【文档说明】【精准解析】湖北省金字三角2020届高三下学期3月线上联考数学（理）试题.doc，共(23)页，1.993 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设351izii=++，则z=（）A.2B.12C.22D.102【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求得1

122zi=−+，根据模长的定义求得结果.【详解】()351111222iiiziiii−−=+=+=−++112442z=+=本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题.2.已知集合2670Axxx=−−，Bxxx==−，则

AB=（）A.(1,0−B.(7,0−C.)0,7D.)0,1【答案】A【解析】【分析】分别求解出集合A和集合B，根据交集的定义求得结果.【详解】()26701,7Axxx=−−=−，(,0Bxxx==−=−

(1,0AB=−本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.函数()()22lnxxfxx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；根据()0,1x时，()0f

x，排除,AC，从而得到正确选项.【详解】()fx定义域为0xx，且()()()()22ln22lnxxxxfxxxfx−−−=+−=+=()fx为偶函数，关于y轴对称，排除D；当()0,1x时，220xx−+，ln0x，可知()0fx，排除,AC.本题正确选项：

B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.已知向量a，b满足2a=，||1b=，且2ba+=，则向量a与b的夹角的余弦值为（）A.22B.23C.28D.24【答

案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12ab=，利用cos,ababab=求得结果.【详解】由题意可知：2222324bababaab+=++=+=，解得：12ab=12cos,422ababab===本题正

确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5.已知抛物线C：22(0)xpyp=的准线l与圆M：22(1)(2)16xy−+−=相切，则p=（）A.6B.8C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相

切，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:2Cxpy=的准线为2py=−，又准线l与圆()()22:1216Mxy−+−=相切，所以242p+=，则4p=.故选D【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.6.已知等比数列na的前n项和为nS，

若1231112aaa++=，22a=，则3S=（）A.10B.7C.8D.4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224aaaSa++==，解方程求得结果.【详解】由题意得：1

3123321231322111124aaaaaSaaaaaaa+++++=+===38S=本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S的方程，属于基础题.7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出

割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正

六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：32.09460.8269）A.3.141

9B.3.1417C.3.1415D.3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为r，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为r，则圆的面积为2r，正六边形的面积为213336222rrr=，

因而所求该实验的概率为22333320.82692rr==，则333.141920.8269=.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.8.已知函数()cos()(0)fxx=+的最小正周期为π，且对xR，()3fxf

…恒成立，若函数()yfx=在[0,]a上单调递减，则a的最大值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】先由最小正周期，求出，再由对xR，()3fxf恒成立，得到2,3kkZ=+，进而可得()cos23fxx=+

，求出其单调递减区间，即可得出结果.【详解】因为函数()()cosfxx=+的最小正周期为，所以22==，又对任意的x，都使得()3fxf，所以函数()fx在3x=上取得最小值，则223k+=+，kZ，即2,3kk

Z=+，所以()cos23fxx=+，令222,3kxkkZ++，解得,63kxkkZ−++，则函数()yfx=在0,3上单调递减，故a的最大值

是3.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2xfxx=+，设21(log)3mf=，0.1(7)nf−=，()4log25pf=，则m，n，p的大小关系为（）A.mpnB.pnmC.p

mnD.npm【答案】C【解析】【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()fx的奇偶性，再得到其单调性，确定21log3，0.17−，4log25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xfxx=+，所以()222()2()xxfxxxfx−−=+−=+=，因此()22

xfxx=+为偶函数，且易知函数()fx在()0,+上单调递增，又()221loglog31,23=，()0.170,1−，()42log25log52,3=，所以0.1421log25log73−，因此pmn.故选C【点睛】本题主要考查函

数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若()21210FFFAF

A+=，则此双曲线的标准方程可能为（）A.22143xy−=B.22134xy−=C.221169xy−=D.221916xy−=【答案】D【解析】【分析】先由()21210FFFAFA+=得到1222FFFAc==，根

