2|320,BxxxxR=−+，则AB=_____．【答案】()1,2【解析】【分析】求出集合A,集合B,由此

能求出AB.【详解】解：集合|2,AxxxR=，集合2|320,|12BxxxxRxx=−+=，由题得，AB=|2,xxxR|12,xxxR()1,2=.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算

求解能力以及划归与转化思想，属于基础题.2.设复数1i2i1iz−+=+，则z=__________．【答案】3【解析】【分析】将复数1i2i1iz−+=+化为(,)abiabR+的形式，利用复数的模的定义即可求出z．【详解】因为21i(1i)2i2ii1i(1i)(

1i)2z−−−+====−++−，所以3zi=−，所以220(3)3z=+−=．故答案为：3【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题．3.已知函数()2,0228,2xxxfxxx+=−+，若()()2fafa

=+，则1fa的值是_____.【答案】2【解析】【分析】当02x时，22(2)8aaa+=−++，求出1a=；当2a时，282(2)8aa−+=−++无解.从而()11ffa=，由此能求出结果.【详解】解：由2x时，()28fxx=−+是减函

数可知，当2a，则()()2fafa+，所以02a，由()(+2)fafa=得22(2)8aaa+=−++，解得1a=，则21(1)112ffa==+=.故答案为：2.【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.4.数列na的前n项和为nS，且21nnS=

−，则数列276nnnbaa=−+的最小值为__________.【答案】6−【解析】【分析】由已知求得12nna-=，再由配方法求数列276nnnbaa=−+的最小值．【详解】由21nnS=−，得111aS==，当2n…时，11121212nnn

nnnaSS−−−=−=−−+=，11a=适合上式，12nna-=．则2272576()24nnnnbaaa=−+=−−．当4na=时2725()(4)624nminb=−−=−．故答案为6−．【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，

训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．5.若变量,xy满足22360xyxyx+−，且2xya−恒成立，则a的最小值为_____【答案】4【解析】【分析】令2zxy=−，作平面区域，从而可得到2zxy=−的最大值，从

而求得a的最小值.【详解】解：令2zxy=−，作变量,xy满足22360xyxyx+−的平面区域如下，结合图象可知，()0,2C−，且2zxy=−在()0,2C−处有最大值4，故4a，即实数a的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了线性

规划的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了转化思想的应用，属于基础题.6.青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同

一年级”，则事件A的概率为_____．【答案】15【解析】【分析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数2510nC==，记A=“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件

个数22222mCC=+=，由此能求出事件A的概率．【详解】解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：52402

40240120=++2，高二学生抽取：5240240240120=++2，高三学生抽取：5120240240120=++1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n25C==10，记A=“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m2222CC=+=2，∴事件A的概率为

p21105mn===．故答案为：15【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______．【答案】47【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都

是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．【详解】圆柱与圆锥的底面半径R3=，圆柱与圆锥的高h4=，可得圆锥的母线长为5，则圆锥的全面积为：21πR2πR59π15π24π2+=+=；圆柱的全面积为：22πR2πRh18π24π42π+=+=．圆锥的全面积与圆柱的全面积之比

为：24π442π7=．故答案为47．【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．8.执行下面的程序框图，若输入的a，b的值分别为

0和9，则输出的i的值为____.【答案】3【解析】试题分析：第一次循环，1,8ab==；第二次循环，3,6ab==；第三次循环，6,3,abab==，满足条件，结束循环，此时3,i=故答案为3.考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查

程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）

处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知0,2x，tan34x+=−

，则()2sinsin21cosxxx−+=+__________．【答案】455【解析】【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosx，sinx，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解.【详解】解：0,2x

，1tantan341tanxxx++==−−，tan2x=，即sin2cosxx=，()22222sincos2coscos5cos1xxxxx+=+==，解得5cos5x=，25sin5x=.()2sins

in22sinsin21cos1cosxxxxxx−++=++455=.故答案为：455.【点睛】本题考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.10.函数()lnfxxxa=+的图象在

1x=处的切线被圆22:2440Cxyxy+−+−=截得弦长为2，则实数a的值为________.【答案】6−或2.【解析】【分析】由题可知切线的斜率()11kf==，又()1fa=，所以切点坐标为()1,a，函数()fx的图象在1x=处的切线

方程为1yxa=+−.圆心到切线的距离|2|2ad+=，则222|2|132a++=，求出实数a的值.【详解】因为()lnfxxxa=+，所以()1lnfxx=+代入切点横坐标1x=，可知切线的斜率()11kf==.又(

