【文档说明】第5章 三角函数（典型题专练）-2021-2022学年高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（人教A 版2019）解析版.docx，共(26)页，1.289 MB，由管理员店铺上传

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第5章三角函数典型题专练一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期末）已知为第三象限角，则−为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】采用一般与特殊的思想，因为是第三象限角，所以令43=，即可判断

−所在的象限．【详解】因为是第三象限角，故可令43=，则3−=−，是第四象限角．故选：D．2．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在区间0,2上，下列说法正确的是（）A．siny

x=是增函数，且cosyx=是减函数B．sinyx=是减函数，且cosyx=是增函数C．sinyx=是增函数，且cosyx=是增函数D．sinyx=是减函数，且cosyx=是减函数【答案】A【分析】结合正余弦函数的图象和性质即可作出判定.【详解】由正余弦

函数的图象可知，在区间0,2上，sinyx=是增函数，且cosyx=是减函数，故选：A.3．（2021·全国·高一期末）已知锐角α，β满足sinα－cosα＝16，tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，则α，β的大小关系是（）A．α<4<βB．β<4<αC．4<α<βD

．4<β<α【答案】B【分析】由两角和与差的正切公式得出α＋β＝3，结合sincos0−，得出α>4，结合选项可得答案．【详解】∵α为锐角，sinα－cosα＝16，∴α>4．又tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，∴tan(α＋β)＝tan

tan31tantan+=−，∴α＋β＝3，又α>4，∴β<4<α．故选：B4．（2021·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期末）把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平

移3个单位长度，得到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212x−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+【答案】B【分析】解法一：从函数()yfx=的图象出发，按照已知的变换顺序，逐

次变换，得到23yfx=−，即得2sin34fxx−=−，再利用换元思想求得()yfx=的解析表达式；解法二：从函数sin4yx=−出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换

法则得到()yfx=的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx=的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx

=−的图象，根据已知得到了函数sin4yx=−的图象，所以2sin34fxx−=−，令23tx=−,则,234212ttxx=+−=+,所以()sin212tft=+,所以()s

in212xfx=+；解法二：由已知的函数sin4yx=−逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx=+−=+的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy

=+的图象，即为()yfx=的图象，所以()sin212xfx=+.故选：B.5．（2021·山西·高一期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2yx=，1,2x与

函数2yx=，2,1x−−即为“同族函数”.下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．sinyx=B．3yx=C．xxyee−=−D．lnyx=【答案】A【分析】对于BCD，可以考察其单调性，

即可否定；对于A,利用三角函数的性质，不难确定可以构造不同的定义域，其值域是相同的.【详解】3yx=，xxyee−=−，lnyx=分别是定义域内R,R和(0,+∞)上的都单调递增函数，规定定义域内的不同子集为构造

函数的定义域，值域也必然不同，故都不是能够用来构造“同族函数”的函数；sinyx=可构造同族函数，例如sinyx=，0,x和sinyx=，0,2x.故选:A6．（2021·山西·高一期末）如图是函数()

()sinfxAx=+(0A，0)的部分图象，则（）A．函数()yfx=的最小正周期为2B．直线512x=是函数()yfx=图象的一条对称轴C．点,06−是函数()yfx=图象的一个对称中心D．

函数3yfx=−为奇函数【答案】C【分析】由图象先求得,A由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.【详解】由题意可知，根据图像得到，2A=，4312T

=−=，则选项A错误；22T==，又2sin221212f=+=，解得262k+=+，kZ，则23k=+，kZ，即()2sin23fxx=+，572sin1126f

==−，所以直线512x=不是函数()yfx=图象的一条对称轴，则选项B错误；2sin006f−==，所以点,06−是函数()yfx=图象的一个对称中心，选项C正确；2sin22s

in23333fxxx−=−+=−不是奇函数，所以选项D错误.故选：C.7．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）已知tan2=，且()sincos3sinco

stan22+=−−，则函数()()sin2sin202fxxxx=−+的值域为（）A．33,22−B．3,12−C．3,12D．31,2−【答案】B【分析】先由已知条件求出3=，再化

