【文档说明】四川省阆中中学2024届高三上学期一模试题+数学（理）+含解析.docx，共(17)页，1004.613 KB，由小赞的店铺上传

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阆中中学校高2021级2023年秋一模数学试题（理）（满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题。(每小题5分，共计60分)1．已知集合1,412AxxBxyx===−，则AB=（）A．1,2−B．10,2C．11,4

2D．1,4+2．已知1iz=+，则1zz=+（）A．13i55−B．1355i+C．31i55−D．31i55+3．在等比数列na中，11a=，34a=，则7a=（）A

．128−B．128C．64−D．644．若曲线lnxayx−=在()1,a−处的切线与直线:250lxy−+=垂直，则实数=a（）A．1B．32−C．32D．25．已知函数()fx的部分图像如图，则函数(

)fx的解析式可能为（）A．()()eesinxxfxx−=−B．()()eesinxxfxx−=+C．()()eecosxxfxx−=−D．()()eecosxxfxx−=+6．已知向量,ab满足3,2,2213abab==−=，则a与b的夹角为（）A．π2B．2π3C．3π4D．5

π67．设变量,xy满足约束条件306010xyxyy+−−−，则目标函数3zxy=−+的最小值为（）A．-8B．-15C．-20D．-218．已知函数π()2sin()(0)3fxx=+的最小正周期为T，若π2π2

3T，且π3是()fx的一个极值点，则=（）A．12B．2C．103D．729．已知函数1()e1xfx=−，则对任意非零实数x，有（）A．()()0fxfx−−=B．()()1−−=−fxfxC．()()1fxfx−+=D．()()1f

xfx−+=−10．圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，BMxBAyBD=+（x，Ry），则2xy+的最大值为（）A．22B．2C．2D．311．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开

展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（）A

．23−B．21−C．31−D．2212．定义在R上的奇函数()fx满足()()2=fxfx−，且在)0,1上单调递减，若方程()1fx=−在)0,1上有实数根,则方程()1fx=在区间1,11−上所有实根之和是（）A．30B．14C．12D．6二、填空题。（每小题5分，

共计20分）13．在某市的一次高三测试中，学生数学成绩X服从正态分布()275,N，已知(3075)0.35PX=，若按成绩分层抽样抽取100份试卷进行分析，其中120分以上的试卷份数为.14．()()4

212xx−+的展开式中2x的系数为（用数字作答）．15．点M是双曲线2214yx−=渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则圆M的半径的最小值等于.16．如图，菱形ABCD的边长为2，=60B.将ABC沿AC折到PAC的位置，连接PD

得三棱锥PACD−.①若三棱锥PACD−的体积为32，则3PD=或3；②若BD⊥平面PAC，则23PD=；③若M，N分别为AC，PD的中点，则//MN平面PAB；④当6PD=时，三棱锥PACD−的外接球的体积为2015π27.其中所有正确结论的序号是.三、解答题

。（共70分，第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）17．(12分)某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电子元件中随机抽取100个电子元件进行质

量检测，检测结果如下表：测试指标[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)90,100数量/个8122011050已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这100个电子元件中，

有10个是不合格品．（1）请完成以下22列联表：甲设备乙设备合计合格品不合格品合计（2）根据以上22列联表，判断是否有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合䅂与甲、乙两套设备的选择有关．参考公式及数

据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.1000.0500.0100.0050.0010k2.7063.8416.6357.87

910.82818．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsincoscoscoscossinBCBABAC+−=+.（1）求sinA；（2）若点D在边BC上，2BDDC=，

2cb=，2AD=，求ABC的面积.19．（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABS，四边形ABCD为矩形，ABS为正三角形，2SABC=，O为AB的中点．（1）证明：平面SOC⊥平面BDS；（2）求二面角OSCD−−的正弦

值．20．（12分）已知斜率为3的直线l与抛物线2:4Cyx=相交于,PQ两点．（1）求线段PQ中点纵坐标的值；（2）已知点(3,0)T，直线,TPTQ分别与抛物线相交于,MN两点（异于,PQ）．求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的

