【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2020届高三第五次月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.669 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附属中学校高2020级第五次月考数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1Axx=−，*2{N|60}Bxxx=−−，则AB=（）A.13xx−B.0,1,2C.1,0,1

,2−D.1,2【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B，由此求得两个集合的交集.【详解】由()()26320xxxx−−=−+，解得23x−，所以1,2B=，所以AB=1,2.故选：D【点睛】本小题主要考

查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z满足()3425(izii−=为虚数单位)，则z的虚部为（）A.3B.4C.4iD.-4【答案】B【解析】【分析】设出z，根据复数相等的条件列式求得z的虚部.【详解】设zabi=+，所以(

)()3425iabii−+=，即34(34)25abbai++−=，所以3425340abba+=−=，解得4b=，所以z的虚部为4.故选：B【点睛】本小题主要考查复数乘法、模的运算，考查复数相等的条件，考查复数的虚部的求法，属于基础题.

3.设0k，由不等式组00240xyykxyx−−−确定的平面区域的面积为7，则k的值为（）A.-1B.-3C.-4D.-5【答案】A【解析】【分析】画出图像，利用平面区域的面积为7列方程，解方程求得k的值.【详解】画出平面区域的图像如下图所示四边形ABCD.由24y

kxyx=+=+，解得21Dxk=−.所以ABCDBCEADESSS=−1124427221k=−=−，解得1k=−（正根舍去）.故选：A【点睛】本小题主要考查根据线性规划中可行域的

面积求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4.倾斜角为4的直线l经过抛物线24yx=的焦点F，与抛物线相交于,AB两点，则弦AB的长为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】试题分析：

设1122()()AxyBxyAB，，，，，到准线的距离分别为ABdd，，由抛物线的定义可知1211ABAFdxBFdx==+==+，，于是122ABAFBFxx=+=++；由已知得抛物线的焦点为(1

0)F，，斜率tan451k==，所以直线AB方程为1yx=−，将1yx=−代入方程24yx=，得()214xx−=，化简得2610xx−+=，由求根公式得126xx+=，于是1228ABAFBFxx=+=++=；故选D

．．考点：双曲线的简单性质．【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，解答本题时，首先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线24yx=的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线

的定义即可求线段AB的长．5.已知()()2sin(0,0)2fxx=+的图象关于直线6x=对称，若存在12,xxR，使得对于任意的x都有()()()12fxfxfx，且12xx−的最小值为2，则等于（）A.12B.6C.4

D.3【答案】B【解析】【分析】根据()fx的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()fx的半周期，由此求得的值，结合根据()fx的对称轴列方程，求得的值.【详解】依题意存在12,xxR，使得对于任意的x都有()()()12fxfxfx，所以()

()12,fxfx分别是()fx的最小值和最大值，而12xx−的最小值为2，所以π,π22TT==，由()2ππ0T==解得2=，所以()()2sin2fxx=+.由于()fx的图象关于直线6x=对称，所以ππ2sin63f=+的值为2

或2−，即πsin3+的值为1或1−，由于ππ50,2336+，所以πππ,326+==.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6.为了

弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是（）A.310B.25C.35D.710【

答案】A【解析】【分析】利用列举法列举出所有的可能选取方法，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】首先编号：春节为1，中秋节为2，元宵节为3，清明节为4，端午节为5.从中任选3个节目的选法有：

1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5共10种选法.其中春节和中秋节都被选中的选法有1,2,

3,1,2,4,1,2,5共3种选法，根据古典概型概率计算公式可知，春节和中秋节都被选中的概率是310.故选：A【点睛】本小题主要考查列举法计算古典概型概率，属于基础题.7.已知,,ABC在圆221xy+=上运动，且.ABBC⊥

若点P的坐标为()2,0，则PAPBPC++的最大值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】根据ABBC⊥得出AC是圆的直径，由此将PAPBPC++转化为3OBOP−，结合向量减法的几何意义，求得3OBOP−的最大值.【详解】由于ABBC⊥，所以AC是单位圆221xy+=的直径.