据2AF的斜率为247，求出217cos25AFF=−，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到ca，求出ab，进而可得出结果.【详解】由()21210FFFAFA+=，可知1222FFFAc==，又2AF的斜率为247，所以易得217c

os25AFF=−，在12AFF中，由余弦定理得1165AFc=，由双曲线的定义得16225cca−=，所以53cea==，则:3:4ab=，所以此双曲线的标准方程可能为221916xy−=.故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可

，属于常考题型.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若1BP平面1ABM，则1CP的最小值是（）A.305B.2305C.275D.475【答案】B【解析】【分析】在11AD上取中点Q，在BC上取中点N，连

接11,,,DNNBBQQD，根据面面平行的判定定理可知平面1//BQDN平面1ABM，从而可得P的轨迹是DN（不含,DN两点）；由垂直关系可知当CPDN⊥时，1CP取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11AD

上取中点Q，在BC上取中点N，连接11,,,DNNBBQQD//DNBM，1//DQAM且DNDQD=，1BMAMM=平面1//BQDN平面1ABM，则动点P的轨迹是DN（不含,DN两点）又1CC⊥平面ABCD，则当CPDN⊥时，1CP

取得最小值此时，22212512CP==+2212230255CP+=本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函

数()2ln2xxfxex=+−的极值点为1x，函数()2xgxex=+−的零点为2x，函数()ln2xhxx=的最大值为3x，则（）A.123xxxB.213xxxC.312xxxD.321xxx【答案】

A【解析】【分析】根据()fx在()0,+上单调递增，且11024ff，可知导函数零点在区间11,42内，即()fx的极值点111,42x；根据()gx单调递增且11024gg

可知211,42x；通过判断()()12gxgx，结合()gx单调性可得12xx；利用导数可求得()max1124hxe=，即314x，从而可得三者的大小关系.【详解】()1xfxexx=+−在()0,+上单调递增且1213022fe=−

，14115044fe=−111,42x且11110xexx+−=函数()2xgxex=+−在()0,+上单调递增且1213022ge=−，14112044ge=+−211,42x又()()11111

211112220xgxexxxgxxx=+−=−+−=−=且()gx单调递增12xx由()21ln2xhxx−=可得：()()max12hxhee==，即31124xe=123xxx本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判

断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,xx大小关系时，未结合()gx单调性判断出()()12gxgx，造成求解困难.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.设x，y满足约束条件2020260xyxy−++−，则zxy=+的最小值是________.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线0xy+=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.

【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0lxy+=平移到过点(2,2)−时，min0z=.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.14.某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x1234利润y/万元566.58利用线性回归

分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为________.【答案】ˆ0.954yx=+.【解析】【分析】先由题中数据求出x，y，结合题意，列出方程组，求出ˆb与ˆa，即可得出结果.【详解】设线性回归方程为ˆˆˆyb

xa=+，因为52x=，518y=，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆbaba+=+=，解得ˆ0.95b=，ˆ4a=，即ˆ0.954yx=+.故答案为ˆ0.954yx=+【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型.15.若一个圆柱的轴截面是面积为

4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.【答案】8.【解析】【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设

圆柱的底面圆半径为r，则2BCr=，所以轴截面的面积为()224ABCDSr==正方形，解得1r=，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BDR+===，所以球的表面积为()2428S==.故答案为8【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，

熟记公式即可，属于常考题型.16.数列na为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a=，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a=，32a=，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a=，51a=，62a=，7

3a=，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a=______.【答案】1【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21nan−=，即()21121nnkkaak−+=−；根据变化规律可得20192

aa=，从而得到结果.【详解】由数列na的构造方法可知11a=，32a=，73a=，154a=，可得：21nan−=即：()21121nnkkaak−+=−201999648523010340921aaaaaaaa====

====本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题

为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinsinsinsinsinsinBCbBcCaAA+=+.（1）求A的大小；（2）若2a=，π3B=，求ABC的面

积.【答案】(1)4A=.(2)334ABCS+=【解析】【分析】（1）先由正弦定理，将2sinsinsinsinsinsinBCbBcCaAA+=+化为222bcbcaaa+=+，结合余弦定理，即可求出角A；（2）先求出sinC，再由正弦定理求出b，根据三角形

