【文档说明】福建省南平市2022届高三上学期10月联考数学试题 含答案.docx，共(11)页，773.076 KB，由小赞的店铺上传

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南平市2022届高三上学期10月联考数学卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21Axx=，57Bxx=−，则AB=（）A．RB．17xxC．51xx−D．5117xxx−−

或2．2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会在日本东京正式闭．17天的比赛全部结束后，排名前十的金牌数如下表所示，则这10个数据的中位数是（）排名12345678910国家/地区美国中国日本英国俄罗斯奥运队澳大利亚荷兰法国德国意大利金牌数3

9382722201710101010A．18.5B．18C．19.5D．203．将函数()sin54fxx=−的图象向左平移5个单位长度，再将得到的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数()g

x的图象，则()gx=（）A．5sin220x−B．sin1020x−C．53sin24x+D．53sin28x+4．已知四边形ABCD为梯形，

则“ADBC=”是“四边形ABCD为等腰梯形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若直线yxm=+与曲线2exny−=相切，则（）A．mn+为定值B．12mn+为定值C．12mn+为定值D．13mn+为定值6．已知单位向量1e，2e的夹角为23

，则12ee−的最小值为（）A．22B．12C．32D．347．已知定义在R上的函数()fx满足()(2)fxfx−=−+，当20x−时，()fx单调递增，则（）A．371tan(2021)log242fffB．371tanlog(2021)2

42fffC．317log(2021)tan224fffD．317logtan(2021)224fff8．根据《

民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg/m为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg/m，

3周后室内甲醛浓度为31mg/m，且室内甲醛浓度()t（单位：3mg/m）与竣工后保持良好通风的时间()*ttN（单位：周）近似满足函数关系式()eatbt+=，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安

全开放标准，至少需要放置的时间为（）A．5周B．6周C．7周D．8周二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若实数x，y满足(i)(3i)24ixy++=+，

则（）A．1iy+的共轭复数为1i−B．1xy=C．|i|y+的值可能为10D．32yx−=−10．下列函数中，最小值为9的是（）A．14yxxxx=++B．2214sincosyxx=+C．4lglg5yxx=+−D．(

)()()222221481xxyx++=+11．已知函数2()coscos26fxxx=−−，则A．()fx的最大值为132+B．()fx的图象关于点7,06对称C．()fx图象的对称轴方程为5()12

2kxk=+ZD．()fx在[0,2]上有4个零点12．定义在[0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，且()()2()0fxxxfx++恒成立，则必有（）A．3(3)2(1)ffB．4(2)5(5)ffC．3(1)5(5)ffD．2(3)3(7)

ff三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()53xy−展开式中的第3项为______.14．设等差数列na的前n项和为nS，已知2410232aaa++=，则9S=______.15．已知()fx不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数(

)fx：______.①定义域为R；②()2fxfx=+；③21(2)2fxf+=；④14f−.16．设函数224,4,()log(4),4,xxxfxxx−+=−关于x的方程()fxt=有四个实根1x，2x，3x，()41234xxxxx

，则123414xxxx+++的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在ABC△中，D是BC边上一点，2AB=，5BC=，19AC=．（1）求角B的大小；（2）若32CDBD=，求AD和s

inDAB．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面ABCD，ABAP=，点E，F分别为BP，CP的中点．（1）证明：BP⊥平面AEF．（2）若24ADAB==，求平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值．19．（12分）

已知数列na的前n项和为nS，且2nSn=．数列nb的前n项积为nT，且2(3)nnnT+=．（1）求na，nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nM．20．（12分）某地区位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水

的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元．当两河流

同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元．方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元．方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水．（1）求今年甲、乙两河流

至少有一条发生洪水的概率；（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的长轴长为43，点()3,6在C上．（1）求C的方程；（2）设C的上顶点为

A，右顶点为B，直线l与AB平行，且与C交于M，N两点，MDDN=，点F为C的右焦点，求DF的最小值．22．（12分）已知函数1()exxfx−=.（1）求()fx的单调区间与极值．（2）设m，n为两个不相等的正数，且lnlnmnnmmn−=−，证

明：4emn．高三数学月考卷参考答案1．D因为11Axxx=−或，所以5117xxx−−或．2．A这10个数据的中位数是172018.52+=．3．C将函数()sin54fxx=−的图象向左平移5个单位长度后，得到的图象

的解析式为3sin554fxx+=+，故53()sin21gxx=+．4．A若ADBC=，则由四边形ABCD为梯形，得//ABCD且ABCD=，所以四边形ABCD为等腰梯形．若四边形ABCD为等腰梯形，则//ABCD或//

BCAD，而当//BCAD时，ADBC．故选A．5．B设直线yxm=+与曲线2exny−=切于点()020,exnx−，因为2exny−=，所以02e1xn−=，02xn=，所以切点为(2,1)n，则12nm=+，故1122mn+=.6．C因为212121cos32eeee

==−，所以22222221122113321244eeeeee−=+−=++=++，故2132ee−.7．A因为()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，又()(2)fxfx−=−+，所以()(2)fxfx=−+，所以()()4f

xfx=+，即()fx是周期为4的函数，则(2021)(50541)(1)fff=+=.因为72344，所以71tan324，()()3331loglog2log22fff=−=，30log21.