)1fa=，所以切点坐标为()1,a，所以函数()lnfxxxa=+的图象在1x=处的切线方程为1yxa=+−.又因为圆22:2440Cxyxy+−+−=，圆心坐标为()1,2−，半径为3，所以圆心到

切线的距离|2|2ad+=.因为切线被圆22:2440Cxyxy+−+−=截得弦长为2，则222|2|132a++=，解得实数a的值是6−或2.故答案为：6−或2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.11.若正实数x、y满足229x

xyy−+=，且229xy−，则xy的取值范围为______．【答案】(6,9【解析】【分析】由229xxyy−+=结合重要不等式得到9xy；由229xy−两边平方后变形，再根据重要不等式得到6xy，进而可得所求的范围．【详解】由229xxyy−+=，

得2292xyxyxy+=+，当且仅当xy=时等号成立，所以9xy．由22||9xy−，得222()81xy−，即22222()481xyxy+−所以222(9)481xyxy+−即23()188181xyxy−++，解得6xy

．所以69xy．故xy的取值范围为(6,9．【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立．12.已知直角三角形ABC的两直角边3CA=，4C

B=，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则PAPB的最大值为________．【答案】54−【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，建立直角坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标，计算结果即可.【详解】解：由题意，直角三角形ABC的斜边长为

5，由等面积法可得内切圆半径341345r==++.建立如下图所示得直角坐标系，则根据图象可得()0,0O,()1,1C−−,()2,1A−,()1,3B−,设()cos,sinPθθ，()2cos,1sinPA=−−−，

()1cos,3sinPB=−−−，22coscos2sin2sin3PAPB=−−+−−()2sincos4=−+−()5sin4=−+−，()sin1+=−时，PAPB的最大值为54−.故答案为：54−.【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系，利用向量坐

标解决向量问题的方法，结合正弦函数的最大值的求法，体现了计算能力，属于中档题.13.已知函数()11,1,05xfxx=−−，()222log+3,,22gxaxax=，若对任意的02,22x

，总存在11,0x−使得()()01gxfx=成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】01a【解析】【分析】根据任意的02,22x，总存在11,0x−使得()

()01gxfx=成立，问题转化为()gx的值域是()fx值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a的取值范围.【详解】因为函数()151xfx=−在[1,0]−上单调递减，所以(0)()

(1)ffxf−，即0()4fx，所以函数()fx的值域为[0,4]，因为对任意的02,22x，总存在11,0x−使得()()01gxfx=成立，故()gx的值域是()fx值域

的子集，对22()log3gxaxa=+，2[,2]2x，当0a=时，()0gx=，符合题意；当0a时，函数()gx在2[,2]2单调递增，所以2213()32aagxaa−+，所以22103234aaaa−+，，解得01a，又0a，所以01a，综上，实数a的取值范

围是[0,1]．故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1xA，都存在2xB，使得12()()gxfx=成立”此类问题“等价转化”策略是利用()gx的值域是()fx值域的子集来求

解参数的范围．14.已知函数()2lnxfxxeta=+−，若对任意的1,te，()fx在区间1,1−总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是_________.【答案】11,ee+【解析】【分析

】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的01,1x−，使得()0lnfxta=−+在1,te上恒成立，得到()01fxee，即1lntaee−+，得出关于a的不等式组，求解即可.【详解】解：函数()2ln0xfxxeta=+

−=，可得2lnxxeta=−+，令()2xgxxe=，则()()222xxxgxxexexex=+=+，1,1x−，令()0gx=，则0x=，当()0gx时，01x，当()0gx

时，10x−，()gx在)1,0−上单调递减，在(0,1上单调递增，()()min00gxg==.()()111ggee−==，()()max1gxge==，存在唯一的01,1x−，使得()0lnfxta=−+在1,te

上恒成立，()01fxee，1lntaee−+在1,te上有唯一解，11aeae−+，解得11aee+.故答案为：11,ee+.【点睛】本题考查了导数函数最

值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立问题，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2coscos−=acbAB.（1）求A；（2）

若1a=，求ABCV面积的最大值.【答案】（1）3A=；（2）34【解析】【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，即可确定出角A的大小；(2)由,cosaA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求

出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．【详解】解：（1）由2coscos−=acbAB可得：cos2coscos=−aBcAbA，由正弦定理可得：sincos2cossincossin=−ABACAB∴sin()2cossinsin2cossin+==ABACCAC，∵sin0C

，∴1cos2A=，∵(0,)A，∴3A=；（2）由（1）知3A=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即221bcbc=+−∵222bcbc+，所以1bc（当且仅当1bc==时取等号）∴13sin24=ABCSbcA，所以ABC面积的最大值为3

