【文档说明】天津市武清区杨村第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.396 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年天津市武清区杨村三中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题．1.已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】D【解析】【详解】由题可知，直线y＝x＋1的斜率为1，所以有=-1，所以直线l的倾斜角为135

°2.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M在AC上，且12AMMC=，N在1AD上，且12ANND=．设ABa=，ADb=，1AAc=，则MN=（）A.111333abc−++B.1133abc+−C.112333abc−−D.1133abc−

++【答案】A【解析】【分析】利用向量回路方法11MNMAAAAN=++运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且12AMMC=，N在1AD上，且12ANND=，所以13AMAC=，1123ANAD=，在平

行六面体1111ABCDABCD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，所以ACab=+uuurrr，1ADbc=−，所以11111233MNMAAAANACAAAD=++=−++12()()33abcbc=−+++−111333abc

=−++，故选：A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法11MNMAAAAN=++是常用的方法.3.与直线2:10lmxmy−−=垂直于点(2,1)P的直线的一般方程是（）A.30xy+−=B.30xy++=C.30xy−−=D.2

10mxmy+−=【答案】A【解析】由已知可得22101111(2)30mmmkyxxy−−===−=−−+−=这就是所求直线方程，故选A.4.已知空间向量(,1,)att=，(2,,1)btt=−，则ab−的最小值为（）A.2B.3C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的

坐标运算和模的坐标表示求得ab−关于t的函数关系，然后利用二次函数的性质即得所求.【详解】解：∵(,1,)att=，(2,,1)btt=−，∴(2,1,1)abtt−=−−，则2222||2(1)(1)2(1)4abttt−=+−

+−=−+，∴当1t=时，ab−取最小值为2．故选：C．【点睛】关键要熟练掌握空间向量的模的坐标表示，注意准确运算.5.“3a=”是“直线220axya++=和直线()3+170xaya−+=－平行”的A.

充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3a＝时，直线220axya++=即3x＋2y＋6＝0，直线()3+170xaya−+=－即3240xy++=，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线2

20axya++=与直线()3170xaya+++=－平行时，能得出3a=或2a=−．综上所述，选A．6.已知正方体1111ABCDABCD−中，则直线1BC与平面1ABD所成的角的正弦值是（）A.64B.16C.

63D.32【答案】C【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，然后利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴

，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−中棱长为1，则(1,1,0)B，1(0,1,1)C，1(1,0,1)A，(0,0,0)D，1(1,0,1)BC=−，1(1,0,1)DA=，(1,1,0)DB=，设平面1

ABD的法向量(,,)nxyz=，则100nDAxznDBxy=+==+=，取1x=，得(1,1,1)n=−−，设直线1BC与平面1ABD所成的角为，则1126sin323||BCnBCn===，∴直线1BC与平面1ABD所成的角的正弦值为63．故选：C．【点睛

】利用空间向量求线面角问题是常用的方法，关键要认真仔细运算求得平面的一个法向量，要熟练掌握线面角的正弦值公式.7.已知点A(2,3)，B(－3,－2)，若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范

围是（）A.k≥2或k≤34B.34≤k≤2C.k≥34D.k≤2【答案】A【解析】试题分析：因为2APk=，34BPk=，结合图象可知，当2APkk=或34BPkk=时，则直线l与线段相交，故选A．考点：直线的斜率．8.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为11A

D的中点，则点1C到直线CE的距离为（）A.13B.33C.53D.63【答案】C【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可【详解】建立空间直角坐标系，如图，则(1,1,0)C，1(1,1,1)C，1

0,,12E，所以11,,12EC=−，1(0,0,1)CC=，所以1CC在EC上的投影为1123||1114CCECEC−==−++，所以点1C到直线EC的距离22114||19||CCECdCCEC=−=−53=.故选：C.

【点睛】此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题9.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.32B.12C.