简()fx的解析式，即可求出值域.【详解】因为tan2=，所以由()sincos3sincostan+=−，可得()()()sincostan121tan33sincos3tan1321+++====−−−，而

22−，所以3=．于是()()sin2sin2sin2sin23fxxxxx=−+=−+1313sin2sin2cos2sin2cos2sin222223xxxxxx=−−=−=−，因为02x，所以02x，所以()2

3213332xfx−−−，故答案为：3,12−．8．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数()cos22sin1fxxxxR=+−，，则函数()fx最大值为（）A．0B．12C．

1D．无最大值【答案】B【分析】利用余弦的二倍解公式转化为关于正弦的二次函数表达式，配方后即可得解.【详解】2211()cos22sin12sin2sin2sin22fxxxxxx=+−=−+=−

−+，当1sin2x=时，函数()fx最大值为12.故选：B.9．（2021·广东高州·高一期末）若tan34−=，则tan2=（）A．6B．-6C．43D．43−【答案】C【分析】利用和差的正切公式

和二倍角公式，即可求解.【详解】解：tan1tan341+tan−−==，解得tan2=-，22tan4tan21tan3==−,故选：C10．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）sin74sin46sin16sin44−=（）A．12B

．12−C．32D．32−【答案】A【分析】转化sin74cos16,sin46cos44==，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，1sin74sin46sin16sin44cos16cos44sin16sin44cos602−=−==故选：A【点睛】本题考查了三角函数的

诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题11．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）已知2sin4210−=，则sin=（）A．1225−B．1225C

．2425−D．2425【答案】D【分析】利用换元42=−，利用诱导公式和二倍角公式转化运算即可.【详解】设42=−,则2sin,2102==−，2224sincos212sin1210025==−=−=,故选：D.12．（2021·江苏江都·高一期中）cos54

cos24sin54cos66+的值为（）A．12B．32C．－12D．－32【答案】B【分析】先利用诱导公式转化，然后利用两角差的余弦公式化简计算.【详解】原式=3cos54cos24sin54sin24cos(5

424)cos302+=−==，故选：B.13．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）在ABC中，90C=，3AC=，4BC=，则()cosAB−的值是（）A．2425B．725C．45D．35【答案】A【分析】由题意，可先求解sin,cos,sin,cosAABB，

代入()coscoscossinsinABABAB−=+，即得解【详解】由题意，在ABC中，90C=，3b=，4a=，222255cabc=+==4334sin,cos,sin,cos5555abbaAABBcccc========则()344324coscoscossinsin5555

25ABABAB−=+=+=故选：A14．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知函数1()(sincos)cos2fxaxxx=+−的图象的一条对称轴为6x=,则下列结论中正确的是（）A．7,012−

是()fx图象的一个对称中心B．()fx是最小正周期为的奇函数C．()fx在,33−上单调递增D．先将函数2sin2yx=图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6个单位长度，即可得到函数(

)fx的图象【答案】A【分析】化简函数()fx，将6x=代入得函数最值，可求得3a=，进而可得()sin26fxx+=，通过计算712f−，可判断A；通过计算()0f，可判断B；当33x−时，5

2266x−+，可得()fx在,33−上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D.【详解】211()(sincos)cossincoscos22fxaxxxaxxx=+−=+−()211cos21sin2sin222221axax

x+=+−+=+，当6x=时，()fx取到最值，即221sincoscos221666aa++−=解得3a=，()1cos21sin2sin222263xfxxx+=+−=+.()77si

nsin26601f−=−+=−=，则7,012−是()fx图像的一个对称中心，故A正确；()0sin06f=，故()fx不是奇函数，故B错误；当33x−时，52266x−+，又sinyx=在5,26

−上先增后减，则()sin26fxx+=在,33−上先增后减，故C错误；将函数2sin2yx=图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6