因为()fx为偶函数，且当20x−时，()fx单调递增，所以当02x时，()fx单调递减，故371tan(2021)log242fff.8．B由题意可知，(1)e6.25ab+==，3(3)e1ab+==，(3)e(1)254a==，解得2

e5a=．设该文化娱乐场所竣工后放置0t周后甲醛浓度达到安企开放标准，则()()0001102ee6.2510.15tatatbabte−−++===−，整理得01262.55t−，

设1562.52m−=，因为155562.522，所以415m−，即56m，则011tm−−，即0tm．故至少需要放置的时间为6周．9．BCD因为(i)(3i)24ixy++=+．所以32xy−=，34xy+

=，即32yx−=−，1xy=，则32yy−=−．解得1y=或3y=−，故A错误，B，C，D均正确．10．AB2211155249yxxxxxx=++=+++=，当且仅当22x

=时，等号成立．()2222221414sincossincossincosyxxxxxx=+=++2222cos4sin55249sincosxxxx=+++=，当且仅当21tan2x=时，

等号成立．因为lg5x−可能小于0，所以4lglg5yxx=+−的最小值不可能是9．()()()()()()()()()222222222222221222148421249111xxxxxxyxxx+++++++===++

+，当且仅当21x=时，等号成立，则()()()222221481xxyx++=+最大值为9．11．ACD1cos23()cos22xfxx+−=−1113cos2sin2cos22222xxx=++−3

3131sin2cos2sin2442232xxx=−+=−+，则()fx的最大值为132+，A正确令2()32xkkZ−=+，得5()122kxkZ=+，此即()fx图象的对

称轴方程，C正确．易知()fx图象的对称中心的纵坐标为12，B错．由31()sin20232fxx=−+=，得3sin233x−=−当[0,2]x吋，112,333x−−．因为1133sinsin3

323−==−−，所以方程3sin233x−=−在[0,2]上有4个不同的实根，即()fx在[0,2]上有4个零点，D正确．12．ACD设函数()()1xfxgxx=+，

0x，则()()()222()()(1)()()0(1)(1)fxxxfxfxxfxxxfxgxxx++++−==++，所以()gx在[0,)+上单调递减，从而()()()()()12357ggggg

，即(1)2(2)3(3)5(5)7(7)23168fffff，则必有()()3321ff，4(2)5(5)ff，3(1)5(5)ff，6(3)7(7)ff．又()gx在[0,)+上单调递减，则()(

)00gxg=，从而()0fx．因为()()2()0fxxxfx++，所以()0fx，又6(3)7(7)ff，所以2(3)3(7)ff．【光逃解法】取()1fx=−，满足题意，故选ACD．13．361

0xy()53xy−展开式中的第3项为()233336510Cxyxy−=．14．72因为2101546222432aaaaaa++=+==，所以58a=，故()199599722aaSa+===．15．()cos8fxx=（答案不唯一，形如()()cos4fxk

x=（kZ，k为偶数，且|1|k即可）由21(2)2()xffx+=，得2(2)2()1fxfx=−，联想到2cos22cos1xx=−，可推测()cosfxx=.由()2fxfx=+，得()*22||kk=N．则()*||4kkN=，又14f

−，所以()()cos4fxkx=（kZ，k为偶数，且|1|k）16．10作出函数()fx的大致图象，如图所示：由图可知124xx+=，由2log(4)(2)4xf−==，得6510x=或20x=，则4520x.又因为(

)()4232log4log40xx−+−=，所以()()43441xx−−=，所以13144xx=+−，则()314111145444xxxx+=−++−，且44(1,16)x−，所以431125644xx++=，当且仅当()4411444xx−=−，即46x=时，等号成立，故124

314xxxx+++的最小值为10．17．解：（1）在ABC△中，因为2AB=，5BC=，19AC=，所以222425191cos22252ABBCACBABBC+−+−===.因为(0,)B，所以3B=.（2）因为32CDBD=

