【文档说明】安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(21)页，1.558 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合14Axx=−，ln2Bxx=，则AB=（）A.14xx−B.20exxC.04xxD.e4xx2.已知复数z满足48izzz=−，

则z=（）A.2B.22C.5D.253.已知平面向量1sin,2a=，3,cos2b=，则1ab=是ab∥的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.

腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（）A.37280πcmB.314560πcmC.7280π33cmD.

14560π33cm5.函数213xaxy−+=在区间()1,2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.2aB.4aC.2aD.4a6.正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形概率是（）.的A.110B.15C.13D.257.()fx是定义在R上的函数，若()01f=，且对任意x

R，满足()()22fxfx++，()()88fxfx++，则()2024f=（）A.2023B.2024C.2025D.20268.已知11247sincos22+=，()0,π，则cos2=（）A.1781B.1781−C.79128D.7

9128−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于随机事件A和事件B，()0.3PA=，()0.4PB=，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()0.

3PAB=B.若A与B互斥，则()0.7PAB=C.若A与B相互独立，则()0.12PAB=D.若A与B相互独立，则()0.7PAB=10.已知正数a，b满足412abab++=，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为4B.

4ab+的最小值为8C.ab+的最小值为3D.111ab++的最小值3411.在菱形ABCD中，边长为43，π3BAD=，将ABD△沿对角线BD折起得到四面体ABCD，记二面角ABDC−−的大小为()0π，则下列结论正确的是（）A.对任意，都

有ACBD⊥B.存在，使AC⊥平面ABDC.当2π3=时，直线AC与平面ABD所成角为π6D.当π3=时，四面体ABCD外接球表面积208π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发

展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______

．为13.将函数()()cos2fxxφ=+的图象向右平移2π3后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．14.若用x表示不大于x的最大整数，用x表示不小于x的最小整数，那么方程52

3xx=+的最大整数解为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游

乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照[50,60)，[60,70)，)70,80，

[80,90)，[90,100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求a的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在[80,9

0)为“推荐指数四颗星”，评分在[90,100]为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各

一个的概率．16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：1//BC平面1ADC；的（2）求异面直线1AD与1BC所成角的正弦值．17.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足()()()sinsi

nsinsinsinsinaABbBCcCB−+−=−．（1）求角C；（2）若4b=，21c=．CD平分ACB交AB于点D，求CD的长．18.如图，在四棱锥PABCD−中，4PAPD==，42PC=，底面ABCD是直

角梯形，ABAD⊥，//ABDC，24ADDCAB===．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求证：PCBD⊥；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值．19.已知定义在R上的函数()222xxfx−−=，()222xxgx−+=．（1）判断并证明

函数()fx的奇偶性；（2）若对1,2x，()()20mfxgx−恒成立，求实数m取值范围；（3）若函数()()()hxfxgx=+，实数a、b、c满足()()()2hahbhc+=，()()()22hahbhc+=，求c的最小值．（

参考公式：如果a、b、c是正实数，那么33abcabc++³，当且仅当abc==时，等号成立．）的高二数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．

选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字

笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合14Axx=−，ln2Bxx=，则AB=（）A.14xx−B.

20exxC.04xxD.e4xx【答案】C【解析】【分析】由对数的运算可得2{|0e}Bxx=，再按交集的定义求解即可.【详解】由ln2x，可得20ex，所以2{|0e}Bxx=，所以214{|0e}{|04}ABxxxxxx=−

=.故选：C.2.已知复数z满足48izzz=−，则z=（）A.2B.22C.5D.25【答案】B【解析】【分析】设()i,Rzabab=+，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出a、b，再计算其模.【详解】设()i,Rzabab=+，因为48i

zzz=−，即()()()ii4i8iababab+−=+−，即()22448iabab+=+−，所以224480abab+=−=，解得22ab==，即22iz=+，所以222222z=+=.故选：B3.已知平面向量1sin,2a=，3,cos2b=