个单位长度，得12sin2sin2263yxx=+=+，故D错误.故选：A二、多选题15．（2021·福建省福州第八中学高一期末）已知函数f（x）＝sin（2x+3），将f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得

到函数g（x）的图象，则（）A．当x＝724时，g（x）取最小值B．g（x）在[12，3]上单调递减C．g（x）的图象向左平移24个单位后对应的函数是偶函数D．直线y＝12与g（x）（0＜x＜32

）图象的所有交点的横坐标之和为194【答案】ACD【分析】首先利用伸缩变换得到函数()sin43gxx=+，再依次利用整体代入的方法，判断AB是否正确；按照平移变换判断函数()gx平移后是否是偶函数；

令1sin432x+=，计算302x内所有的实数根.【详解】由条件可知()sin43gxx=+当724x=时，3432x+=，此时()1gx=−，取得最小值，所以A正确；当,123x时，254,333

x+，当234,332x+，即7,1224x，此时函数单调递减，当354,323x+，即7,243x时，函数单

调递增，故B不正确；()gx向左平移24个单位后得到函数sin4sin4cos42432yxxx=++=+=，函数是偶函数，故C正确；1sin432x+=，解得：42,36xkk

Z+=+，解得：224kx=−，kZ或542,36xkkZ+=+，解得：28kx=+,kZ,因为302x，所以112335,,242424x=或59,,,888x=所以

交点的横坐标之和为194，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查三角函数的性质，图象变换，方程实根的综合问题，重点考查整体代入的方法，以及伸缩和平移变换规律，属于中档题型.16．（2021·广东·金山中学高一期末）设函数()()sin

0,2fxx=+的最小正周期为，且把()fx的图像向左移6后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（）A．函数()fx的图像关于直线512x=对称B．函数()fx的图像关于点,012对称C．函数()fx在区间,

212−−上单调递增D．若325f=，则71225f+=【答案】AD【分析】首先根据三角函数的性质和图象变换求函数的解析式()sin23πfxx=−，再根据函数的性质，利用整体代入的方法判断ABC选项，3sin2

35f=−=，sin2sin2121236f+=+−=−，利用角的变换，表示22632−=−+

，利用二倍角公式和诱导公式求函数值，判断D选项.【详解】由条件可知函数的最小正周期为，所以22==，()()sin2fxx=+，函数的图象向左平移后得到的函数是sin26yx=++，函数的图象关于原点对称，所以当0x=时，3

k+=，解得：,3kkZ=−+，因为2，所以3=−，所以函数()sin23πfxx=−，A.当512x=时，521232−=，所以函数的图象关于直线512x=

对称正确，A正确；B.当12x=时，21236−=−，此时1sin01262f=−=−，故B不正确；C.当,212x−−时，432,,33222x−−−−−，是函数的单调递减区

间，所以C不正确；D.3sin235f=−=，sin2sin2121236f+=+−=−，297sin2sin2cos212sin12632332525

−=−+=−=−−=−=，故D正确.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查()sinyAωxφ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断

函数性质：（1）对于函数()sinyAωxφ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0xx=或点()0,0x是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0fx的值进行判断；（2）判断某区间是否是函

数的单调区间时，也可以求x+的范围，验证次区间是否是函数sinyx=的增或减区间.17．（2020·广东罗湖·高一期末）已知函数()sinsinfxxx=+，下列说法正确的是（）A．()fx是偶函数B．(

)fx的最大值是2C．()fx的最小值是1−D．()fx的最小正周期是【答案】AB【分析】A.根据奇偶函数的定义判断；B.根据两个函数的最值判断；C.将函数写成分段函数的形式求函数的最小值，D.代入特殊值代入验证.【详解】A.函数的定义域是R，并且()()sins

insinsinfxxxxx−=−+−=+，即()()fxfx−=，()fx是偶函数，故A正确；B.当2x=时，sinyx=和sinyx=同时取到最大值1，所以()fx的最大值是2，故B正确；C.当0x时，()s

insinfxxx=+，()()2sin,2,20,2,22xxkkfxxkk+=++，kN，所以当0x时，()0fx，根据函数是偶函数，可知函数()fx的值域是)0,+，所以函数的最小值是0，故C不正确；D.24f

