【文档说明】重庆市第八中学2022届高三上学期月考（二）数学试题（艺术班） 含答案.docx，共(8)页，524.201 KB，由小赞的店铺上传

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重庆第八高级中学校2022届高三上学期8月月考（二）数学试题（艺术班）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2|20Axxx=+−，{0,1,2}B=，则()RAB=ð（）A．0B．2C．

1,2D．0,1,22．已知圆22:4Mxy+=与圆()()22:349Nxy−++=，则两圆（）A．内切B．相交C．外切D．相离3．记nS为等差数列na的前n项和．若34410,16aaS+==，则8S=（）A．12B．24C．4

8D．964．已知向量a，b满足||1=a，||2=b，(2)1+=aab，则向量a，b的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505．已知函数()()ln1+2afxxx=+−在点(0,(0))f处的切线过点(1,2)，则实数a的值为（）A．

43B．43−C．4D．4−6．设01a，则“log1ba”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数()1,1()2log1,1xaaaxfxxx++=+

，当12xx时，()()12120fxfxxx−−，则a的取值范围是（）A．(10,4B．)1,14C．()10,2D．)11,428．根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的．在算

筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如图）．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以

此类推，遇零则置空．这种计数法遵循十进位制．那么，用4根算筹表示的不同三位数共有（）个．A．6B．14C．24D．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（）A．若1(9,)3XB:，则()2DX=B．若X是离散型随机变量，则(23)2()3(23)4()9EXEXDXDX+=++=+，C．在某项测量中，测量结

果服从正态分布2(1,)(0)N，则(1)0.5P=D．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱10．若ABC的面积是22,3,2ABAC==，则BC可以为（）A．2B．3C．15D．1711．已知函数()sincosfxxx=−在(),44−单

调，则可以为（）A．1−B．12C．1D．212．已知直线2:0laxbyr+−=与圆222C:xyr+=，点(),Aab，则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l

与圆C相交C．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离D．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数1()zii=+为虚数单位，则2iz+的共轭复数为________．14．已知两条直线10xay++=和()220axay+++=互相平行，

则a=________．15．已知圆C的圆心在坐标轴上，且抛物线24yxx=−与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C的方程为．16．圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的外接球的体积为．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演

算步骤．17．（本题满分10分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问5分）在ABC中，角,,ABC对边分别为,,abc,若2coscoscoscCaBbA=+．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若ABC的面积为23，且3abc+=，求边c

．18．（本题满分12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）直三棱柱111ABCABC−中，ACCB⊥，2AC=，122CCBC==，F为1CC的中点．（Ⅰ）求证：1AFBA⊥；（Ⅱ）求直线AF与平面11AABB所成角的正弦值．19．（本题满分1

2分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）等差数列na的前n项和为nS，且17522aaa+=−，544Sa=．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设1161nnnbaa+=−，求nb的前n项和的最小值．20

．（本题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问6分，（Ⅲ）问3分）为研究女大学生身高与体重之间的关系，一调查机构从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345678身高x/cm164160158172162164174166体重y/kg604643484850615

2该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女大学生的身高与体重之间有较强的线性相关关系C1ABFCB1A1（Ⅰ）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7yxa=+，请你据此预报一名身高为178c

m的女大学生的体重；（Ⅱ）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为178cm的女大学生的体重；

（Ⅲ）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)nnxyxyxy，其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：121()()ˆ

()niiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−21．（本题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，12ABBCCDAD===，现以AC为折痕把ABC折起，使点B到达点P的

位置，且PACD⊥．（Ⅰ）证明：平面APC⊥平面ADC；（Ⅱ）若M为PD上一点，且平面ACM分三棱锥PACD−所得的上下两部分的体积比为1:2，求二面角PACM−−的余弦值．22．（本题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）已知函数

()lnxfxaex=−．（Ⅰ）设xe=是()fx的极值点，求()fx的单调区间；（Ⅱ）当1ae时，求证：()1fx．BACDAP（B）CDM重庆第八高级中学校2022届高三上学期8月月考（二）数学试题（艺术班）参

考答案一、单选题CCCCBADC7.由题可知()fx单调递减，故()11012011log112aaaaa++++，解得1142a8.按百位所用算筹数量分类：百位用1根算筹可

表示的不同三位数有8个，百位用2根算筹可表示的不同三位数有10个，百位用3根算筹可表示的不同三位数有4个，百位用4根算筹可表示的不同三位数有2个，所以用4根算筹表示的不同三位数共有24个二、多选题9.AC10.BD11.ABC12.AC三、

