【文档说明】江苏省黄桥中学2021届高三上学期第三次月考数学试题 含答案.docx，共(9)页，337.022 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省黄桥中学2020-2021学年第一学期高三年级第三次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|||1,AyyxxR==−

，|2Bxx=，则下列结论正确的是（）A．3A−B．3BC．ABB=D．ABB=2.已知命题2:,10,pxaxax++R命题q:函数y=-(a+1)x是减函数,则命题p成立是q成立的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分

条件D.既不充分也不必要条件3.若3cossin244+==，则（）A.18B.18−C.38D.38−4.函数222xyxx−=+的图象大致为()5.已知函数2()lnfxxax=+，a＞0，若曲线()yfx=在点(1，1)处的切

线是曲线()yfx=的所有切线中斜率最小的，则a＝()A．12B．1C．2D．26.声强是表示声波强度的物理量，记作I．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝0IlgI，其中200I10−=W/m2，声强级的

单位是贝尔，110贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的()A．3倍B．103倍C．106倍D．109倍7.在平面直角坐标系

xOy中，已知圆22:9Cxy+=及圆C内的一点()1,2P，圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则()AMBNAB−的值为（）A.8B.16C.4D.438.已知函数()1,13ln,393xxfxxx−=

，若函数()()gxfxax=−有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.21,32B.ln311,932eC.1ln312,,3923eD.ln31210,,9332e

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.i是虚数单位，下列说法中正确的有()A．若复数z满足0zz=，则z＝0B．若ibiabaRba++

则且,,,C．若复数z＝a＋ai(aR)，则z可能是纯虚数D．若复数z满足z2＝3＋4i，则z对应的点在第一象限或第三象限10.下列说法正确的是()A.若x，𝑦>0，𝑥+𝑦=2，则2𝑥+2𝑦的最大值为4B.若𝑥<12，则函数𝑦=2𝑥+12𝑥−1的

最大值为−1C.若x，𝑦>0，𝑥+𝑦+𝑥𝑦=3，则xy的最小值为1D.函数𝑦=𝑥2+6√𝑥2+2的最小值为411.己知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点P(62，32)，点F为双曲线E

的右焦点，则下列结论正确的是()A．双曲线E的离心率为62B．双曲线E的渐近线方程为x±2y＝0C．若点F到双曲线E的渐近线的距离为2，则双曲线E的方程为x24－y22＝1D．设O为坐标原点，若PO＝PF，则△POF的面积

为32212.定义：若函数()Fx在区间ab，上的值域为ab，，则称区间ab，是函数()Fx的“完美区间”，另外，定义区间()Fx的“复区间长度”为()2ba−，已知函数()21fxx=−，则（）A.

0,1是()fx的一个“完美区间”B.1515,22−+是()fx的一个“完美区间”C.()fx的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+D.()fx的所有“完美区间”的“复区间长度”的和

为325+三、填空题：本大题共4小题；每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上13.已知△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(4,0)，𝐶(−4,0)，顶点B在椭圆𝑥225+𝑦29=1上，则=++CACAsinsin)sin(________14

.已知P是抛物线𝑥2=4𝑦上的一动点，则点P到直线𝑙1:4𝑥−3𝑦−7=0和𝑙2:𝑦=−1的距离之和的最小值是_________．15.已知三棱锥𝑃−ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足𝐵𝐴=𝐵𝐶=

√6，∠𝐴𝐵𝐶=𝜋2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为_________．16．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第I卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路：

如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于点N，交BC于点M．先证△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步定理可得证．在该图中，若tan∠B

AE＝13，则sin∠BEA＝．四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数𝑓(𝑥)=4𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛(𝒙

+𝝅𝟔)−𝟏．(𝟏)求𝒇(𝒙)的最小正周期和对称中心；(𝟐)求𝒇(𝒙)在区间[−𝝅𝟔,𝝅𝟒]上的最大值和最小值18.（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c=．有以下3个条件：①2coscAb=；②22cosbacA−=；③2abc

+=．请在以上3个条件中选择一个，求ABC△面积的最大值．19.（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝(－1)nlog12an，求数列{bn}的前n项和Tn．20.（12分）如图，四边形ABCD与B

DEF均为菱形，FA＝FC，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°．(1)求证：AC⊥BF；(2)求二面角E－AF－B的余弦值．21.（12分）已知函数f(x)＝x2＋ax－aex，其中a∈R．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极

大值必大于0．22.（12分）如图，已知椭圆经过点，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）（2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．ABCDEF江苏省黄桥中学2020-2021学年第一学期高三年级第三次月考参

考答案1-8CABADCBD9.AD10.BD11.ABC12.AC13.5414.215.𝟑𝟐𝟑𝝅16.10217：(𝟏)∵𝒇(𝒙)=𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏(𝒙+𝝅𝟔)−𝟏=𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙(√𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔

𝒙)−𝟏=𝟐√𝟑𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝟏=√𝟑𝐬𝐢𝐧2𝑥+cos2𝑥=2sin(2𝑥+𝜋6)，所以𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=𝜋，由题意，解得，所以𝑓(𝑥)的对称中心为(2)∵