，则1ab=是ab∥的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合辅

助角公式、正弦的二倍角公式、充分性、必要性的定义进行判断即可.详解】若1ab=，则有()()31ππππsincos1sin12πZ2πZ;226623kkkk+=+=+=+=+若ab∥，则有()11313πsincossin222πZ2223kk

===+，或()222π22πZ3kk=+，解得：()11ππ6kkZ=+或()22ππZ3kk=+，显然由1ab=可以推出ab∥，但由ab∥不一定能推出1ab=，因此1ab=是ab∥的充分不必要条件，故选：A4.腰鼓是中国汉族古老的

民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（）A.37280πcmB.3145

60πcmC.7280π33cmD.14560π33cm【答案】D【【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】依题意圆台的上底面半径为10cm，下底面半径为12cm，高为20cm，所以腰鼓的体积()221210121012π20

3V=++=14560π3()3cm.故选：D5.函数213xaxy−+=在区间()1,2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.2aB.4aC.2aD.4a【答案】A【解析】【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数3x

y=是实数集上的增函数，213xaxy−+=在区间()1,2上单调递增，所以函数21yxax=−+在区间()1,2上也是单调递增，因为二次函数21yxax=−+的对称轴为2ax=，所以有12a，即2a

，故选：A6.正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（）A.110B.15C.13D.25【答案】D【解析】【分析】根据组合的定义，结合正六边形和等腰梯形的性质、古典概型运算公式进行求解即可.【详解】正六边形六个顶点中任取四个点，不同方法共有46C15=种方法，在如图所示正六边形123

456AAAAAA中，显然四边形1236AAAA、2341AAAA、3451AAAA、4563AAAA、5614AAAA、6125AAAA是等腰梯形，共6个，因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是62155=，故选：

D的7.()fx是定义在R上的函数，若()01f=，且对任意xR，满足()()22fxfx++，()()88fxfx++，则()2024f=（）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】C【解析】【分析】首先推导出()()88fxfx+−，从而得到

()()88fxfx+−=，再根据()()()()()()()()20242024201620162008008ffffffff=−+−++−+计算可得.【详解】因为()()22fxfx++，即()()22fxfx+−，所以()()()(

)()()88664fxfxfxfxfxfx+−=+−+++−+()()()()42222228fxfxfxfx++−+++−+++=，又()()88fxfx++，所

以()()88fxfx+−=，所以()()()()()()()()20242024201620162008008ffffffff=−+−++−+253812025=+=.故选：C8.已知11247sincos22+=，()0,π，则

cos2=（）A.1781B.1781−C.79128D.79128−【答案】B【解析】【分析】先对式子进行化简求出sin，再根据二倍角公式即可求解.【详解】解：11247sincos22+=，即cossin24227sincos22

+=，即cossin2217si224n+=，即22cossin22sin127+=，即2sin1sin14449=+，即2144sin49sin490−−=，

即()()16sin79sin70+−=，又()0,π，解得：7sin9=，7sin16=−(舍)，22717cos212sin12981=−=−=−.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于随机事件A和事件B，()0.3PA=，()0.4PB=，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()0.3PAB=B.若A与B互斥，则()0.7PAB=C.若A与B相互独立，则()0.12PA

B=D.若A与B相互独立，则()0.7PAB=【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A：若A与B互斥，则()0PAB=，故A错误；对于B：若A与B互斥，则()()()0.7PABPAPB=+=，故B正确；对于C：若A与B相互独立，则()

()()0.12PABPAPB==，故C正确；对于D：若A与B相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58PABPAPBPAB=+−=+−=，故D错误.故选：BC10.已知正数a，b满足412abab++=，则下列结论正确的是（）A.ab的最

大值为4B.4ab+的最小值为8C.ab+的最小值为3D.111ab++的最小值34【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得()()1416ab++=，再由基本不等式判断C、D.【详解】因为正数a，b满足

412abab++=，所以124244abababab−=+=，当且仅当4ab=，即1a=，4b=时等号成立，解得02ab，所以04ab，故ab的最大值为4，故A正确；()()21141244442abababab+−+==