=，555sinsin0444f=+=，544ff，所以函数的周期不是，故D不正确.故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查含绝对值三角函数的性质，本题的关键是判断A选项，难点是

判断C选项，需正确去掉绝对值，再判断函数的最值.18．（2021·安徽·池州市江南中学高一期末）已知函数()sin()fxAx=+，0,0,2A部分图象如图所示，下列说法不正确是（）A．()fx

的图象关于直线23x=对称B．()fx的图象关于点5,012−对称C．将函数3sin2cos2yxx=−的图象向左平移2个单位得到函数()fx的图象D．若方程()fxm=在,02−上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(2,3−−【答案】AB

C【分析】根据函数()()sinfxAx=+的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．【详解】解:由函数的图象可得2A=，由124312=−，求得2=．再根据五点法作图可得223k+=+，又2

，求得3=，∴函数()2sin23fxx=+，当23x=时，()52sin2sin333fx==−=−，不是最值，故A不成立；当512x=−时，()2sin22fx=−=−，不等于零，故B不成立；将函数3s

in2cos22sin26yxxx=−=−的图象向左平移2个单位得到函数5sin2sin2266yxx=+−=+的图象，故C不成立；当,02x−时，22,333x+−，∵23sinsin332

−=−=−，sin12−=−，故方程()fxm=在,02−上有两个不相等的实数根时，则m的取值范围是(2,3−−，故D成立．故选:ABC.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数()

()sinfxAx=+的部分图象求出函数解析式，属于基础题．19．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）在ABC中，若2324cos02BCcbb+−+=，则下列说法正确的是（）A．A为钝角B．2222abc=−C．tan1tan3AB=−D．3C【答案】BC

【分析】选项A，转化21coscos22BCA+−=，结合题干条件，可得3cos02cAb=，故可判断；选项B，2223cos22bcacAbcb+−==，可得2222abc=−，可判断；选项C，转化222222tantanAacbBbca+−=+−，代入2222abc=−，可判断；选项D，

222223cos24abcabCabab+−+==，结合均值不等式和0C，可判断【详解】21cos()1cos()1coscos2222BCBCAA++++−−===21cos324cos324022BCAcbbcbb+−−+=−+=3cos02

cAb=02AA为锐角，故选项A不正确；又2223cos22bcacAbcb+−==，化简得2222abc=−，故选项B正确；222222222222tancos2tanicosinsns2acbABaacbaccAbcaBAbbBba

c+−+−===+−+−将2222abc=−代入得：2222222222222221(2)3acbbccbbcabcbc+−−+−==−+−+−−故选项C正确；22222222222223()3233222cos2224

42baabababcababCababababab−+−++−+=====当且仅当3ba=时等号成立006CC，故选项D不正确故选：BC【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题三、填空题20

．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数()sin1fxaxbx=++，若()12f−=，则()1f=_____________.【答案】0【分析】利用正弦函数的奇偶性可以得到()()112ff+−=，进而得到结果..【详解】因为()1sin11fab=++，()1sin11fab−=

−−+，所以()()112ff+−=，因为()12f−=则()1f=0,故答案为：0.21．（2021·山西·高一期末）已知函数()sin,14ln,1xxfxxx=，则()()ffe=_______.【答案】22【分析】根据分段函数

的解析式，先求得()1fe=,再求()1f即为所求.【详解】()()21ln1,111sin42efeef====，，,()()()212ffef==.故答案为:22.22．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末

（理））已知为钝角，10cos(),410−=−则sin=________.【答案】55【分析】先判定4−的范围，利用用角三角函数的关系求得310sin410−=，进而根据44ππαα=−+，利用两角和

的正弦公式计算求解.【详解】为钝角，∴3,444−，又∵10cos410−=−，∴2310sin1cos4410−=−−=，∴sinsinsincoscossin444444