，5BC=，所以3BD=．在ABD△中，由2222cos7ADABBDABBDB=+−=，得7AD=．因为sinsinBDADDABB=，所以sin321sin14BDBDABAD==.18．（1）证明：因为ABAP=，所以AEBP⊥．因为AP⊥平面ABCD，所以APB

C⊥．又BCAB⊥，APABA=，所以BC⊥平面PAB，从而BCBP⊥.因为点E，F分别为BP，CP的中点，所以//EFBC，从而EFBP⊥．又AEEFE=，所以BP⊥平面AEF．（2）解：分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的

正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,0,2)P，(1,0,1)E，(1,2,1)F，(1,0,1)AE=，(1,2,1)AF=，(0,0,

2)AP=设平面AEF的法向量为()111,,mxyz=，则111110,20,mAExzmAFxyz=+==++=令11x=，得(1,0,1)m=−．设平面AFP的法向量为()222,,nxyz=，则222220

,20,nAFxyznAPz=++===令21y=−，得(2,1,0)n=−．所以210cos,5||||25mnmnmn===.所以平面AEF与平面AFP所成锐二面角的余弦值为10519．解：（1）当1n=时，111aS==；当2n时，221(

1)21nnnaSSnnn−=−=−−=−.经检验，当1n=时，满足21nan=−，因此21nan=−．当1n=时，113bT==；当2n时，222(1)11(3)(3)3(3)nnnnnnnnnTbT+−+−−

====当1n=时，满足3nnb=，因此3nnb=．（2）由（1）知(21)3nnnabn=−，23133353(21)3nnMn=++++−，23413133353(23)3(21)3nnnM

nn+=++++−+−，两式相减得()23112323333(21)3nnnMn+−=+++++−−119332(21)313nnn++−=+−−−16(22)3nn+=−−−故13(1)3nnMn+=+−20．解：（1）由题意，甲河流发生洪水的概率

为0.25．乙河流发生洪水的概率为0.2，则甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为(10.25)(10.2)0.6−−=，所以今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率为10.60.4−=．（2）设损失费为X．方案一：X的可能取化为30000，60000，0．(30000)0.250.80.750.2

0.35PX==+=，(60000)0.250.20.05PX===，(0)(10.25)(10.2)0.6PX==−−=，所以()300000.35600000.0500.613500EX=++=元．方案二：建围墙，需要花费4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水

，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元，两条河流都发生洪水的概率02502005P==．．．，所以该方案中()1000600000.057000EX=+=元方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，设备不会受损

，方案中的花费为9000元所以方案二最好．21．解：（1）因为C的长轴长为43，所以243a=，即23a=.又点()3,6在C上，所以22361ab+=.代入23a=，解得28b=.故C的方程为221128xy+=（2）由（1）可知，A，B的坐标分别为(

)0,22，()23,0，直线AB的方程为23260xy+−=设():23026lxymm++=−联立221128230xyxym+=++=得22422240xmxm++−=．由()2228162438480mmm=−−=−，得248m设()11,Mxy，()22,

Nxy，()00,Dxy，则120224xxmx+==−，因为00230xym++=，所以036my=−.又F的坐标为(2,0)，所以()22222005||2242481224mmmDFxymm=−+=+++=++25122821

55m=++因为2122485−，所以当1225m=−时，DF取得最小值，且最小值为2105.22．（1）解：()fx的定义域为R，()2erxfx−=.当(,2)x−时，()0fx；当(2,)x+时，()0.fx所以()fx的单调递增区间为

(,2)−，单调递减区间为(2,)+．故()fx在2x=处取得极大值，且极大优值21e，无极小值．（2）证明：易知m，0n，lnln(ln1)mnnmmnmn−=−−lnlnln1ln1ln1ln1(ln1)eemmnmnmnmnm−−−−=−==即()ln(ln

)ffmn=，lnlnmn.不妨设1lnxm=，2lnxn=，12xx．（1）可知2(2,)x+，()()120fxfx=，1(1,2)x当23x时，124xx+，1emn当223x时，2

142x−，()()()()22221222222111e31414xrrrexxexxfxfxee−−−−−−−−−−=−=设4()(1)e(3)exxhxxx−=−−−，(2,3)x，则()44()(2)e(2)e(2)eerxxrhxxxx−−=

−−−=−−，因为(2,3)x，4xx−，所以()0hx，()hx在区间(2,3)上单调递增，422()(21)e(32)e0hx−−−−=，所以()()()()2212440fxfxfxfx−

−=−−，()()124fxfx−又因为1x，24(1,2)x−，所以124xx−，即124xx+，故4emm．