15D.265【答案】B【解析】【详解】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为(,,)nabc=，依题意得111630

660DEnabDAnac=+==+=,可取(1,2,1)n=−−，同理可得平面C1DF的一个法向量为(2,1,1)m=−，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为2211266mmnn+−==.故选B二、填空题10.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－

1)，C(－1,4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．【答案】4【解析】【分析】直接运用两点之间的斜率公式，分别表示出AC与BC的斜率即可.【详解】由题意知，kAC＝3

kBC，即：43413112mmm+−−+=−−−−，解得m＝4.故答案为m=4【点睛】考查了两点之间的斜率公式,运用公式,属于基础题.11.已知向量1e，2e，3e是三个不共面的非零向量，且1232aeee=−+，12342beee=−+−，123115cee

e=++，若向量a，b，c共面，则=________.【答案】1【解析】【分析】由于向量a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb=+，然后将向量a，b，c代入化简可得211452mnmnmn−=−+=−=，从而

可求出的值【详解】因为向量a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb=+，则()()()123123115242eeemnemnemne++=−+−++−，则211452mnmnmn−=−+=

−=，解得731mn===.故答案为：1【点睛】此题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题12.已知点(,)Mab在直线3415xy+=上，则22ab+的最小值为_______.【答案】3【解析】【分析】将22ab+

的最小值转化为原点到直线3415xy+=的距离来求解.【详解】22ab+可以理解为点(0,0)到点(,)ab的距离，又∵点(,)Mab在直线3415xy+=上，∴22ab+的最小值等于点(0,0)到直线34150x

y+−=的距离，且22|304015|334d+−==+.故答案为：3【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.13.已知四面体PABC−，60PABBACPAC===，1AB=，2AC=，3AP=，则ABAPAC++=________

__．【答案】5【解析】【详解】∵四面体PABC−，60PABBACPAC===，1AB=，2AC=，3AP=，∴12cos60123cos603ABACACAP====，，313

cos602ABAP==，∴()21492635ABAPACABAPAC++=++=+++++=.故答案为514.已知点()1,1A，()3,5B到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则l的方程为__________．【答案】

230xy−−=或2x=．【解析】【分析】当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程.【详解】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，若直线l平行于直线AB，则其斜率5

1231lABkk−===−，此时直线l的方程为12(2)yx−=−，即230xy−−=，若直线l经过AB的中点时，点(1,1)A，(3,5)B，则AB中点的坐标为()2,3，当直线l经过线段AB的中点()2,3时，l的

方程是20x−=，综合可得：直线l的方程为：230xy−−=或2x=，故答案为：230xy−−=或2x=．【点睛】本题表面考查点到直线的距离公式，实际上考查直线的平行和中点公式，直线方程的求法，关键在于转化为直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，然后求解.15.已知O(0，0，0)，A(1，

2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当QAQB取最小值时，点Q的坐标是________.【答案】(1,1,2)【解析】【分析】先建立方程OQOP=，再用表示(,,2)Q

，接着用表示QAQB，最后判断当1=时QAQB取最小值并点Q的坐标.【详解】解：因为点Q在直线OP上运动，(1,1,2)OP=所以OQOP=，则(,,2)OQ=，则(,,2)Q则(1,2,12)QA=−−−，(2,1,22)QB=−−−所以2(1)(2)(2

)(1)(12)(22)6(1)QAQB=−−+−−+−−=−当1=时，QAQB取最小值，此时(1,1,2)Q故答案为：(1,1,2)【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标表示，利用空间向量共线表示点的坐标，是基础题.三、解答题16.已知ABC

的顶点(2,1)A−、(4,3)B、(2,2)C−，试求：（1）求AB边的中线所在直线方程；（2）求AC边上的高所在直线的方程.【答案】（1）460xy+−=；（2）4370xy−−=.【解析】【分析】（1）求出线段AB的中点坐

标，利用两点式方程求出AB边上的中线所在的直线方程；（2）求出AC边所在直线的斜率，进而可以求出AC边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求AC边上的高所在的直线方程．【详解】解：（1）线段AB的中点坐标为(1,2)所以AB边上的中线所在直线的方程是：212221yx−−=−−−，即460xy+−=

；（2）由已知1(2)2234ACk=−−=−−−，则AC边上高的斜率是43，AC边上的高所在直线方程是343(4)yx−=−，即4370xy−−=．【点睛】本题考查直线的点斜式，两点式求直线的方程，属于基础题．17.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N

为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【答案】45°【解析】【详解】本试题主要考查了空间中的线线位置关系，以及线面角的求解的综合运用．设PA=1，以A为原点，射线AB，A

C，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CMSN

=−=−−,因为111·(,,0)?(1,1,)0222CMSN=−−−=，所以CM⊥SN．（Ⅱ）1(,1,0)2NC=−,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则102{(2,1,2)102xyzaxy−+==−−+=因为1122cos,2232aSN−−==

所以SN与平面CMN所成角为45°．18.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD－中，已知AB＝2，15AA＝，E、F分别为1DD、1BB上的点，且11DEBF＝＝.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．【答案】（1）见解析（2）53【解析】分析：（1）以D为

