【文档说明】【精准解析】宁夏银川市贺兰县景博中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题.doc，共(21)页，1.721 MB，由小赞的店铺上传

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景博高中2020届高三第五次模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第3Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2|1,|31xAxxBx==„，则()RABð=（

）A.{|0}xxB.{|01}xx剟C.{|10}xx−„D.{|1}xx−…【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求()RABð【详解】{|11},{|0}AxxBxx=−=剟，所以(){|1}RABx

x=−…ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z与其共轭复数z满足213−=+zzi，则||z=（）A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分析】设(),,zabiaRbR=+，则2313zzabii−=−+=+,求得z

，再求模，得到答案.【详解】设(),,zabiaRbR=+，则222313zzabiabiabii−=+−+=−+=+，故1a=−，1b=，1zi=−+，2z=.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，两复数相等的条件，复数的模，还考查了学生的计算能力，属于容易题.3.若夹角为1

20的向量a与b满足2abb+==，则a=（）A.1B.2C.23D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的应用，把2ab+=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵2ab+=，∴2224aabb++=，即24

cos12044aa++=，则2a=，或0a=（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.4.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，

统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了

经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应

的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.

1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=，所以超过

了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.5.已知直线,mn和平面,，则下列四个命题中正确的是()A.若⊥，m，则m⊥B.若m⊥，n，则mn⊥C.若m，nm∥，则nD.若m

，m，则∥【答案】B【解析】对于A，若⊥，m，则m有可能平行，故A错误；对于B，若m⊥，n，显然是正确的；对于C，若m，nm，则n有可能在内，故C错误；对于D，若m，m，则平面,有可能相交，故D错误.故正确答案为B.6.宋元时期数学名著《算学启

蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长､b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A.a<b?;a=a2a+B.

a<b?;a=a+2aC.a≥b?;a=a2a+D.a≥b?;a=a+2a【答案】C【解析】【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解.【详解】竹逾松长，意为竹子比松高，即a<b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件

时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a=a2a+.故选：C【点睛】本题考查数学文化和补全程序框图相结合的综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型.7.已知函数()sin()fxAx=+0,0,2A

在一个周期内的图象如图所示，则4f=（）A.22−B.22C.2D.2−【答案】C【解析】【详解】由图象可知，5ππππ2,2882TA==−==，所以2=，由π()28f=，

得ππ22π,82kkZ+=+，解得π2π,4kkZ=+，因为π||2，所以π4=，所以πππ()2sin(2)2444f=+=.故选C.8.已知函数41()2xxfx−=，()0.32af=，()0.30.2bf=，(

)0.3log2cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bacC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321，0.300.21，0.3log20，即可得解；【详解】解：因为41

()222xxxxfx−−==−，定义域为R，()()22xxfxfx−−=−=−故函数是奇函数，又2xy=在定义域上单调递增，2xy−=在定义域上单调递减，所以()22xxfx−=−在定义域上单调递增，

由0.321，0.300.21，0.3log20所以()()()0.30.30.320.2log2fff即abc故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和

物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积

为54的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A.4B.16C.36D.643【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254SRRR=+=，解得球的半径3R=，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R，根

据题意圆柱的表面积为222254SRRR=+=，解得3R=，所以该球的体积为334433633VR===.故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.10.1F，2F是双曲线2222:1xyCab−=的左、右

焦点，过1F的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.7B.3C.2D.13【答案】A【解析】【分析】本题可先通过构造几何图形，先设2AF为x，再利用双曲线的定义，列出1AF与2AF的关系式，1BF与2BF的关

系式，利用几何关系，在12AFF△中，利用余弦定理即可求得答案．【详解】如图所示：设ABx=，由于2ABF为等边三角形，所以22ABAFBFx===，所以1212BFBFAFxxa−=+−=，即12AFa=，又2122AFAFxaa−=−=，所

以4xa=，在12AFF△中，12AFa=，24AFa=，122FFc=，12120FAF=，所以根据余弦定理有：222(2)(4)(2)cos120224aacaa+−=12=−，整理得：22252aca−=−，即227ca=，所以离心率7cea==．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线

的定义，余弦定理解三角形，寻找双曲线中,,abc的关系是解决求离心率问题的关键，属于中档题.11.若31nxx+的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A85B.84C.57D.56【答案】A

【解析】【分析】先求n，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：31nxx+的展开式中二项式系数和为256故2256n=，8n=88433188rrrrrrTCxxCx−−−+==要求展开式中的有理项，则

258r=，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85CCC故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.12.若函数()2xfxemx=−有且只有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A.2,4e+B.2,4e+

C.2,4e−D.2,4e−【答案】B【解析】【分析】由()2xfxemx=−是偶函数，则只需()2xfxemx=−在()0,x+上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然()2xfxemx=−是偶函数所以只需()0,x+时，()22xxfexem

xmx==−−有且只有2个零点即可令20xemx−=，则2xemx=令()2xegxx=，()()32xexgxx−=()()()0,2,0,xgxgx递减，且()0,xgx+→→+()()()2,+,0,xgxgx递增，且(),xgx→+→+()()224egxg