故0OAOC+=,所以PAPBPC++POOAPOOBPOOC=+++++3OBOP=−.3OBOP−表示圆上的点到点()()32,06,0=的距离.根据圆的几何性质可知，当()1,0B−时，3OBOP−取得最大值为617+=

.故选：A【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量减法的几何意义，属于基础题.8.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一

顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABCABC−中，已知3,4,5ABBCAC===，若阳马111CABBA−的外接球的表面积等于50，则鳖臑1CABC−的所有

棱中，最长的棱的棱长为（）A.5B.41C.52D.8【答案】C【解析】【分析】根据堑堵、阳马和、鳖臑的几何特征判断出堑堵的外接球的直径为1AC，根据阳马111CABBA−的外接球的表面积求得1AC，由

此求得1CC、1BC，从而判断出鳖臑1CABC−的所有棱中，最长的棱的棱长.【详解】根据堑堵、阳马和、鳖臑的几何特征可知，111111,,,ACAACBACBACC都是以1AC为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABCABC−的外接球的直径为1AC，所以214π50π2AC=

，所以152AC=.，所以22115CCACAC=−=,221141BCACAB=−=，而3,4,5ABBCAC===.所以鳖臑1CABC−的所有棱中，最长的棱的棱长为152AC=.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查中国古代数学文化，属于基础题

.9.在ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，已知ABC面积为3，外接圆半径长为3，且223sincos322AA−+=，则ABC的周长为（）A.321+B.37+C.372+D.35722+【答案】A【

解析】【分析】利用降次公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简223sincos322AA−+=，由此求得A，利用正弦定理求得a，利用余弦定理和三角形面积公式求得bc+，由此求得三角形ABC的周长.【详解】由223sinco

s322AA−+=得()31cossin3AA−+=，sin3cosAA=，所以tan3A=，由于0πA，所以π3A=.由正弦定理得2sinarA=（r为三角形ABC外接球的半径），即32sin2332arA=

==.由三角形面积公式和余弦定理得2221sin322cosbcAabcbcA==+−，即22413bcbc=+=，即()()22213,13221bcbcbcbc+−=+=+=，所以21bc+

=，所以三角形ABC的周长为321abc++=+.故选：A【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角形周长的求法，考查降次公式和同角三角函数的基本关系式，属于中档题.10.设函数()()22lg21fxxx=+−+，已知40.30.31000.3,lo

g,47abc===，则（）A.()()()fafbfcB.()()()fafcfbC.()()()fcfbfaD.()()()fbfafc【答案】B【解析】【分析】首先判断出函数()fx的奇偶性和单调性，结合,,abc的大小判断出()()(),,fafbfc的

大小关系.【详解】函数()fx的定义域为R，()()fxfx−=，所以()fx为偶函数.当0x时，()2lg2x+和21x−+都是单调递增，所以()fx在)0,+上是增函数.0.30.3100loglog107=，20.310103310010010logloglog2773

b=−==，4000.30.31=，00.30.54442=.所以012acb.所以()()()()()fafcfbfbfb=−=.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比

较大小，考查指数式和对数式比较大，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知正项数列na的前n项和为nS，且21122nnnSaa=+，若数列()2112nnnnbS+=−，数列nb的前2020项和为（）A

.20192020B.20192020−C.20202021D.20202021−【答案】D【解析】【分析】利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求得数列na的通项公式，由此求得nS，从而求得nb的表达式，利用裂项求和法求得nb的前2020项和.【详解】由21122n

nnSaa=+①，当1n=时21111122aaa=+，解得()110naa=.当2n时，21111122nnnSaa−−−=+②，①-②得221111112222nnnnnaaaaa−−=−+−，整理得()()1110nnn

naaaa−−+−−=，由于0nS，所以1110,1nnnnaaaa−−−−=−=，所以数列na是首项为11a=，公差为1的等差数列，所以nan=，()1122nnnnaaSn++==.所以()()()21211

121nnnnnnbSnn++=−=−+()1111nnn=−++.所以数列nb的前2020项和为：111111112233420202021−−++−−+++12020120212021=−+=−.故选：D【点睛】本小题主要考查已知nS求na，考查由递推关系证明等差数列，

考查等差数列前n项和，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.12.在ABC中，()371,10,sin,cos328ABBCCAB==−=，若点P是ABC所在平面内任意一点，则PAPC−的取值范围是（）A.5,5−B.6,6−C.7,7−

