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7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值A级必备知识基础练1.若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的均值E(X)等于()A.2B.2或12C.12D.12.若随机变量ξ的分布列如表所示,则E(ξ)的值为

()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.9203.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于()X024P0.30.20.5A.16B.11C.2.2D.2.34.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号

X的均值为()A.13B.23C.2D.835.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为13,乙、丙打中的概率均为𝑡4(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是316,设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数,则ξ的均值是()A.14B.25C.1D.13126.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.ξ

78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为.7.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=,b=.8.为了整顿道路交通秩序,某地考虑

将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x/元05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这

5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.①求这两种金额之和不低于20元的概率;②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.B级关键能力提升练9.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出海后天气坏,将损失200

0元;若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是()A.2000元B.2200元C.2400元D.2600元10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0

.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(ξ)等于()A.1.48B.0.76C.0.24D.111.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是ξ-102P𝑠𝑖𝑛α4𝑠𝑖𝑛α4cosα其中α∈0,π2,则下列

表述正确的是()A.sin𝛼4+sin𝛼4+cosα=1B.cosα=35,sinα=45C.E(ξ)=1D.以上均不正确12.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12-pp12则下列说法正确

的是()A.p∈0,12B.E(X)最大值为32C.p∈0,14D.E(X)最大值为5213.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2√2,-√3,-√52,0,√52,√3,2√2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的均值E(ξ)=.14.(2022浙

江金华模拟)袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)=,第二次取到1个白球1个黑球的概率为.15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起

参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.16.某城市出租汽

车的起步价为10元,行驶路程不超过4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线

的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每累计停车5分钟按1km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;(2)若随机变量ξ的分布列为ξ

15161718P0.10.50.30.1求所收租车费η的均值;(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?C级学科素养创新练17.从一批含有13件正品、2件次品的产品中

不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=()A.2B.1C.3D.47.3.1离散型随机变量的均值1.C由分布列的性质知,𝑎2+𝑎22=1,解得a=1或a=-2(舍去).所以E(X)=0×12+1×12=12.2.C根据概率和

为1,可得x=118,E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=209.3.A由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.4.D依题意X=2,3,所以P(X=2

)=1C32=13,P(X=3)=C21C32=23,所以E(X)=2×13+3×23=83.5.D∵316=13×𝑡4×𝑡4,∴t=3(t=-3舍去).列出分布列,利用均值公式计算.记ξ的所有可能取值为0,1,2,ξ012P1671

214∴E(ξ)=712+2×14=1312.6.0.4由{𝑥+0.1+0.3+𝑦=1,7𝑥+8×0.1+9×0.3+10𝑦=8.9,解得y=0.4.7.1100易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=

3,即30a+10b=3.①又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②由①②,得a=110,b=0.8.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚

20元时行人会闯红灯的概率的差是40200−10200=320.(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=610=35.②根据条件,X的可能取值为5,

10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P110110151515110110故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15+30×110+35×1

10=20.9.B出海的期望效益为5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).10.A随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(

ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为ξ13P0.760.24E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.11.ABC对于A,由随机变量的分布列的性质,得sin𝛼4+sin𝛼4+cosα

=1;对于B,由sin𝛼4+sin𝛼4+cosα=1,得sinα+2cosα=2,联立{sin𝛼=2-2cos𝛼,sin2𝛼+cos2𝛼=1,得5cos2α-8cosα+3=0,解得cosα=35或cosα=1(舍去),又α∈0,π2,则sinα=

45;对于C,E(ξ)=-sin𝛼4+2cosα=-14×45+2×35=1.12.AB由表可得{0≤12-𝑝≤12,0≤𝑝≤12,解得p∈0,12,均值E(X)=0×12-p+1×p+2×12=p+1,当且仅当p=1

2时,E(X)最大值=32.13.47当l的斜率k为±2√2时,直线l的方程为±2√2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=13;当k为±√3时,ξ=12;当k为±√52时,ξ=23;当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为ξ1312231P272727

17故E(ξ)=13×27+12×27+23×27+1×17=47.14.652750由题意得ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31C52=35,P(ξ=2)=C32C52=310,故E(ξ)=

0×110+1×35+2×310=65.第二次取到1个白球1个黑球的概率为P=110×C31C21C52+35×C21C31C52+310×C11C41C52=2750.15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选

代表队)的概率为C33C43C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35,P(X=3)=C33C31C64=15.所

以X的分布列为X123P153515E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×15=2.16.解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17

×0.3+18×0.1=16.4.∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.故所收租车费η的均值为34.8元.(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.17.C由题意可知ξ的取值分别为0,1,2,∴P(ξ=

0)=1315×1214×1113=2235;P(ξ=1)=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235;P(ξ=2)=215×114×1313+215×1314×113+1315×214×113

=135.∴E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25.∴E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=3.