4.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16.如图，在三棱锥ABCD−中，E为CD的中点，O为BD上一点

，且//BC平面AOE.()1求证：O是BD的中点；()2若ABAD=，BCBD⊥，求证：平面ABD⊥平面AOE.【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1利用线面平行的性质即可得证；()2直接利用面面垂直的判定定理证明即可.【详

解】解：()1证明：//BC平面AOE，BC平面BCD，平面BCD平面AOEOE=，//BCOE,E为CD的中点，O是BD的中点.()2证明：//BCOE，BCBD⊥OEBD⊥，ABAD=，O是BD的中点，OABD⊥，OEO

AO=,且都在平面AOE内，BD⊥平面AOE，BD平面ABD，平面ABD⊥平面AOE.【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.17.已知椭圆()2222:10xyCaba

b+=上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为32，点A为椭圆C的左顶点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆()()222:202Mxyrr+−=，过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C于点B和D，求证：直线BD过定点.【答案】（1）2214xy+=（2）1

0,03−.【解析】【分析】（1）根据题中条件得到2432aca==，再由222bac=−即可求出结果；（2）先设设切线,ABAD的方程为()2ykx=+，由圆心到直线的距离等于半径得到()222484

0rkkr−−+−=，再设两切线,ABAD的斜率为12,kk，可得到121kk=，联立切线与椭圆方，设()()1122,,,BxyDxy，可用12,kk分别表示出BD，坐标，进而可求出BDk，得到直线BD的方程，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，2

432aca==，解得32ca==，2221bac=−=.椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）设切线,ABAD的方程为()2ykx=+，则2221krk−=+，即()2224

840rkkr−−+−=.设两切线,ABAD的斜率为12,kk，则121kk=.联立()22214ykxxy=++=，得()222214161640kxkxk+++−=，设()()1122,,,BxyDxy，则21

1212814kxk−=+，1121414kyk=+，同理2221212222222121282844,144144kkkkxykkkk−−====++++，则()11221112221112211444143282841414BDkkkkkkkkkkk−++==−−+−

++.直线BD的方程为()21112221114328141441kkkyxkkk−−=−+++，整理得()121310341kyxk=++，故直线BD过定点10,03−

.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中直线过定点的问题，通常需要联立直线与曲线方程，结合题中条件求解，属于常考题型.18.如图，一条小河岸边有相距8km的,AB两个村庄（村庄视为岸边上,AB两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽QH为0.05km

，通过测量可知，PAB与PBA的正切值之比为1:3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（,MN分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已

知,AB两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设PMQ=．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示L；（2）试确定的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【答案】

（1）3170751000sintanLmm=+−，0,2；（2）当1cos3=时，符合建桥要求.【解析】【分析】（1）利用正切值之比可求得6PA=，2PB=；根据

2PQ=可表示出PM和MQ，代入()()1000500LANMNMPBNMNMP=+++++整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得3cos70751000sinLmm−=+，利用导数可求得1cos3=时，()L取得

最小值，得到结论.【详解】（1）PAB与PBA的正切值之比为1:3:1:3PHPHPAPB=:3:1PAPB=则6PA=，2PB=2PQ=2sinPM=，2tanMQ=()()1000500LANMNMPB

NMNMP=+++++2222100060.0550020.05tansintansinmm=−++++++3170751000sintanmm=+−，0,23170751000sintanL

mm=+−，0,2（2）由（1）知：3cos70751000sinLmm−=+，0,2()()()223cossin3cossin13cos10001000sin1co

sLmm−−−−==−，0,2令0L=，解得：1cos3=令01cos3=，且00,2当()00,时，1cos3，0L；当0,2时，1cos3，0L函数()L在()0

0,上单调递减；在0,2上单调递增；0=时，函数()L取最小值，即当1cos3=时，符合建桥要求【点睛】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变

量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.19.已知数列{}na，其前n项和为nS，满足12a=，1nnnSnaa−=+，其中2n…，nN，，R.⑴若0=，4=，+12nnnbaa=−（nN），求证：数列{}nb是等比数列；⑵若数列{}na

是等比数列，求，的值；⑶若23a=，且32+=，求证：数列{}na是等差数列.【答案】（1）见解析（2）10==，（3）见解析【解析】试题分析：（1）14nnSa−=(2n),所以12nnbb−=，故数列nb是等比数列；（2）利用