D.8,8−【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得AC，由此求得PAPC−的取值范围.【详解】由于AB，设D是BC上一点，且BDAD=，所以BDAB=，CABBCAD−=.由()1cos8AB−=，得1cos8CAD=，

237sin1cos8CADCAD=−=.设BDx=，在三角形ADC中，3737,10,sin,sin832ADxCDxCADC==−==.由正弦定理得sinsinADCDCCAD=，即103737328xx−=，解得2x=，所以

2,8ADCD==.在三角形ADC中，由余弦定理得24641cos48ACCADAC+−==，化简得221200ACAC−−=，解得8AC=.PAPC−表示平面内的点P到,AC两点的距离之差，所以8PAPCCA=−，所以88PAPC−−.故选：D【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查向量模的减法运算的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是______.【答案

】32【解析】根据三视图得到原图是三棱锥，一条侧棱垂直于底面．根据各个侧面的图形特点，高最大和底最大，三角形面积为：1632.222s==故答案为32.14.已知函数()21,02log,0xxfxxx=，若()()()24gxfx

fxm=−+有4个零点，则m的取值范围是_________.【答案】)3,4【解析】【分析】画出()fx图像，令()tfx=，将“()()()24gxfxfxm=−+有4个零点”的问题转化为240ttm−+

=在)1,+上有两个不同实数根来列不等式组，解不等式求得m的取值范围.【详解】画出()fx的图像如下图所示，由于可知，当()1fx时，每个函数值y都有两个不同自变量x与其对应.令()tfx=，则“()()()24gxfxfxm=−+有4个零

点”的问题转化为240ttm−+=在)1,+上有两个不同实数根.令()()2401htttmt=−+=，依题意()ht在)1,+上有两个不同实数根，由于其对称轴2x=，所以()216401140mh

m=−=−+，解得34m.所以实数m的取值范围是)3,4.故答案为：)3,4【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查根据函数零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15

.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线的右支上，且126PFPF=，则此双曲线的离心率e的最大值为_________.【答案】75【解析】【分析】利用余弦定理求得2c关于2PF的表达式，将2a也表

示成2PF的形式，由此求得离心率e的表达式，进而求得离心率的最大值.【详解】由于126PFPF=，在三角形12FFP中，由余弦定理得222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即22221223712coscPFPFFPF=−.根据

双曲线的定义有12225PFPFPFa−==.所以双曲线的离心率222221237co2512s2PFPFFPFceaPF−==123712cos5FPF−=①，当P位于双曲线右顶点时，12πFPF=，此时①取得最大值为37127

55+=，也即双曲线的离心率的最大值为75.故答案为：75【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的最大值的求法，考查双曲线的定义，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知函数()2xfxex=−，下列说法正确的是__________.()fx①的值域

是)1,+；②当1a=时，方程()10fxax−−=有两个不等实根；③若函数()1yfxax=−−有三个零点时，则()2,1ae−；④经过()0,1有三条直线与()yfx=相切.【答案】①②③【解析】【分析】①：结合导数，用函数的单调性和奇偶性，求得()fx的值域

；②利用导数，证得方程()10fxx−−=有两个不等实根；③根据()fx为偶函数，故可先考虑0x的情况，再由对称性得到0x的情况.当0x时，首先确定0x=是函数()1yfxax=−−的零点，令()10yfxax=−−=，分离常数a，利用导数求得a的取值范围.再根据

对称性，求得a的取值范围.④利用导数，求得过()0,1的切线的条数.【详解】①函数()fx的定义域为R，且()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，图像关于y轴对称.当0x时，()2xfxex=−，()'2xfxex=−，()''2xfxe=−.令()''0fx=解得ln2x=，所

以()'fx在)0,ln2上递减，在()ln2,+上递增，()()'ln2ln22ln222ln221ln20fe=−=−=−，所以()()''ln20fxf，所以()fx在)0,+上单调递增，从而()()0

1fxf=≥.由于()fx为偶函数，所以()fx在(,0−上单调递减，且()()01fxf=≥.所以()fx的值域是)1,+.故①正确.②显然，0x=是方程()10fxax−−=的根.方程()10fxax−−=可化为()1fxa

x=+.当1a=时，即()1fxx=+.根据①的分析，结合图像可知，当0x时()fx与1yx=+的图像没有公共点.故只需考虑0x的情况.由()1fxx=+得21xexx−=+，即210xexx−−−=.构造函数()()210xgxexxx=−−−，()00g=，(