，即()()241641920abab+++−，又12412abab−=+，所以8412ab+，所以4ab+的最小值为8，当且仅当4ab=，即1a=，4b=时等号成立，故B正确；由412abab++=可得()()1416ab++=，所以()()()()14521453abab

ab+=+++−++−=，当且仅当14ab+=+时等号成立，此时3a=，0b=，又b为正数，矛盾，故C错误；11411111321161641644bbbabbbb++=+=+++=+，当且仅当116bb=，即1a=

，4b=时等号成立，故D正确.故选：ABD11.在菱形ABCD中，边长为43，π3BAD=，将ABD△沿对角线BD折起得到四面体ABCD，记二面角ABDC−−大小为()0π，则下列结论正确的是（）A.对任意，都有ACBD⊥的B.存

在，使AC⊥平面ABDC.当2π3=时，直线AC与平面ABD所成角为π6D.当π3=时，四面体ABCD外接球表面积为208π3【答案】ACD【解析】【分析】取BD的中点E，连接AE、CE，则AEBD⊥，CEBD⊥，所以AEC为二面角A

BDC−−的平面角，再证明BD⊥平面AEC，即可判断A；推出矛盾，即可判断B；证明平面ABD⊥平面AEC，则CAE为直线AC与平面ABD所成角，即可判断C；求出外接球的半径，即可判断D.【详解】取BD的中点E，连接AE、CE，依题意可得AEBD⊥，CEBD⊥，则AEC为二面角ABDC

−−的平面角，又AECEE=I，,AECE平面AEC，所以BD⊥平面AEC，又AC平面AEC，所以BDAC⊥，故A正确；在菱形ABCD中，边长为43，π3BAD=，所以6AECE==，若AC⊥平面ABD，AE

平面ABD，则ACAE⊥，所以π2EAC=Ð，与AEEC=矛盾，故B错误；因为BD⊥平面AEC，又BD平面ABD，所以平面ABD⊥平面AEC，所以CAE为直线AC与平面ABD所成角，当2π3=，则2πππ326CAE−==，即当2π3=时，直线AC与平面ABD所成角为π6，故C正确；

在AEC△中6AEEC==，π3AEC==时，取ABD△、BCD△的外心1O、2O，则122EOEO==，24CO=，过1O、2O分别作AE、EC的垂线交于点O，则O为四面体ABCD外接球球心，连接OE，则22π23tan63OOEO==，设外接球的半

径为R，则222224521633ROOCO=+=+=，所以四面体ABCD外接球的表面积2208π4π3SR==，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年

来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据

的上四分位数是______．【答案】6.65【解析】【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位计算规则计算可得.【详解】将数据从小到大排列依次：5.8，5.9，6.0，6.1，6.1，6.1，6.5，6

.6，6.6，6.7，6.9，7.0，又1275%9=，所以上四分位数是6.66.76.652+=.故答案为：6.6513.将函数()()cos2fxxφ=+的图象向右平移2π3后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．【答案】5π6##5π6【解析】【分析】首先求出平移后

的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值.【详解】将函数()()cos2fxx=+的图象向右平移2π3得到为2π4πcos2cos233yxx=−+=−+，又4πco

s23yx=−+的图象关于原点对称，所以4πππ,Z32φkk−+=+，解得11ππ,Z6φkk=+，所以的最小正值为5π6.故答案为：5π614.若用x表示不大于x的最大整数，用x表示不小

于x的最小整数，那么方程523xx=+的最大整数解为______．【答案】37【解析】【分析】根据整数除以6的余数，结合题中定义分类讨论进行求解即可.【详解】当6,Nxnn=时，由523xx=+66523nn=+325325530nnnnnx=+=+=

=，此时方程有正整数解，因此不用讨论x是负整数的情况，当61,Nxnn=+时，由523xx=+6161523nn++=+11325321563723nnnnnx+=++=++==；当62,Nxnn=