原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）BE为平面ACF的一个法向量，向量AE在BE上的射影长即为E到

平面ACF的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5

)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．∵·＝0，·＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，∴点E到平

面ACF的距离d＝＝.故点E到平面ACF的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；

（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知光线经过已知直线1:370lxy−+=和2:

230lxy++=的交点M，且射到x轴上一点(1,0)N后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线3l的方程．（3）求与3l距离为10的直线方程．【答案】（1）(2,1)−−；（2）1133yx=−；（3）11133yx=−或133y

x=+．【解析】【分析】（1）解方程组求得M的坐标，然后得出其关于x轴的对称点的坐标；（2）解法一：根据反射原理，确定直线MN和直线3l的倾斜角的关系，进而利用斜率公式求得直线MN的斜率，得到直线3l的斜率，进而用点斜式写

出方程；解法二：反射光线所在的直线3l的方程就是直线PN的方程，利用两点式可求；（3）利用直线平行的条件设出所求直线的方程，利用平行直线间的距离公式求出所求直线的方程.【详解】解：（1）由370230xyx

y−+=++=得21xy=−=，∴(2,1)M−．所以点M关于x轴的对称点P的坐标(2,1)−−．（2）解法一：因为入射角等于反射角，直线MN的倾斜角为，则直线3l的斜角180−．0111(2)3MNk−==−−−，所以直线3l的斜率313k=．故

反射光线所在的直线3l的方程为：1(1)3yx=−．即1133yx=−．解法二：因为入射角等于反射角，所以反射光线所在的直线3l的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：011021yx−−=−−−−，整理得：1133yx=−．故反射光线所在的直线3l的方程为1133yx=−．

（3）设与3l平行的直线为13yxb=+，根据两平行线之间的距离公式得：1310119b+=+，解得3b=，或113b=−，所以与3l距离为10的直线方程为：11133yx=−或133yx=+．【点睛】本题关键是光线反射原理：入射角等于反射角，从而得到入射线与反射线所在直线的倾斜角的

关系，求到给定直线距离为定值的直线的方程，关键是根据直线平行的条件设出所求直线的方程，熟练掌握平行直线的距离公式是解题的关键.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ABCD，且2CD=，1AB=，22BC=，1PA=，ABBC⊥，N为

PD的中点.（1）求证：//AN平面PBC（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（

2）23；（3）存在，23DMDP=.【解析】【分析】（1）首先过A作AECD⊥，垂足为E，以A为坐标原点，分別以AE，AB，AP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，分别求出112,,22AN=−和平面PBC的法向量1n，根据10ANn=即可证明//AN平面PBC.（2）求出平面

PAD的法向量为2nuur，再代入二面角公式计算即可得到答案.（3）首先假设线段PD上存在一点M，设(,,)Mxyz，DMDP=，得到(2222,1,)M−−，根据直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，求得23=，以及23D

MDP=.【详解】（1）过A作AECD⊥，垂足为E，则1DE=，以A为坐标原点，分別以AE，AB，AP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,0)A，(0,1,0)B，(22,0,0)

E，(22,1,0)D−，(22,1,0)C，(0,0,1)P，112,,22N−，112,,22AN=−，设平面PBC的一个法向量为1(,,)nxyz=(0,1,1)BP=−，(22,0,0)BC=，则110220BPny

zBCnx=−+===，令1y=，解得：1(0,1,1)n=ur.因为111022ANn=−+=uuurr，所以1ANn⊥又AN平面PBC，所以//AN平面PBC（2）设平面PAD的一个法向量为2(,,)nxyz=，因为(0,0,1)AP=，(22,1,0)AD=−，所以2202

20APnzADnxy===−=，令1x=，解得2(1,22,0)n=.所以121212222cos,332nnnnnn===uurrrruruur.即平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦

值23.（3）假设线段PD上存在一点M，设(,,)Mxyz，DMDP=，[0,1].因为(22,1,)(22,1,1)xyz−+=−，所以(2222,1,)M−−则()22,2,CM=−−因为平面PBC的一个法向量1(0,1,1)n=ur所以12221|22|2

626||28(2)CMnCMn−==+−+uuurruuurr，整理得：22150240−+=，所以(32)(712)0−−=，因为[0,1]，所以23=.所以存在M，且23DMDP=

.【点睛】本题主要考查利用立体几何向量法证明线面平行和二面角的求法，同时考查了线面角的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题.