特殊值法，得1,1q==，故10==，；（3）得112==，，所以12nnnnSaa−=+，得()()111220nnnnanaa+−−−−−=，可证数列na是等差数列.试题解析：（1）证明：若0,4==，则当14nnSa−=(2n),所以

()1114nnnnnaSSaa++−=−=−，即()11222nnnnaaaa+−−=−，所以12nnbb−=，又由12a=，1214aaa+=，得2136aa==，21220aa−=，即0nb，所以12nnbb−=，故数列nb是

等比数列．（2）若na是等比数列，设其公比为q（0q），当2n=时，2212Saa=+，即12212aaaa+=+，得12qq+=+，①当3n=时，3323Saa=+，即123323aaaaa++=+，得2213qqqq++=+，②当4n=时，4434S

aa=+，即1234434aaaaaa+++=+，得23321+4qqqqq++=+，③②−①q，得21q=，③−②q，得31q=，解得1,1q==．代入①式，得0=．此时nnSna=(2n)，所以12naa==，na是公比为１的等比数列，故10==，．

（3）证明：若23a=，由12212aaaa+=+，得562=+，又32+=，解得112==，．由12a=，23a=，12=，1=，代入1nnnSnaa−=+得34a=，所以1a，2a，3a成等差数列，由12nnnnSaa−=+，

得1112nnnnSaa+++=+，两式相减得：111122nnnnnnnaaaaa++−+=−+−即()()111220nnnnanaa+−−−−−=所以()21120nnnnanaa++−−−=相减得：(

)()211212220nnnnnnananaaa++−−−+−−+=所以()()21112220nnnnnnnaaaaaa+++−−++−+=所以()()()()221111-2222221nnnnnnnnnaaaaaaaaannn+

++−−−+=−−+=−+−()()()13212212naaann−−==−+−，因为12320aaa−+=，所以2120nnnaaa++−+=，即数列na是等差数列.20.若函数()()fxgx+和()()fxgx同时在xt=处

取得极小值，则称()fx和()gx为一对“()Pt函数”.（1）试判断()fxx=与2()gxxaxb=++是否是一对“(1)P函数”；（2）若()xfxe=与2()1gxxax=++是一对“()Pt函数”.①求a和t的值；②当0a时，若对于任意[1,)x+，恒有()()()(

)fxgxmfxgx+，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fxx=与()2gxxaxb=++不是一对“P(1)函数”，详见解析（2）①121aet=−=−或10at=−=.②11me+【解析】【分析】（1）利用“(1)P函数”定义证明函数()fxx=与2()gxxaxb=

++不是一对“(1)P函数”；（2）①对a分a＞0，a＜0和a=0三种情况讨论，利用“()Pt函数”的定义求出a和t的值；②原命题等价于11()()mfxgx+，构造函数11()()()Hxfxgx

=+求其最大值得解.【详解】解:令12()()(),()()()hxfxgxhxfxgx=+=.(1)则212()21,()32hxxahxxaxb=++=++，因为()fxx=与2()gxxaxb=++是一对“P(1)函数”所以12(1)30(1)230hahab=+==++=

，所以33ab=−=.此时，因222()3633(1)0hxxxx=−+=−…，2()hx无极小值，故()fxx=与()2gxxaxb=++不是一对“P(1)函数”.(2)①21()1xhxexax=+++，()22()

1xhxexax=++，1()2xhxexa=++，22()(2)1(1)(1)xxhxexaxaexxa=++++=+++，若()xfxe=与2()1gxxax=++是一对“()Pt函数”，由2()(1)(1)0xhxexxa=+++=，得121,1xxa=−=−

−，1.若0a，则有x(,1)a−−−1a−−(1,1)a−−−1−(1,)−+()2'hx+0-0+()2hx↗极大值↘极小值↗因为()2hx在xt=处取得极小值，所以1t=−，从而11(1)20hea−−=−+=，12ae=−经验证知

211()21xehxexx=++−+在1x=−处取得极小值，所以121aet=−=−，2.当0a时，则有x(,1)−−1−(1,1)a−−−1a−−(1,)−+()2'hx+0-0+()2hx↗极大值↘极小值↗因为()2hx在xt=处取得极小值，所

以1ta=−−；从而11(1)20ahaea−−−−=−−=，令1()2,0aaeaa−−=−−，()a在(,0)−是减函数，且(1)0−=，所以1a=−，从而10at=−=经验证知21()1xhxexx=+