+时，由523xx=+6262523nn++=+23125312155323nnnnnx+=+++=++==；当63,Nxnn=+时，由523xx=+6363523nn++=+131215312155332nnnnnx++=+++

=++==；当64,Nxnn=+时，由523xx=+6464523nn++=+1322153221155343nnnnnx+=++++=+++==；当65,Nxnn=+时，由523xx=+6565523nn++=+123221532211553523nnnnnx++=+++

+=+++==，由上可知当Nx时，方程523xx=+的最大整数解为37，故答案为：37【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据,23xx的形式分类讨论.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.15.为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地

．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照[50,60)，[60,70)，)70,80，[80,90)，[90,100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（

1）求a的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在[80,90)为“推荐指数四颗星”，评分在[90,100]为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法

在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．【答案】（1）0.02a=，75

.5分（2）1021【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程求出a，再根据平均数计算公式求出平均数；（2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典

概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方可知()0.010.0350.0250.01101a++++=，解得0.02a=；则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为：()0.01550.02650.035750.025850.01951075.5++++=；【小问2详解

】“推荐指数四颗星”乡村数为1000.0251025=（个）；“推荐指数五颗星”乡村数为1000.011010=（个）；按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取25752510=+个，可知“推荐指数五颗星”乡村抽取10722

510=+个，从7个乡村中随机抽取2个乡村共有76212=种情形，其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有5210=种情形，所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率1021P=.16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，所有棱长均为4，D是AB的中

点．（1）求证：1//BC平面1ADC；（2）求异面直线1AD与1BC所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）64【解析】【分析】（1）连接1AC交1AC于O，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理

、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【小问1详解】连接1AC交1AC于O，在直三棱柱111ABCABC−中，所有棱长均为4，因此四边形11AACC是正方形，所以O是1AC的中点，而D是AB的中点，因此有1//ODBC，而OD平面1ADC，

1BC平面1ADC，所以1//BC平面1ADC；【小问2详解】由（1）可知：1//ODBC，因此异面直线1AD与1BC所成角为1ADO（或其补角），因为11AACC是正方形，所以221111442222AOAC==+=，在直三棱柱111ABCABC−中，所有棱长均

为4，因此四边形11BBCC是正方形，因此有22111442222ODBC==+=，在直三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有222211144252ADAAAD=+=+=，由余弦定理可知：1820810cos42

2225ADO+−==，因此211106sin1cos1164ADOADO=−=−=.17.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足()()()sinsinsinsinsinsinaABbBCcCB−+−=−．（1）求角C；（2）

若4b=，21c=．CD平分ACB交AB于点D，求CD的长．【答案】（1）π3（2）2039【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）首先利用余弦定理求出a，再由等面积法计算可得.【小问1

详解】因为()()()sinsinsinsinsinsinaABbBCcCB−+−=−，由正弦定理可得()()()aabbbcccb−+−=−，即222abcab+−=，由余弦定理2221cos22abcCab+−==，

又()0,πC，所以π3C=；【小问2详解】在ABCV中，由余弦定理可得2222coscababC=+−，即216421aa+−=，解得5a=或1a=−（舍去），又π6ACDBCD==，ABCADCBDCSSS=+，所以1311114545222222

CDCD=+，解得2039CD=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，4PAPD==，42PC=，底面ABCD是直角梯形，ABAD⊥，//ABDC，24ADDCAB===．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求证：PCBD⊥；（3）求平面P

AD与平面PBC所成锐二面角正切值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连接PO、OC，即可得到POAD⊥，再说明POOC⊥，即可得到⊥PO平面ABCD，从而得证；（2）由（1）可知POBD⊥，再说明BDOC⊥，得到BD⊥平面

POC，即可得证；（3）延长CB与DA延长线相交于点M，连接PM，过A作AFPM⊥于点F，连接BF，由面面垂直的性质得到BA⊥平面PAD，则BAPM⊥，即可得到PM⊥平面ABF，则AFB是二面角DPMC−−的平面角，求出AF的长度，再由锐角