坐标．21．（12分）已知函数()1elnlnxfxxaa+=−−.（1）当1ea=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()10fx+，求实数a的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，

曲线1C的参数方程为cos,1sin,xy==+（参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为23cos=，其中π0,2.（1）求曲线1C与曲线2C的交点的极坐标；（2）直线()π:R6l

=与曲线1C，2C分别交于M，N两点（异于极点O），P为2C上的动点，求PMN面积的最大值.23．（10分）已知()11fxxax=+−−.（1）当=1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若()0,1x时不等式()fxx成立，求a的取值范围。理科数学

参考答案1．C2．A3．D4．B5．B6．B7．C8．D9．D10．B【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，因为圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，所以3,1ADOD==，即内

切圆的圆心为()0,1O，半径为1，可设()cos,1sinM+，又()()()()3,0,3,0,0,3,0,0BCAD−，∴()cos3,1sinBM=++，()()3,3,3,0BDBA==，∴()()cos3,1sin33,3xBMyx=++=+，故得到

cos333,sin31xyx=+−=−，∴1sin3cossin2333xy+==−+，∴cossin42π42sin2333333xy+=++=++，当ππ2π,Z32kk+=+时等号成立

，即2xy+的最大值为2.故选：B.11．A【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由,||||2OF

BCOFOB⊥==，得||2,45acBFFBC+===，||2,||22ABaBC==，在ABC中，60BAC=，则75ACB=o，232162sin75sin(4530)22224+=+=+=，由正弦定理得，222

sin75sin60a=，解得622141332a+==+，则113c=−，所以该椭圆的离心率312331cea−===−+.故选：A12．A【详解】由()()2=fxfx−知函数()fx的图象关于直线1x=对称，∵()()2=fxfx−，()fx是R上的奇函数，∴()()()2fxfxf

x−=+=−，∴()()4fxfx+=，∴()fx的周期为4，考虑()fx的一个周期，例如1,3−，由()fx在)0,1上是减函数知()fx在(1,2上是增函数，()fx在(1,0−上是减函数，()fx在)2,3上是增函数，对于奇函数()fx

有()00f=，()()()22200fff=−==，故当()0,1x时，()()00fxf=，当()1,2x时，()()20fxf=，当()1,0x−时，()()00fxf=，当()2,3

x时，()()20fxf=，方程()1fx=−在)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()fx在()0,1上是单调函数，则由于()()2=fxfx−，故方程()1fx=−在()1,2上有唯一实数，在()1,0−和()2,3

上()0fx，则方程()1fx=−在()1,0−和()2,3上没有实数根，从而方程()1fx=−在一个周期内有且仅有两个实数根，当13,x−，方程()1fx=−的两实数根之和为22xx+−=，当1,11x−

，方程()1fx=−的所有6个实数根之和为244282828282830xxxxxx+−++++−+++−+=+++++=.故选：A.13．1514．8−15．4515−16．①③④【详解】对于②，设ACBDO=，若BD⊥平面PAC，PO平面PAC，

所以BD⊥PO.因为菱形ABCD的边长为2，=60B，所以ABC是等边三角形，所以BOAC⊥,即POAC⊥.因为ACBDO=,,ACBD平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为OD平面ABCD，所以PO⊥OD.