=−+=−+−310210251021025=−=,故答案为：55.23．（2021·江苏江都·高一期中）已知cos223sin4=+，则cossin−=_____________．【答案

】23【分析】利用余弦的二倍角公式22cos2cossin=−和两角和的正弦公式转化，并利用平方差公式化简即可求得.【详解】22cos2cossin22(cossin)322sinsincos422−==−=++，所以cossin−

=23，故答案为：23.24．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的____倍．【答案】2【分析】设改变前后的圆的半径分别为12,rr，圆心角为,，弧长相等记为l，利用弧长公式可以求得2=.【详

解】设改变前后的圆的半径分别为12,rr，圆心角为,，弧长相等记为l，由弧长公式得12lrr==，由已知得2112rr=，所以2=∴该弧所对的圆心角是原来的2倍．故答案为：2.25．（2021·甘肃·兰州市外国语高级中学高一期末）已知t

an3,=则sin23sincos4cos2−+的值是_________【答案】72−【分析】利用二倍角公式先化为的正余弦的表达式，增添分母“1”化为22sincos+，然后分子分母同时除以2cos，转化为含有正切的代数式计算.【详解】解：∵t

an3,=∴原式=()222sincos3sincos4cossin−+−()2222sincos4cossinsincos−+−=+2222tan44tan3443357tan131102−+−−+−

−====−++，故答案为：72−。26．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）已知关于x的方程22sin3sin210xxm−+−=在,2上有两个不同的实数根，则m的取值范围是___________.【答案】(2,1−−【分析】利用

三角函数的倍角公式和辅助角公式，将方程整理化简，利用三角函数的图象和性质，确定条件关系，进行求解即可.【详解】22sin3sin210xxm−+−=，1cos23sin210xxm−−+−=，即cos23sin20xxm

+−=，2sin(2)6xm+=，即sin(2)62mx+=，[,]2x，7132[,]666x+，设7132,[,]666xtt+=，则sin2mt=在713[,]66t上有两个不同的实数根，1

sinyt=，22my=，713[,]66t的图像有两个不同的交点，如图由图象可知，1122m−−，即21m−−故答案为：(2,1]−−四、解答题27．（2021·云南丽江·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(4,3)P−.（

1）求sin，cos；（2）求cos()2cos()2()sin()2cos()f+−+=−+−的值.【答案】（1）3sin5=，4cos5=−；（2）115.【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入sin，cos

的值，即可求出结果.【详解】解：（1）因为角的终边经过点(4,3)P−，由三角函数的定义知2233sin5(4)3yr===−+，2244cos5(4)3xr−===−−+（2）诱导公式，得342()sin2cos1155()34sin2cos52()55f−+−

−+===++−.28．（2021·浙江·高一期末）某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为30米，A为直径延长线上的点30OA=米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角ABC，其中BC为斜边．（1）若23AOB=，求四边形OACB

的面积；（2）现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将ABC区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将OAB区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当AOB为多大时，垂钓中心和亲子采

摘中心获利之和最大？【答案】（1）11250378750(+平方米)；（2）34．【分析】（1）计算23AOB=时AOB和ABC的面积，求和得出四边形OABC的面积；（2）设AOB=，求出AOB和ABC的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对

应的值．【详解】（1）当23AOB=时，113300150112503(222AOBSOAOBAOB===平方米)；在OAB中，由余弦定理得，2222cos157500ABOAOBOAOBAOB=+−=；2178750(2ABCSAB==平方米

)，四边形OABC的面积为11250378750(AOBABCOACBSSS=+=+四边形平方米)；（2）设AOB=，则()0,，所以11sin300150sin22500sin22AOBSOAOBAOB===，在OAB中，由余

弦定理得，2222cos11250090000cosABOAOBOAOBAOB=+−=−；215625045000cos2ABCSAB==−，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有2010AOBABCySS=+；化简得450000si

n562500450000cos4500002sin5625004y=+−=−+；因为()0,，所以当34=时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．29．（2021·山西·高一期末）已知向量()sin,1ax=，1,sin3bx