)()'''21,2xxgxexgxe=−−=−，令()''20xgxe=−=，解得ln2x=.所以()'21xgxex=−−在)0,ln2上递减，在()ln2,+上递增，且()()()''ln2'200,ln22ln2112ln20,250ggeg

e==−−=−=−，所以存在()0ln2,2x，使得()'00gx=.故()gx在)00,x上递减，在()0,x+上递增.()()()200,130,270ggege==−=−，所以存在

()11,2x，使()10gx=.综上所述，当1a=时，方程()10fxax−−=有两个不等实根成立，故②正确.③()fx为偶函数，故可先考虑0x的情况.当0x时，函数()1yfxax=−−为()210xyexaxx=−−−，故方程()2100xexaxx−

−−=有三个不相等的实数根.首先0x=是方程()2100xexaxx−−−=的根.先证1a：令()()210xmxexaxx=−−−，()'2xmxexa=−−，()''2xmxe=−，令()''20xmxe=−=解得ln2x=.所以()'2xmxexa=−−

在)0,ln2上递减，在()ln2,+上递增.()'01ma=−，当x→+，()'mx→+.若()'010ma=−，即1a，则()mx在区间)0,+上先减后增，在区间)0,+上至多只有两个零点，不符合题意.故1a.故下证2ae−：当0

x时，由210xexax−−−=得21xexax−−=有两个不同的实数根.构造函数()()210xexnxxx−−=，()()()'211xxexnxx−−−=.令()()10xhxexx=−−，()00h=，()'10xhxe=−,所以()hx在)0,+上单调递增

，所以当0x时，()0hx.所以由()()()'211xxexnxx−−−=可知()nx在()0,1上递减，在()1,+上递增，所以()nx在1x=处取得极小值也即是最小值()12ne=−，所以2ae−.综上所述，a的取值范围是()2,1e−.由于()fx为偶函数，根据函数

图像的对称性可知a的取值范围是()2,1e−.故③正确.④当0x时，设经过点()0,1的切线的切点为()0200,xxex−，()'2xfxex=−，()0'002xfxex=−，故切线方程为()()()0020002xxyexexxx−−=−−，将()0,1

代入上式得()()()00200012xxexexx−−=−−，化简得()()000110xxex−−−=.令()()10xhxexx=−−，()00h=，()'10xhxe=−,所以()hx在)0,+上单调递增.所以方程()()000110xxex−−−=解得0

0x=或01x=.所以当0x时，()fx有两条切线.根据()fx为偶函数，所以当0x时，()fx也有两条切线方程.所以经过()0,1有四条直线与()yfx=相切，④错误.特别的，当0x时，()2xfxex=−，()()''2,01xfx

exf=−=，即当0x时，()fx在0x=处的切线的斜率为1.当0x时，()()()2'',2,01xxfxexfxexf−−=−=−−=−，即当0x时，()fx在0x=处的切线的斜率为1−.故答案为：①②③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、

极值和最值，考查利用导数研究函数零点问题，考查利用导数研究函数图象的切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为

选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.党的十九大报告指出，在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺.在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得尤其重要.若某地区有100户贫困户，经过一年扶贫后，为了考查该地区的“精准扶

贫”的成效(该地区脱贫标准为“每户人均年收入不少于4000元”)，现从该地区随机抽取A、B两个村庄，再从这两个村庄的贫困户中随机抽取20户，调查每户的现人均年收入，绘制如图所示的茎叶图(单位：百元).

（1）观察茎叶图中的数据，判断哪个村庄扶贫成效较好？并说明理由；（2）计划对没有脱贫的贫困户进一步实行“精准扶贫”，下一年的资金投入方案如下：对人均年收入不高于2000元的贫困户，每户每年增加扶贫资金5000

元；对人均年收入高于2000元但不高于3000元的贫困户，每户每年增加扶贫资金3000元；对人均年收入高于3000元但不高于4000元的贫困户，每户每年增加扶贫资金1000元；对已经脱贫的贫困户不再增加扶贫资金投入.依据此方案，试估计下一年该地区共需要增加扶贫资金多少元？