填空题13.3122i+14.1−15.()2224xy−+=16.823四.解答题17.（1）由正弦定理：2sincossincossincossin()sinCCABBAABC=+=+=ABC中，sin0C，故由上式可得：1cos23CC==………………5分（2）

由题知：1sin2382ABCSabCab===………………7分余弦定理：2222222cos()2(3)38324cababCabababcc=+−=+−−=−=−23c=………………10分18．（1）法一：连接

1AC，由直三棱柱和ACCB⊥，易得BC⊥面11AACC，所以BCAF⊥，又2AC=，122CC=，2CF=，所以由相似三角形知1ACAF⊥又1ACBCC=，所以AF⊥面1BCA，所以1AFBA⊥………

…………………6分法二：以1C为坐标原点，分别以11111,,CBCACC方向为x轴y轴z轴正方向建立空间直角坐标系，则()()10,2,2,22,2,22AFBA=−−=−−10440AFBA=−+=，所以1AFBA⊥，所以

1AFBA⊥………6分（2）平面11AABB的一个法向量()1,2,0n=，222cos,363AFn−==−，所以直线AF与平面11AABB所成角的正弦值为23………12分19.（1）由题知：11111262822,1510412adadadadad+=+−==+=+…

……4分所以1nan=+………5分（2）因为()()161111161212nbnnnn=−=−−++++，………7分所以nb的前n项和为16168210222nnnn−+=++−−++……10分因为

16282nn+++，当且仅当2n=时等号成立，所以nb的前n项和的最小值为2−.………12分20.（1）经计算：165x=，51y=，（1分）于是：ˆ510.716564.5a=−=−（2分）则该组数据的线性回归方程为ˆ0.764.5yx=−，当17

8x=时，ˆ0.717864.5=60.1y=−于是：一名身高为178cm的女大学生的体重约为60.1kg（3分）（2）按照调查人员乙的想法，剩下的数据如下表所示：编号235678身高x/cm160158162164

174166体重y/kg464348506152经计算：164x=，50y=，（4分）于是：61622222221()()(4)(4)(6)(7)(2)(2)00101122ˆ1.1(4)(6)(2)0102()iiiiixxyybxx==−−−−+−−+−−+++===−+−

+−+++−ˆ501.1164130.4a=−=−，则该组数据的线性回归方程为ˆ1.1130.4yx=−（8分）当178x=时，ˆ1.1178130.4=65.4y=−于是：一名身高为178cm的女大学生的体重约为65.4kg（9分）（3）乙的模型得到的预测值更可靠，（10分）理由如下：

①从散点图可以看出，第一组数据和第四组数据确实偏差较大，为更准确的刻画变化趋势，有必要把这两个数据剔除掉②从计算结果来看，相对于第七组数据174cm的女大学生体重，甲对身高178cm的女大学生的预测值明显偏低，而利用乙的回归方程得到的预测值增幅较合理（以上给出

了两种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（12分）21.（1）在梯形ABCD中取AD中点M，连接CM，则由BC平行且等于AM知ABCM为平行四边形，所以CMAB=，由12CMAD=知C点在以AD为直径的圆上，所以ACCD⊥……………2分又APCD⊥，APACA=，所以CD⊥面P

AC………4分CD面ADC，所以平面APC⊥平面ADC；……………………5分（2）取AC中点O，连接PO，由APPC=，可知POAC⊥，再由面PAC⊥面ACD，AC为两面交线，所以PO⊥面ACD，以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立

直角坐标系，取2AB=，则(3,0,0)A，(3,0,0)C−，(0,0,1)P，(3,1,0)D−，由:1:2PACMDACMVV−−=得13PMPD=所以1322(,,)3333OMOPPMOPPD=+=+=−，……………8分设平面ACM的法向量为(,,)nxyz

=。则由00nOMnOA==得322033330xyzx−++==取1z=−得0x=，1y=，所以(0,1,1)n=−平面PAC的法向量(0,1,0)m=…………10分2cos,2||||mnnmnm==………11分二面角PACM−−为锐二面角，所以其余弦值为2

2…………12分22．（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)+，1'()xfxaex=−，由11'()00eefeaeaee−−=−==……………2分所以11'()xefxex−−=−，又因为121''()0x

efxex−−=+，所以'()fx在(0,)+上单调递增，注意到'()0fe=，所以()fx在(0,)e上减，(,)e+上增………………………………………………5分（Ⅱ）由11xxaaeee−，所以1()lnxfxex−−…………………………………

8分记1()lnxgxex−=−，11'()xgxex−=−，当01x时，'()0gx，()gx单调递减，当1x时，'()0gx，()gx单调递增………………………………………………10分所以1x=是()gx的最小值点，()(1)1gxg=，故()()1fxgx

………………12分