−𝜋6≤𝑥≤𝜋4，∴−𝜋3≤2𝑥≤𝜋2，∴−𝜋6≤2𝑥+𝜋6≤2𝜋3，∴当2𝑥+𝜋6=−𝜋6，即𝑥=−𝜋6，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=−1；当2𝑥+𝜋6=𝜋2时，𝑥=𝜋6，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥

=2．18解：若选择①由正弦定理sinsinsinabcABC==可将2coscAb=化为：2sincossinCAB=又ABC++=，所以sinsin()BAC=+所以2sincossin()CAAC=+即sincoscossin0ACAC−

=，∴sin()0AC−=，∴AC=，∴2ac==，所以1sin2sin22ABCSacBB==△（当2B=时取到等号）所以ABC△面积的最大值为2．若选择②由正弦定理sinsinsinabcABC==可将22cosbacA−=化为：2sinsin2sinco

sBACA−=又ABC++=，所以sinsin()BAC=+所以2sin()sin2sincosACACA+−=即2sincossinACA=，∴1cos2C=又(0,)C，∴3C=又由余弦定

理2222coscababC=+−可得：2242ababababab=+−−=（当且仅当ab=时取等号）∴1sin2sin32ABCSabCC==△所以ABC△面积的最大值为3．若选择③因为2c=，所以242abcab+==∴4ab（当且仅当ab=时取等号）又由余弦定

理222cos2abcCab+−=得：()22222311242cos2222abababababCababab++−+−===（当且仅当ab=时取等号）∴03C∴11sin4sin3223ABCSabC==△（当且仅当ab=时取等号）所以ABC△面积的最大值为3

．19.解析：（1）因为Sn＝2－2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2－2an，两式相减得an＝－2an＋1＋2an，即an+1＝12an，n≥2，当n＝1时，S1＝2－2a2，a1＝1，则a2＝12，满足an+1＝12an，

所以an＋1an＝12，所以数列{an}为首项为1，公比为12的等比数列，故an＝12n－1．（2）由（1）可得bn＝(－1)nlog12an＝(－1)n(n－1)所以Tn＝0＋1－2＋3－···＋(－1)n(n－1)故当n为奇

数时，Tn＝0＋(1－2)＋(3－4)＋···＋(n－2＋1－n)＝1－n2，当n为偶数时，Tn＝(0＋1)＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋＋(2－n＋n－1)＝n2，综上：Tn＝1－n2，n奇数n2，n偶数．20解析(1)证明：设AC与BD相交于O点，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，O为AC的中点，因为FA＝FC，所以AC⊥OF，又OF∩BD＝O，OF，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，又因为BF⊂平面BDEF，所以AC⊥BF；(2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，O为BD中点

，所以OF⊥BD，即OA，OB，OF两两垂直，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴建立空间直角坐标系，OF＝3，因为AB＝2，∠DAB＝60°，所以AB＝BD＝BF＝2，则A(3，0，0)，B(

0，1，0)，F(0，0，3)，E(0，－2，3)，设平面AEF的法向量为n1→＝(x1，y1，z1)，因为AE→＝(－3，－2，3)，AF→＝(－3，0，3)，所以n1→·AE→＝－3x1－2y1＋3z1＝0n1→·AF→＝－3x1＋3z1＝0，

令x1＝1，得y1＝0，z1＝1，所以n1→＝(1，0，1)，设平面AFB的法向量为n2→＝(x2，y2，z2)，因为AB→＝(－3，1，0)，AF→＝(－3，0，3)，所以n2→·AB→＝－3x2＋y2＝0n2→·AF→＝－3x2＋3z2＝0

，令x2＝1，得y2＝3，z2＝1，所以n1→＝(1，3，1)，所以cos<n1→，n2→>＝n1→·n2→︱n1→︱×︱n2→︱＝22×5＝105，因为二面角E－AF－B为钝角，所以其余弦值为－105．21.(1)函数f(x)的

导数f′(x)＝－x2－(a－2)x＋2aex＝－(x＋a)(x－2)ex，当a＝0时，f′(1)＝1e，f(1)＝1e，则f(x)在(1，f(1))的切线方程为y－1e＝1e(x－1)，即y＝1e，(2)证明：令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－a，①当a＝－2时，f

′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递减，无极值；ABCDEFOxyz②当－a＜2，即a＞－2时，x(－∞，－a)－a(－a，2)2(2，＋∞)f′(x)－＋－f(x)单调递减单调递增单调递减所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为

f(2)＝a＋4e2＞2e2＞0，③当－a＞2，即a＜－2时，x(－∞，2)2(2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)－＋－f(x)单调递减单调递增单调递减所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(－a)＝－ae－

a＝－aea＞0，综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．22.（1）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的标准方程为（2）椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设③代入椭圆方程，整理得设，则有④在方程③中，令得，，从而，又因为共线，则有，即有，所

以⑤将④代入⑤得，又，所以，即成等差数列.