【答案】（1）B，理由见解析；（2）115000元.【解析】【分析】（1）通过茎叶图，根据脱贫标准，判断两个村庄中数据集中的区间，由此判断扶贫较好的村庄.或计算出两个村庄贫困户人均年收入的平均值，由此判断出扶贫较好的村庄.（2）根据分组的区间，计算出每组的频率，乘以对应的扶

贫资金，然后相加，求得下一年该地区共需要增加扶贫资金.【详解】（1）B村庄扶贫效果较好.理由一：由茎叶图中的样本数据可以看出，经过一年的扶贫之后，A村庄中的贫困户人均年收入都集中在3000到5000之间，B村庄中的贫困户人均年收入都集中在4000到6000之间，所以B村庄扶贫效果较好.

理由二：由茎叶图中的样本数据可以看出，经过一年的扶贫之后，A村庄中的贫困户人均年收入的平均值估计为3160元，B村庄中的贫困户人均年收入的平均值估计为4870元，所以B村庄中扶贫效果较好.(答出其中一种理由即可)(2)该地区人均年收入

不高于2000元的贫困户的频率估计为220，高于2000元但不高于3000元的贫困户的频率估计为320，高于3000元但不高于4000元的贫困户的频率估计为420，所以该地区共需要增加的扶贫资金估计为234500030001000100115000202020++=

元.【点睛】本小题主要考查茎叶图在实际生活中的应用，考查用数学方法解决实际问题，属于基础题.18.已知等比数列na的前n项和为nS，且当*nN时，nS是12n+与2m的等差中项(m为实数).（1）求m的值及数列na的通

项公式；（2）令()*21lognnbanN=+，是否存在正整数k，使得1111210nnnkbbbn++++++对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1−，12nna−=；（2）存在，4.【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，求得nS

的表达式.利用11,1,2nnnSnaSSn−==−，结合na是等比数列，求得m的值及数列na的通项公式.（2）由（1）求得nb的表达式，将不等式1111210nnnkbbbn++++++左边看成()fn，利用差比较法判断出()fn的单调性，由此求得()f

n的最小值，进而求得k的最大值.【详解】(1)nS是12n+与2m的等差中项，1222nnSm+=+，即2nnSm=+，当1n=时，112Sam==+，当2n时，112nnnnaSS−−=−=，na是等比数列，11a=，则21m+=，1m=−，且数列na的通项公

式为12nna-=.(2)存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.21lognnban=+=()*.nN()11111112122nnnfnbbbnnnn=++=++++++++，()()1111110212212122fnfnnnnnn+−=+−=−+++++()()

1.fnfn+数列()fn单调递增，()()min112fnf==，由不等式恒成立得：1102k，5k.故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查

等比数列通项公式，考查数列单调性的证明，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.19.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，//BCAD，CEAD⊥，垂足为E，33ADBC==，1.EC=将DEC沿EC折

起到1DEC的位置，如图2所示，使平面1DEC⊥平面ABCE.（1）连结BE，证明：AB⊥平面1DBE；（2）在棱1AD上是否存在点G，使得//BG平面1DEC，若存在，直接指出点G的位置(不必说明理由

)，并求出此时三棱锥1GDEC−的体积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G为1AD的中点，16.【解析】【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1DE⊥平面ABCE，由此证得1DEAB⊥.利用勾股定理计算证明BEAB⊥，从而证得AB⊥平面1DEB.（2）通过线面平

行的判定定理，判断出点G为1AD的中点.利用换顶点的方法，通过11GDECCDEGVV−−=，来计算出三棱锥1GDEC−的体积.【详解】(1)因为平面1DEC⊥平面ABCE，平面1DEC平面ABCEEC=，11,DEECDE⊥平面1DEC，所以1DE⊥

平面ABCE，又因为ABÌ平面ABCE，所以1DEAB⊥，又2,2,2ABBEAE===，满足222AEABBE=+，所以BEAB⊥，又1BEDEE=，所以AB⊥平面1DEB.(2)在棱1AD上存在点G，使得//B

G平面1DEC，此时点G为1AD的中点.11GDECCDEGVV−−=，由(1)知，1DE⊥平面ABCE，所以1CEDE⊥，又CEAE⊥，所以CE⊥平面1AED，所以CE为三棱锥1CDEG−的高，且1CE=，在1RtDEA中，11,2DE