−+在0x=处取得极小值，所以10at=−=3.当0a=时，22()(1)0xhxex=+…，()2hx是增函数，无极小值，与题设不符.综上所述：121aet=−=−或10at=−=.②因为0

a，由①之结论知，2()e,()1xfxgxxx==−+，易见()0()0fxgx，，故不等式()()()()fxgxmfxgx+等价于：11()()mfxgx+，令11()()()Hxfxgx=+，则max()

Hxm.因为1x，所以()Hx单调递减，所以max1()(1)1HxHe==+，从而11me+.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和

分析推理能力.附加题【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21.选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00aMb=满足：iiiMaa=，

其中(1,2)ii=是互不相等的实常数，(1,2)iai=是非零的平面列向量，11=，211a=，求矩阵M．【答案】0110M−=−.【解析】试题分析：先写出方程f（λ）=0得到ab=1，再根据题意令i=2得到λ2的值，从而求得矩阵M.详解：由题意，

12,是方程()20afabb−==−=−的两根因为11=，所以1ab=又因为222Maa=，所以2011011ab=，从而22ab==所以221ab==

因为12，所以21=−，从而1ab==−，故矩阵0110M−=−点睛：本题考查简单的矩阵计算，属于基础题.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C：340xy+−=，曲线2C：cos1sinxy=

=+（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）曲线3C：cossinxtyt==（t为参数，0t，02），分别交1C，2C于A，B两点，当取何值时，||||OBOA取得最大值.【答案】（1）3co

ssin40+−=，2sin=.（2）π3=【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式cossinxy==，即可求出；（2）先求出曲线3C的极坐标方程，分别与曲线

1C，2C的极坐标方程联立，即可求出143cossinOA==+，22sinOB==，进而得到211π2sin2146OBOA==−+，由三角函数求值域的方法即可求出||||OBO

A取得最大值．【详解】（1）因为cosx=，siny=，222xy+=，1C的极坐标方程为3cossin40+−=，2C的普通方程为()2211xy+−=，即2220xyy+−=，对应极坐标方程为2sin=．（2）曲线3C的极坐

标方程为=（0，π02），设()1,A，()2,B，则143cossin=+，22sin=，所以21OBOA==()12sin3cossin4+()13sin2cos214=−+1π2sin2146=−+，又π

02，ππ5π2666−−，所以当ππ262−=，即π3=时，OBOA取得最大值34．【点睛】本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程的互化，直线的普通方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程和的几何意义的应用，涉及三角函数知识的运用，意在考查学生

的数学运算能力和转化能力，属于中档题．【必做题】每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点

M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上

.【答案】（1）p＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入计算得到答案.（2）由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程

得到y1+y22k=，y1y2＝﹣4，根据直线方程得到P（1，1k），得到答案.【详解】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且

k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立()222yxykx==−，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y22k=，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则yC1212yyk+==，所以直线l1的方程为y1k=；又直线l2过点M且与直线l垂直，

则直线l2的方程为y1k=−（x﹣2）；联立()112ykyxk==−−，解得11xyk==，所以点P（1，1k），所以点P在定直线x＝1上.【点睛】本题考查了抛物线的p值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力

.24.设实数0c，整数1p，*nN．(1)证明：当1x−且0x时，(1)1pxpx++；(2)数列{}na满足11pac，111pnnnpcaaapp−+−=+，证明：11pnnaac+.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(

Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析;(1)用数学归纳法证明即可；(2)先用数学归纳法证明1pnac，从1pnac着手，由111pnnnpcaaapp−+−=+，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将1nnaa+＞进行转换，

设法利用已证结论证明．试题解析；(Ⅰ)证：用数学归纳法证明（1）当2p=时，()2211212xxxx+=+++，原不等式成立（2）假设()2,*pkkkN=时，不等式()11kxkx++成立当1pk=+时，(

)()()()()111111kkxxxxkx++=++++()()21111kxkxkx=+++++所以1pk=+时，原不等式成立综合（1）（2）,知当且时，对一切整数1p，不等式均成立…（Ⅱ）先用数学归纳法证明1

pnac．（1）当1n=时由假设11pac知1pnac成立．（2）假设()1,*nkkkN=时，不等式1pkac成立由易知0,*nanN当1nk=+时11111pkkpkkapccaapppa−+−=+=+−由10pkac得11110pkcpp

a−−−由（Ⅰ）中的结论得1111111ppkpppkkkkacccpapapaa+=+−+−=因此1pkac+，即11pkac+，所以当1nk=+时，不等式1pnac也成立综合（1）（2）可得，对一切正整数n，不等

式1pnac均成立再由1111npnnacapa+=+−得11nnaa+，即1nnaa+综上所述，11,*pnnaacnN+【点睛】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难

度较大．