又3POBODO===，所以226PDPODO=+=,故②错误.对于④，由②可得当6PD=时，PO⊥平面ACD,设I为三棱锥PACD−的外接球球心，2I为等边ACD的重心，过I作1IIPO⊥,垂足为1I，

因为3PODO==，所以2133IIIO==,2223333ID==,所以三棱锥PACD−的外接球半径为2232315333RID==+=,所以三棱锥PACD−的外接球体积为3344152015πππ33327R==，故④正确.对于①

，设P在ACD的投影为Q，因为PAPC=，所以Q在OD所在的直线上.又23234ACDS==△，所以1133332PACDACDVSPQPQ−===△，解得32PQ=.因为二面角PACD−−可

能为锐角或钝角，（i）当二面角PACD−−为钝角时，所以2293342OQOPPQ=−=−=,333322QDQODO=+=+=，所以2222333322PDPQQD=+=+=.（ii）当二面角PACD−−为锐角时，因为3OPOD

==,32PQ=，所以在OPQ△中，由余弦定理可得22229314cos2223OQOPOQPQPOQOPOQOQ+−+−===,即23304OQOQ−+=，即2302OQ−=,解得32OQ=.

所以Q是OD的中点，所以32QDOQ==,所以222233322PDPQQD=+=+=.综上，3PD=或3，故①正确.对于③，若M，N分别为AC，PD的中点，由中位线定理可得

//MNPB,因为MN平面PAB,PB平面PAB,所以//MN平面PAB，故③正确.故答案为:①③④.17【详解】（1）如下表所示：甲设备乙设备合计合格品7090160不合格品301040合计1001

00200（2）因为22200(70109030)12.510.82816040100100K−==，所以有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．18．(1)32(2)932【详解】（1）由题意得22222sinsinsinco

scossinsinBCCBAAB+=−=−，所以222bcabc+−=−，故2221cos22bcaAbc+−==−因为0πA，3sin2A=.（2）设CDx=，则2BDx=，在ADB中，有2222244cos28ADBDABxcADBADBDx+−+−

==.在ADC△中，有222224cos24ADCDACxbADCADCDx+−+−==.又πADBADC+=，所以coscosADBADC=−，所以有2226212cxb=−+.又2cb=，所以222b

x=+.在ABC中，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−.又3ax=，2cb=，2π3A=，所以有22222194472xbbbb=+−−=.联立2222297bxxb=+=，解得73xb==，所以26cb==，所以11393si

n362222ABCSbcA===.19．(1)证明见解析(2)255【详解】（1）证明：设BD与OC相交于点M，因为ABS为正三角形，所以2SASBABBC===，又O为AB的中点，则SOAB⊥．因为平面ABCD⊥平面ABS，SO平面ABS，平面ABCD平面ABSAB=，SOA

B⊥，所以SO⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，则SOBD⊥．因为四边形ABCD为矩形，2ABBC=，在RtBOC中，2tan2BOBCOBC==，在RtBAD中，2tan2ADDBAAB==，所以

tantanBCODBA=，所以BCODBA=，又90CBACBDDBA=+=，则90CBDBCO+=，即90BMC=，所以BDOC⊥，又BDSO⊥，SOOCO=，,OCSO平面SOC，所以BD⊥平面SOC，又BD平面BDS，所以平面SOC⊥平面B

DS．（2）解：因为四边形ABCD为矩形，所以ADAB⊥，又平面ABCD⊥平面SAB，平面ABCD平面SAB=AB，AD平面ABCD，所以AD⊥平面SAB．以O为坐标原点，过点O作平行于AD的直线为z轴，以OB和OS所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−．设2

AB=，则(0,3,0)S，(1,0,2)C，(1,0,2)D−，(1,0,0)A−，(1,0,0)B，(2,0,0)DC=，(1,3,2)SD=−−，(2,0,2)BD=−，设平面SCD的一个法向量为()111,,mxyz=，则00m

DCmSD==，即1112032xyz==，令12y=，则(0,2,3)m=．由（1）可知，BD⊥平面SOC，所以BD是平面SOC的一个法向量．因为6·|5cos,556mBDmBDmBD===∣，所以二面角OSCD−−的正弦值为255．20．(1)233(2)证明见解析

，定点的坐标为(0,3)−【详解】（1）设()()1122,,,PxyQxy，其中12xx，由21122244yxyx==，得22121244yyxx−=−，化简得1212124yyxxyy−=−+，1243yy=+