AE==，G为斜边1AD的中点，所以111111212222DEGDEASS===，所以111111113326GDECCDEGDEGVVSCE−−====.故，在棱1AD上存在点G，使得//BG平面1DEC，此时三棱锥1G

DEC−的体积为16.【点睛】本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()()()11lnxxfxx++=，()()lngxxmxmR=−.（1）

求函数()gx的单调区间；（2）当0m时，对任意的11,2x，存在21,2x，使得()()123fxmgx−成立，试确定实数m的取值范围.【答案】（1）当0m时，()gx的单调递增区间是()0,+，

无递减区间；当0m时，()gx的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m+；（2）()0,2ln2−.【解析】【分析】（1）求得()gx的导函数，对m分成0m和0m两种情况

，讨论函数()gx的单调区间.（2）将问题转化为()()minmin3fxmgx−，利用导数求得()fx的最小值，结合（1）对m分成111,1,022mmm三种情况进行分类讨论，求得()gx的最小值.从而确定m的取值范围.【详解】（

1）由()()ln0gxxmxx=−，得()'1gxmx=−.当0m时，()'0gx，所以()gx的单调递增区间是()0,+，没有减区间.当0m时，由()'0gx，解得10xm；由()'0gx，解得

1xm，所以()gx的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m+.综上所述，当0m时，()gx的单调递增区间是()0,+，无递减区间；当0m时，()gx的单调递增区间是10,m，递减区间是1,m+.（2）当0m时，对任意11,2x

，存在21,2x，使得()()123fxmgx−成立，只需()()minmin3fxmgx−成立.由()()()11lnln1ln1xxxfxxxxx++==+++，得()'2221ln11lnxxxfxxx

xx−−=+−=.令()()ln0hxxxx=−，则()'1xhxx−=.所以当()0,1x时，()'0hx，当()1,x+时，()'0hx.所以()hx在()0,1上递减，在()1,+上递增，且()11h

=，所以()()()min110hxhxh==.所以()'0fx，即()fx在()0,+上递增，所以()fx在1,2上递增，所以()()min12fxf==.由（1）知，当0m时，()gx在10,m

上递增，在1,m+上递减，①当101m即m1时，()gx在1,2上递减，()()min2ln22gxgm==−；②当112m即112m时，()gx在11,m上递增，在1,2

m上递减，()()()minmin1,2gxgg=，由()()()21ln22ln2ggmmm−=−−−=−，当1ln22m时，()()21gg，此时()()min1gxgm==−，当ln21m时

，()()21gg，此时()()min2ln22gxgm==−，③当12m即102m时，()gx在1,2上递增，()()min1gxgm==−，所以当0ln2m时，()()min1gxgm==−，由0ln223mmm−−，得0ln2.m当ln

2m时，()()min2ln22gxgm==−，由ln223ln22mmm−−，得ln22ln2m−．02ln2m−．综上，所求实数m的取值范围是()0,2ln2−．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立、存在性综合问题，考查化归与转

化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别是()()121,0,1,0FF−，点()0,Ab，若12AFF的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2.（1）求椭圆C的方程；（2）点M是椭圆C的左顶点

，P、Q是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线MP、MQ的斜率分别为1k、2k，若1214kk=−，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）是，()1,0.【解析】【分析】（1）

设内切圆和外接圆的半径分别是,rR，则2Rr=.利用三角形的面积公式求得r与,ab的关系式，利用正弦定理求得R与,ab的关系式，由此求得,ab两者直线的关系式，进而求得,ab的值，以及椭圆C的方程.（2）当直线PQ的斜率不存在时，设出,PQ的坐标，利用1214kk

=−列方程，结合,PQ在椭圆上，求得,PQ的坐标，由此求得直线PQ的方程.当直线PQ斜率存在时，设出直线PQ的方程ykxm=+，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理和判别式，利用1214kk=−列方程，求得,km的关系式，由此判断出直线PQ所过定点

坐标.【详解】（1）由已知()0,Ab是椭圆C的顶点，又()()121,0,1,0FF−分别是椭圆的左右焦点，则有221ab−=，且1212,2AFAFaFF===.设12AFF的内切圆半径与外接圆的半径分别是r和R，则2Rr=.由(