=()0,x+时，()22xxfexemxmx==−−有且只有2个零点，只需24em故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为

选考题，考生根据要求作答．二、填空题13.已知实数,xy满足24020xyyxy−−+，则3zxy=−的最大值为_______.【答案】22【解析】【分析】3yxz=−，作出可行域，利用直线的截距与b的关系

即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3zxy=−可得3yxz=−，观察可知，当直线3yxz=−过点B时，z取得最大值，由2402xyy−−==，解得82xy==

，即(8,2)B，所以max38222z=−=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14.已知甲、乙、丙三位同学在

某次考试中总成绩列前三名，有A，B，C三位学生对其排名猜测如下：A：甲第一名，乙第二名；B：丙第一名；甲第二名；C：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，A，B，C三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________．【答案】丙【解析】【分析】根据假设分析，现假设A

中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设A的说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲

第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的

”，故第一名为丙.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.等差数列{}na的前n项和为nS，34310aS==，，则11nk

kS==_____.【答案】21nn+【解析】【分析】计算得到()12nnnS+=，再利用裂项相消法计算得到答案.【详解】3123aad=+=，414610Sad=+=，故11ad==，故()12nnnS+=，()1111211122211111nnnkkkknSkkkknn===

==−=−=++++.故答案为：21nn+.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线

折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.【答案】23【解析】【详解】如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则d=132（1-x）；又底面六边形的面积为：S=6•12•x2•sin60°=332x2；所以

，这个正六棱柱容器的容积为：V=Sd=332x2•32（1-x）=94(x2-x3)，则对V求导，则V′=94（2x-3x2），令V′=0，得x=0或x=23，当0＜x＜23时，V′＞0，V是增函数；当x＞23时，V′＜0，V是减函数；∴x=23时，V有最大值．故答案为2

3．三、解答题：解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知6a=，1cos8A=.（1）若5b=，求sinC的值；（2）A

BC的面积为1574，求bc+的值.【答案】（1）7sin4C=；（2）9bc+=【解析】【分析】（1）由1cos8A=，可得37sin8A=，由正弦定理可得57sin16B=，求得9cos16B=，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由1574A

BCS，可得20bc=，再利用余弦定理，配方后化简可得9bc+=.【详解】（1）由1cos8A=，则02A，且37sin8A=，由正弦定理57sinsin16bBAa==，因为ba，所以02BA，所以9c

os16B=，()sinsinCAB=+7sincoscossin4ABAB=+=（2）1137157sin2284ABCSbcAbc===，∴20bc=，2222cosabcbcA=+−221220368bc=+−

=，∴2241bc+=，()2222bcbcbc+=++414081=+=，∴9bc+=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边

和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．18.美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1

元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司

的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日

收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】（I）100(45,){6170(45,)nnNynnnN=−；（II）详见解析.【解析】试题分析：试题解析：解：（I）(

)**10045,{6170(45,)nnNynnnN=−（II）X100106118130P0.20.30.40.1()1000.21060.31180.41300.1112EX=+++=（元）‚美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：420.2440.44

60.2480.1500.145++++=所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70451115+=（元）由知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元.故推荐小明去美团外卖应聘.19.如图，在四

棱锥PABCD−中，AD⊥平面PCD，PDCD⊥，底面ABCD是梯形，//ABDC，1ABADPD===，2CDAB=，Q为棱PC上一点.(1)若点Q为PC的中点，证明：//BQ平面PAD.(2)PQPC=，试确定的值使得二面角−−QBDP的大小为60.【答案】（1）证明见解析；

（2）36=−.【解析】【分析】（1）取PD的中点M，连接AM，MQ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题意得到DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设()000,,Qxyz，根据=PQPC，求

出()0,2,1−Q，分别求出平面PBD与平面QBD的一个法向量，根据向量夹角公式，以及二面角的大小，即可求出结果.【详解】(1)如图，取PD的中点M，连接AM，MQ.∵点Q为PC的中点，∴//MQCD，12=MQCD.又//ABCD，12ABCD=，∴//MQAB，=MQAB，∴四边

形ABQM是平行四边形.∴//BQAM.又AM平面PAD，BQ平面PAD，∴//BQ平面PAD.(2)由AD⊥平面PCD，PDCD⊥，可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,0,1)

P，(0,2,0)C，(1,0,0)A，(1,1,0)B.设()000,,Qxyz，则()000,,1=−PQxyz，()0,2,1=−PC.∵=PQPC，∴()()000,,10,2,1−=−xyz∴()0,2,1−Q.又易证BC⊥平面PBD，∴(1,1,0)=−n

是平面PBD的一个法向量.设平面QBD的法向量为(,,)mxyz=，则00mDBmDQ==即02(1)0xyyz+=+−=，解得21xyzy=−=−令1y=，则21,1,1=−−m.∵二面角−−QBDP的大小为60，∴221cos,