，即122323yy+=，线段PQ中点纵坐标的值为233；（2）证明：设222231241234,,,,,,,4444yyyyPyQyMyNy，1322

3113444PMyykyyyy−==+−，直线PM的方程为2111344yyyxyy−=−+，化简可得()131340yyyxyy+−−=，(3,0)T在直线PM上，解得1343yy=−，同理

，可得2443yy=−，()3412343444343433PQyykyyyyyy====+−−−++，()34343yyyy=−+，又直线MN的方程为()343440yyyxyy+−−=，即()34(3)40yyyx++−=，直线MN恒过定点(0,3)−．21．(

1)()3e120xy−−+=；(2)(20,e.【详解】（1）当1ea=时，()2eln1xfxx+=−+,则()21exfxx+=−，所以()31e1f=−，即在点()()1,1f处的切线斜率为3e1k=−.而()31e1f=+

，所以切点坐标为()31,e1+，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()()()33e1e11yx−+=−−，即()3e120xy−−+=.（2）因为()1eln10ln1xxfxaa+−−=++，所以eelnexaxa，即elneexaax

，即lneelnelneeeaxxaaaxxxx=.令()()e0xgxxx=，则()lneagxgx.()()1e0xgxx=+

，所以()gx在()0,+上单调递增，所以lneaxx恒成立，即ln1lnxax−+，即lnln1axx−+恒成立.令()()ln10hxxxx=−+，则()111xhxxx−

=−=，令()0hx，解得1x，令()0hx，解得01x,所以()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()12hxh=.因为lnln1axx−+恒成立，所以ln2a，解得20ea.所以实数a的取值范围是(20,e.22．(1)(00)，和π3

,3(2)332【详解】（1）1C的参数方程为cos1sinxy==+，，（为参数），消去可得，22(1)1yx+−=，所以曲线1C的直角坐标方程为2220xyy+−=.将cosx=，siny=代入得，曲线1C的极坐标

方程为2sin=，2C的极坐标方程为23cos=，联立可得tan3==，π0,2，又因为两个曲线都经过极点，所以曲线1C和曲线2C的交点极坐标为(00)，和π3,3.（2）当π6=时，π2sin16M==，π23cos36N

==，||2||MNMN=−=.显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大，直线MN的方程为33yx=，圆心2C到直线MN的距离为32，所以点P到直线MN的最大距离333232d=+=，所以113333||2222

2PMNSMNd===△.23．（1）1>2xx；（2）(0,2．【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当=1a时，()11fxxx=+−−，即()2,1=2,1<<12,1x

fxxxx−−−，所以不等式()1fx等价于12>1x−−或1<<12>1xx−或12>1x，解得：12x．故不等式()1fx的解集为1>2xx．［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当=1a时，不等式()1fx

即为|1||1|1xx+−−．由绝对值的几何意义可知，|1||1|xx+−−表示x轴上的点到1−对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当1=2x时，|1||1|1xx+−−=，当12x时，|1||1|1xx+−−．故不等式()1fx的解集为1,2+．（2）［

方法一］：【通性通法】分类讨论当()0,1x时，11xaxx+−−成立等价于当()0,1x时，11ax−成立．若0a，则当()0,1x时，111axax−=−；若0a，由11ax−得，111ax

−−，解得：20xa，所以21a，故02a．综上，a的取值范围为(0,2．［方法二］：平方法当(0,1)x时，不等式|1||1|xaxx+−−成立，等价于(0,1)x时，11ax−成立，即2211ax−成立，整理得(2)0axax−．当=0a

时，不等式不成立；当0a时，(2)0axax−，不等式解集为空集；当0a时，原不等式等价于220axxa−，解得20xa．由>021aa，解得02a．故a的取值范围为(0,2]．［方法三］：【最优解】分离参数法当(0,1)x时，不等式|1||1|xax

x+−−成立，等价于(0,1)x时，|1|1ax−成立，即111ax−−，解得：20ax，而22x，所以02a．故a的取值范围为(0,2]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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