)121212121122AFFSAFAFFFrFFOA=++=，得()112222aarb++=，得1bra=+.设12AFF=，在1RtAOF中，sinba=，在12AFF中，由正弦定理得22sinAFR=，即22sinaaaRbba===，所以22

aRb=.所以2221abba=+，即()2241baa=+，即()()22411aaa−=+，化简得()()2120aa+−=，解得2a=（1a=−舍去），所以3b=.所以所求椭圆C的方程是22143xy+=.（2）由已知()2,0M−，设()()112

2,,,PxyQxy，①若直线PQ的斜率不存在，不妨设()()1111,,,PxyQxy−，由1214kk=−得11111224yyxx−=−++，即()221142yx=+，又2211143xy+=，即221143120yx+−=，得21120x

x+−=，解得12(x=−舍)或11x=，331,,1,22PQ−或331,,1,22PQ−，此时直线PQ的方程为1x=，②若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm=+，由22143ykxmxy=++=

，得()2223484120kxkmxm+++−=，21212228412,3434kmmxxxxkk−+=−=++，由()()()2222226443441248430kmkmkm=−+−=−+，得22

43km+，又1214kk=−，即12121224yyxx=−++，即()()12124220yyxx+++=，即()()()()12124220kxmkxmxx+++++=，整理得()()()2212124142440kxxkmx

xm++++++=，()()22222412841424403434mkmkkmmkk−+++−++=++，整理得2220mkmk−−=，解得2mk=，或mk=−，当2mk=时，直线PQ：()22ykxkkx=+=+，即过定点()2,

0−，不符合题意，当mk=−时，直线PQ：()1ykxkkx=−=−，即过定点()1,0．综上，直线PQ过定点()1,0．【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形内切圆、外接圆半径的有关计算，考查椭圆的几何性质，考查直线和

椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查运算求解能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.选修4—4坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为1(82xt

tyt=+=−为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为223695sin=−.（1）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；（2）过曲线C上任意一点E作与直线l的夹角为75的直线，交l

于点F，求EF的最小值.【答案】（1）2100xy+−=，2cos3sinxy==；（2）3010−.【解析】【分析】（1）利用加减消元法消去直线l的参数方程中的参数t，求得直线l的普通方程.先将曲线C的极坐标方程转化为直

角坐标方程，再转化为参数方程.（2）根据（1）写出E点的坐标，求得E到直线l的距离d，将EF转化为sin75d，通过d的最小值来求得EF的最小值.【详解】（1）由182xtyt=+=−得22282xtyt=+

=−，两式相加并化简得2100xy+−=.将222,sinxyy=+=代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为229436xy+=，即22194yx+=，故曲线C的参数方程为2cos3sinx

y==（为参数）（2）由（1）得()2cos,3sinE，则E到l的距离()4cos3sin10105sin55d+−−+==，其中4tan3=.()62sin75sin4530sin45cos30cos4

5sin304+=+=+=.如图，过点E作EGl⊥，交l于G，则dEG=，在RtEFG中，62sin754dEF+==，当()sin1+=，d取得最小值5，故EF的最小值为53010sin75=−．【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直角坐标方程化为参数方程，考查点到直线的距离公式，考查三角函数最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.选修4—5不等式选讲23.已知实数a、b、cR+.（1）若2

234abacbca+++=−，求2abc++的最小值；（2）若3abc++=，求证：3331118abc−−−.【答案】（1）()231−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将方程2234a

bacbca+++=−转化为()()()231acab++=−，然后将所求表达式2abc++转化为()()abac+++，然后利用基本不等式求得2abc++的最小值.（2）利用综合法证明不等式：先利用基本不等式证得321bca

a−、321acbb−、321abcc−，然后三者相乘，证得不等式成立.【详解】（1）2234abacbca+++=−，()()22abacbcaaabacbc+++=+++()()()()()242331

aabcabacab=+++=++=−=−，()()()()()22231abcabacabac++=+++++=−，当且仅当abac+=+时，等号成立.（2）3321abcbcaaaa−+−==，①（当且仅当bc=时取等号）.3321bacacbbbb−+−==，②（当且仅当ac

=时取等号）.3321cababcccc−+−==，③（当且仅当ab=时取等号）.又因为实数a、b、c+R，由①②③得：3331118.(abc−−−当且仅当abc==时取等号)

3331118.abc−−−【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查综合法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.