三角函数计算可得.【小问1详解】取AD的中点O，连接PO、OC，因为4PAPD==，所以POAD⊥，又24ADDCAB===，所以23PO=，因为底面ABCD是直角梯形，ABAD⊥，//ABDC，所以224225OC

=+=，又42PC=，所以222POOCPC+=，所以POOC⊥，又ADOCO=，,ADOC平面ABCD，所以⊥PO平面ABCD，又PO平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；【小问2详解】由（1）可知⊥PO平面ABCD，BD平面ABCD，所以POBD⊥，在梯形A

BCD中，π2DABCDO==，4ADCD==，2ABDO==，所以DABCDO≌，所以ADBDCO=，又π2DOCDCO+=，所以π2DOCADB+=，所以BDOC⊥，的又POOCO=，,POOC平面P

OC，所以BD⊥平面POC，又PC平面POC，所以PCBD⊥；【小问3详解】延长CB与DA延长线相交于点M，连接PM，过A作AFPM⊥于点F，连接BF，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，AB平面ABCD，ABAD⊥，所以BA⊥平面PAD，PM平面PA

D，所以BAPM⊥，又AFPM⊥，AFBAA=，,AFBA平面ABF，所以PM⊥平面ABF，又BF平面ABF，所以PMBF⊥，所以AFB是二面角DPMC−−的平面角，因为//ABCD且12ABCD=，所以A为AD的中点

，又PAD△为边长为4的等边三角形，所以在APM△中，4APAM==，2π3PAM=，所以π3MAF=，所以1cos422AFAMMAF===，又BA⊥平面PAD，AF平面PAD，所以BAAF⊥，在RtABF中

，tan1ABAFBAF==，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值为1.19.已知定义在R上的函数()222xxfx−−=，()222xxgx−+=．（1）判断并证明函数()fx的奇偶性；（2）若对1,2x，()()20mfxgx−恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数()

()()hxfxgx=+，实数a、b、c满足()()()2hahbhc+=，()()()22hahbhc+=，求c的最小值．（参考公式：如果a、b、c是正实数，那么33abcabc++³，当且仅当abc==

时，等号成立．）【答案】（1）奇函数，证明详见解析（2）176m（3）25log33−【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得()fx是奇函数.（2）由()()20mfxgx−分离常数m，利用换元法法，

结合指数函数以及函数的单调性等知识求得m的取值范围.（3）先求得ℎ(𝑥)，根据已知条件列方程，求得关于c的表达式，利用基本不等式求得c的最小值.【小问1详解】()222xxfx−−=是奇函数，证明如下：()fx的定义域是R，()()222xxfxfx−−−

==−，所以()fx是奇函数.【小问2详解】依题意，对1,2x，()()20mfxgx−恒成立，即对1,2x，222202222xxxxm−−+−−恒成立，即对1,2x，222222xxxxm−−

+−恒成立，令()()1222122xxxxhxx−=−=−，ℎ(𝑥)在[1,2]上单调递增，所以()()()12hhxh，即()31524hx，令22xxt−=−，则222222315,2

22,22224xxxxttt−−=+−+=+，所以222222222xxxxtttt−−+==−++，根据对钩函数的性质可知，函数2ytt=+在区间315,24上单调递增，min323417322362y=+=+=，所以176

m.【小问3详解】()()()2222222xxxxxhxfxgx−−−+=+=+=，依题意，()()()()()()222hahbhchahbhc+=+=，即222222222abcabc+=+=，将2222acb=−代入22222abc+=得

()2222222cbbc−+=，整理得2122233111112223232222222222cbbbbbbbb−+=+=++=，当且仅当23111222,223bbbb−===−时等号成立，由2213232c−+两

边取以2为底的对数得23222251log32log3,log333cc−+=−−，所以c的最小值是25log33−.【点睛】判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义，由𝑓(−𝑥)=−

𝑓(𝑥)或𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)来进行求解，求解过程中要注意函数的定义域关于原点对称.求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.