=−，()fxab=.（1）求函数()fx的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x时，关于x的不等式()21fxm−有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调增区间为52,26

6kk−++，kZ；2T=；（2）31m−.【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数()fx的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到()min12mfx+；然后根据角的范

围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得m的的取值范围.【详解】（1）因为()13sinsinsincossin3223fxabxxxxx==+−=+=+所以函数()fx的最小正周期2T=；因为函数sinyx=的单调增区间为2,222kk

−++，kZ，所以22232kxk−+++，kZ，解得52266kxk−++，kZ，所以函数()fx的单调增区间为52,266kk−++，kZ；（2）不等式()21fxm−有解，即()min12mfx+；因为0

,4x，所以73312x+，又75sinsinsin12123=，故当33x+=，即0x=时，()fx取得最小值，且最小值为()302f=，所以31m−.30．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数2

3()cossin3cos,2fxxxxxR=−+（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx在闭区间,44−上的最小值以及对应x的值【答案】（1）最小正周期为；（2）当12x=−时，有()min1fx=−.【分

析】（1）利用三角恒等变形化为()sin23fxx=−的形式，根据三角函数的周期性求得；（2）先求得23x−的取值范围，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）由函数213()sin2(2cos1)22fxxx=−−13sin2cos2

22xx=−sin23x=−,22T==，函数()fx的最小正周期为;（2）由（1）可知()sin23fxx=−,5,,2,44366xx−−−

,由sinyt=的图象可知当2,3212xx−=−=−时有min()1fx=−,综上当12x=−时，有min()1fx=−.31．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））已知角终边上一点()43P,−，求()()()

()sin3sinsin2cos4+−−−+−−的值．【答案】34−【分析】利用三角函数的定义求得3sin5=，4cos5=−，利用诱导公式化简即得.【详解】解：点P到原点O的距离

()22435OP=−+=．根据三角函数的定义得3sin5=，4cos5=−，()()()()()()()()sinsinsin3sinsin2cos4sincos+−++−−=−+−−−−sinsinsin353sincoscos544a

−===−=−−．32．（2021·江西新余·高一期末（理））已知函数2()sin223cos33fxxx=+−+.（1）已知1233f+=，求cos23

−的值；（2）当,44x−时，不等式(1)()212()2mfxmmfx++++恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）79−；（2）3,5+.【分析】（1）结合三角恒等变化化简得()sin(2)3fxx=−，得到1sin33+=

，然后将cos23−利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；（2）根据（1）求出当,44x−时11()2fx−，进而()20fx+，原不等式等价于()()1210mfxm−+−，看成关于()fx的一次函数，其端点函数

值大于等于0，得12102(1)210mmmm−+−−−+−，化简即可.【详解】解：（1）13()(sin2cos2)3(cos21)322fxxxx=+−++13sin2cos2sin2223xxx=−=−，1sin2333f+=+=

，cos2cos2cos2333−=−+=−+221712sin12339=−−+=−−=−.

（2）当,44x−时，52636−−x，可得11()2fx−，由()20fx+，不等式(1)()212()2mfxmmfx++++可化为()()()24121mfx

mmfxm++++，有()()1210mfxm−+−.令()tfx=，11,2t−，则()1(0)21mtgtm−+−=，若不等式(1)()212()2mfxmmfx++++恒成立，则1()02(1)0g

g−等价于12102(1)210mmmm−+−−−+−，解得：35m.故实数m的取值范围为3,5+.【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.（1）三角函数知值求值是，要将

已知1sin33+=中的角3+进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；（2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问

题，利用二次函数的图象和性质转化求解.33．（2021·广东高州·高一期末）设函数()sin22cos24fxxxm=−++，xR，mR（1）求函数()fx的最小正周期及单调增区间；（2）当04x时，