22221===+−mnmnmn|，解得：36=.∵点Q在棱PC上，∴01≤≤，∴36=−【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及由二面角的大小求其它量，熟记线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.在平面直角坐标系中，已知圆1

C的方程为22(1)9xy−+=，圆2C的方程为22(1)1xy++=，动圆C与圆1C内切且与圆2C外切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知(2,0)P−与(2,0)Q为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A,B两点，求四边形APBQ面积的最大值.【答

案】(1)221(2)43xyx+=−(2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）设l的方程为1xmy=+，联立可得()2234690mymx++−=，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形APBQ面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最

值即可.试题解析：(1)设动圆C的半径为r，由题意知123,1CCrCCr=−=+从而有124CCCC+=，故轨迹E为以12,CC为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点()2,0−，从而轨迹E的方程为()221243xyx+=

−.（2）设l的方程为1xmy=+，联立221431xyxmy+==+，消去x得()2234690mymx++−=，设点()()1122,,,AxyBxy，有12122269,,3434myy

yymm−−+==++则()2222212112113434mmABmmm++=+=++，点()2,0P−到直线l的距离为231m+，点()2,0Q到直线l的距离为211m+，从而四边形APBQ的面积()2222212114241234341mmSmmm++==++

+令21,1tmt=+，有224241313tSttt==++，函数13ytt=+在)1,+上单调递增，有134tt+，故2242461313tSttt==++，即四边形APBQ面积的最大值为6.21.已知函数2()l

n()2afxxxxxaaR=−−+，在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点为12,xx，且12xx，证明：212exx.【答案】(1)10,e(2)证明见解析【解析】【分析

】(1)由导数与极值的关系知题目可转化为方程ln0xax−=在(0,)+有两个不同根，转化为函数lnyx=与函数yax=的图象在(0,)+上有两个不同交点，从而讨论求解；(2)问题等价于()121

2122lnxxxxxx−+，令12xtx=，则1t，所以2(1)ln1ttt−+，设2(1)()ln1tgttt−=−+，1t，根据函数的单调性即可证明结论.【详解】解：（1）由题意知，函数()fx的定义域为(0,)+，方程()0fx=在(0,)+有两个不同根；

即方程ln0xax−=在(0,)+有两个不同根；转化为函数lnyx=与函数yax=的图象在(0,)+上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数lnyx=图象的直线斜率为k，只须0ak．令切点()00,lnAxx，

故001xxkyx===，又00lnxkx=故000ln1xxx=，解得，0xe=，故1ke=，故a的取值范围为10,e(2)由(1)可知12,xx分别是方程ln0xax−=的两个根，即11lnxa

x=，22lnxax=，作差得()1122lnxaxxx=−，即1212lnxxaxx=−对于212exx，取对数得12ln2xx，即12lnln2xx+又因为()111122lnlnxxxaaxxxa=+=++，所以122axx+，得()121212

2lnxxxxxx−+令12xtx=，则1t，()1212122lnxxxxxx−+，即2(1)ln1ttt−+设2(1)()ln1tgttt−=−+，1t，22(1)()0(1)tgttt−=+，所以函数()gt在(1,)+上单调递增，所

以()(1)0gtg=，即不等式2(1)ln1ttt−+成立，故所证不等式212exx成立．【点睛】本题重点考查了导数在研究函数极值问题中的应用以及导数与函数的单调性，问题(2)中运用了分析法的思想，属于难题.请考生在22、23两题中任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2sin306+−=，曲线C的参数方程

是2cos2sinxy==（为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求PAPB+．【答案】（1）330xy+−=，224xy+=；（2）33【解析】试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲

线C的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次，12PAPBtt+=+1233tt=+=.解析：（Ⅰ）2sin306+−=，化为3sincos30+−=，即l的普通方程为330xy+−=，22xcosysin==消去

，得C的普通方程为224xy+=.（Ⅱ）在330xy+−=中令0y=得()3,0P，∵33k=−，∴倾斜角56=，∴l的参数方程可设为536506xtcosytsin=+=+即33212xt

yt=−=，代入224xy+=得23350tt−+=，70=，∴方程有两解，1233tt+=，1250tt=，∴1t，2t同号，12PAPBtt+=+1233tt=+=.[选修4-5：不

等式选讲]23.函数()12,,fxxxxR=−++，其最小值为m.（1）求m的值；（2）正实数,,abc满足3abc++=，求证：11131112abc+++++.【答案】（1）3；（2）32【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得

()fx的最小值，即可求解m的值；（2）根据柯西不等式，即可作出证明.试题解析：（1）()()()12123fxxxxx=−++−−+=，当且仅当21x−取等，所以()fx的最小值3m=（2）根据柯西不等式，()()()21111111131113111611162abcabcabc

++=+++++++=++++++.当且仅当1abc===时，等号成立