面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sinsinsinsinsinsinBCbBcCaAA+=+，由正弦定理可得：222bcbcaaa+=+，即2222bcabc+−=，再由余弦定理可得2cos2bcAbc=，

即2cos2A=,所以4A=；（2）因为3B=，所以()62sinsin4CAB+=+=，由正弦定理sinsinabAB=，可得3b=.133sin24ABCSabC+==.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、

余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是矩形，1AD与1AD交于点E.124AAABAD===.（1）证明：AE⊥平面ECD；（2）求直线1AC与平面EAC所成角的正弦值.【

答案】（1）证明见解析；（2）69．【解析】【分析】（1）证明1AACD⊥，CDAD⊥，推出CD⊥平面11AADD，得到CDAE⊥，证明AEED⊥，即可证明AE⊥平面ECD；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间

向量的数量积求解直线1AC与平面EAC所成角的正弦值．【详解】（1）证明：∵四棱柱1111ABCDABCD−是直四棱柱，∴1AA⊥平面ABCD，而CD平面ABCD，则1AACD⊥，又CDAD⊥，1AAADA=，∴CD⊥平面11AADD，因为平面11AADD，∴CDA

E⊥，∵1AAAD⊥，1AAAD=，∴11AADD是正方形，∴AEED⊥，又CDEDD=，∴AE⊥平面ECD.（2）解：建立如图所示的坐标系，1AD与1AD交于点E，124AAADAB===，则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0AACD，∴()0,2,2E，∴(

)()()12,4,4,2,4,0,0,2,2ACACAE=−==，设平面EAC的法向量为(),,nxyz=，则·0·0nACnAE==，即240220xyyz+=+=，不妨取()2,1,1n=−−，则直线1A

C与平面EAC所成角的正弦值为44446=963666nACnAC−+−==．【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.某工

厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，

试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【答案】(1)方案一中:1060,y

xxN=+,方案二：200,15,20100,15,xxNyxxxN=−.(2)从节约成本的角度考虑，选择方案一.【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的

日收费为X，Y，由题中条形图，得到X，Y的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为1060,yxxN=+方案二中的日收费y与x的函数关系式为200,15,201

00,15,xxNyxxxN=−.（2）设方案一种的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.1

2200.22300.2210EX=++++=（元）方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212EY=++=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散

型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，焦距为23.（1）求C的方程；（2）若斜率为12−的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限

），O为坐标原点.①证明：直线,,OPPQOQ的斜率依次成等比数列.②若Q与Q关于x轴对称，证明：4tan3POQ.【答案】（1）2214xy+=；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率、焦

距和222bac=−可解出,,abc，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l的方程为：12yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12yy；整理可知

：2121214QQOOPPyykkkxx===，从而证得结论；②Q与Q关于x轴对称可知xOQxOQ=，由①知1tantan4xOQxOP=，则()tantanPOQxOQxOP=+，利用两角和差正切公式展开整理，根

据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223cac==，解得：23ac==2221bac=−=椭圆C的方程为：2214xy+=（2）证明：①设直线l的方程为：12yxm=−+

，()11,Pxy，()22,Qxy由221214yxmxy=−++=消去y得：()222210xmxm−+−=则()()222481420mmm=−−=−，且122xxm+=，()21221xxm=−()22121212121111122

422myyxmxmxxmxxm−=−+−+=−++=()2212212112421OPOQPQmyykkkxxm−====−即直线,,OPPQOQ的斜率依次成等比数列②由题可知：xOQxOQ=由①可知：1tantan4xOQxOP=，ta

n0xOQ，tan0xOP()tantantantan1tantanxOQxOPPOQxOQxOPxOQxOP+=+=−()44tantan2tantan3343xOQxOPxOQxOP=+=若xOQxOP=，则,PQ两点重合

，不符合题意；可知无法取得等号4tan3POQ【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不

等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xfxeaxb=++，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为20exy−−=.（1）求函数()fx的解析式，并证明：()