()fx的最小值为0，求实数m的值.【答案】（1）T=，增区间为()3,88kkkz−+；（2）22m=−.【分析】（1）利用三角函数的和差角公式化简()sin22cos24fxxxm=−++为

()sin24fxxm=++，运算即得解；（2）由04x，可得32444x+，当244x+=或3244x+=，()fx取最小值为22m+，即得解【详解】（1）()sin22cos24fxxxm

=−++sin2coscos2sin2cos244xxxm=−++22sin2cos222xxm=++sin24xm=++最小正周期22T==由()222242kxkkz−+++∴()388kxkk

z−+∴()fx的增区间为()3,88kkkz−+故答案为：()3,88kkkz−+（2）当04x，32444x+当244x+=或3244x+=即0x=或4x=时，()fx取最小值为22m+由202

m+=∴22m=−故答案为：22m=−【点睛】本题考查了三角函数的周期、单调性及最值问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题34．（2021·江苏镇江·高一期中）已知0,2，xR，函数()()222()

coscossinfxxxx=++−+．（1）求函数()fx的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数x，()2fxfx=−恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）偶函

数；（2）存在；6=．【分析】解法一：（1）直接根据奇偶性定义判定；（2）直接由条件代入，利用二倍角公式化简求解.解法二：先逆用二倍角的余弦公式降幂，并结合两角和差的三角函数化简后，再进行判定和求解.【详解】解：（法一）（1）定义域是xR，222()cos()cos()si

n()fxxxx−=−++−−+−222cos()cos()sin()xxxfx=−+++=，∴函数()fx是偶函数．（2）∵()2fxfx=−，∴222222cos()cos()sinsin()sin()cosxxxxxx++−+=−+++，移项得：cos(22

)cos(22)cos20xxx−++−=，展开得：cos2(2cos21)0x−=，对于任意实数x上式恒成立，只有1cos22=．∵02，∴6=．（法二）1cos(22)1cos(22)1cos2()222xxxfx+++−−=++3cos2(2cos21)2

x+−=．（1）定义域是xR，∵3cos(2)(2cos21)3cos2(2cos21)()()22xxfxfx+−−+−−===，∴该函数在定义域内是偶函数．（2）由()2fxfx=−恒成立得：3cos2(2cos21)3cos2(2cos

21)222xx+−−+−=3cos2(2cos21)2x−−=，化简可得：cos2(2cos21)0x−=对于任意实数x上式恒成立，则1cos22=，∵02，∴6=．35．（2021·黑龙江

齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城，CD，DE，EF，FC为主要道

路（不考虑宽度）．已知90FCD=，120CDE=，333FEEDCD===km．（1）求道路CF的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A，并使得60FAC=，ABDC⊥，求AB两地的最大距离．【答案】（1）23km；（2）()23+k

m.【分析】（1）先利用余弦定理²²²2cos120ECEDDCEDDC=+−，可得3EC=，再在ECF△中，由222cos2ECCFEFECFECCF+−=，即得解；（2）设FCA=，在CFA△中，利用正弦定理可得，()4sin60AC=+，再利用//ABCF，可得()

cos4sin60cosABAC==+，利用三角恒等变换化简结合090，即得解.【详解】（1）连接EC，由余弦定理可得²²²2cos1203ECEDDCEDDC=+−=，所以3EC=，由DC

ED=，120CDE=，所以30ECD=，因为90DCF=，所以60ECF=，在ECF△中，222cos2ECCFEFECFECCF+−=，所以²360CFCF−−=，解得23CF=，即道路CF的长度为23k

m；（2）设FCA=，在CFA△中，由正弦定理可得()()234sinsin60sin6032CFACACFAC===++，所以()4sin60AC=+，因为ABDC⊥，所以90ABC=

，所以//ABCF，CAB=，则()cos4sin60cosABAC==+，所以()223cos2sincos3cos2sin232sin2603AB=+=++=++，因为090

，所以60260240+，所以当26090+=，即15=，AB取最大值为23+，故AB两地的最大距离为()23km+．