1fxx−.（2）已知()2gxkx=−，且函数()fx与函数()gx的图象交于()11,Axy，()22,Bxy两点，且线段AB的中点为()00,Pxy，证明：()()001fxgy.【答案】（1）()2xfxe=−，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析

】（1）利用切线方程可求得()fx的解析式，令()()11xhxfxxex=−+=−−，利用导数可求得()()00hxh=，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证()()001fxgy成立只需证212121221112xxxxxxeexxe−−−−+

−；令210txx=−，即证：2112ttteeet−+；令()22ttFteet−=−−，利用导数研究()Ft单调性，可知()()00FtF=，得到21tteet−成立；令()112ttetGte−=−+，利用导数研究()Gt单调性，可知()()

00GtG=，得到112tteet−+成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.【详解】（1）由题意得：()12feabe=++=−，即2ab+=−又()xfxea=+，即()1feae=+=，则0a=，

解得：2b=−则()2xfxe=−.令()()11xhxfxxex=−+=−−，()1xhxe=−令()0hx=，解得：0x=则函数()hx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增()()00hxh=，则：()1

fxx−（2）要证()()001fxgy成立，只需证：1212x24222xxxeeek++−−−即证121222xxxxekee++，即：1122122212xxxxxxeeexeex+−+−只需证：212121

221112xxxxxxeexxe−−−−+−设210txx=−，即证：2112ttteeet−+要证21tteet−，只需证：22tteet−−令()22ttFteet−=−−，则()221102ttFtee−=+−()Ft在()0

,+上为增函数()()00FtF=，即21tteet−成立；要证112tteet−+，只需证明：112ttete−+令()112ttetGte−=−+，则()()()()()()22222411210212121ttttttteeeeGteee−+−−=−==+++()Gt在(

)0,+上为减函数()()00GtG=，即112tteet−+成立2112ttteeet−+，0t成立()()001fxgy成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、分析法证明不等式的问题，关键

是能够通过构造函数的方式，将所证不等式转变为函数最值的求解问题，构造合适的函数是解决本题的难点.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，

直线l的方程为0xya+−=，曲线C的参数方程为2cos,sinxy==（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且直线OA与OB的斜率之积为54，求a.【答案

】（1）l:cossin0arqrq+-=，C：()2224sincos4+=；（2）12a=.【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得；（2）联立直线l与曲线C的极坐标方程，得()()22224sincos4cossina++=，设()()1122,,,AB

，则125tantan4OOBAkk==，解得a即可.【详解】（1）将cosx=，siny=代入0xya+−=的方程中，所以直线l的极坐标方程为cossin0arqrq+-=.在曲线C的参数方程中，消去，可得2214xy+=，将

cosx=，siny=代入2214xy+=的方程中，所以曲线C的极坐标方程为()2224sincos4+=.（2）直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组()222cossin04sincos4a+−=+

=，由方程组得()()22224sincos4cossina++=，()2222224sincos4si2cosnsincosaa+=++，两边同除2cos，可化为22224tan48tan4tanaa+=++，即()22244tan8ta

n40aa−−+−=，设()()1122,,,AB，则212245tantan444OOBAakka−===−，解得12a=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于

中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|2|fxx=+.（1）求不等式()(2)4fxfxx+−+的解集；（2）若xR，使得()()(2)fxafxfa++…恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)22xx−.(2)22,3

−−.【解析】【分析】（1）先由题意得24xxx+++，再分别讨论2x−≤，20x−，0x三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22fxafxxaxa++=++++，再由题意，可得22a

a+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24fxfxx+−+可化为24xxx+++，当2x−≤时，224xx−−+，2x−，所以无解；当20x−时，24x+所以20x−；当0x时，224xx++，2x，所以02x

，综上，不等式()()24fxfxx+−+的解集是|22xx−.（2）因为()()22fxafxxaxa++=++++又xR，使得()()()2fxafxfa++恒成立，则22aa+，()22

22aa+，解得223a−−.所以a的取值范围为22,3−−.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.